直线和圆知识点总结
直线和圆知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
练习一（直线和圆部分）
知识梳理
1．直线的倾斜角α的范围是 ；求直线斜率的两种方法：①定义：k = ()2π
α≠；
②斜率公式：k =2121
y y x x --12()x x ≠．答案)0,180???? 2．直线方程的几种形式：
①点斜式 ，适用范围：不含直线0x x =；
特例：斜截式 ，适用范围：不含垂直于x 轴的直线；
②两点式 ，适用范围：不含直线112()x x x x =≠和直线
112()y y y y =≠；
特例：截距式 ，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线； ③一般式 ，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用．
3．求过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程时：
（1）若12x x =，且12y y ≠时，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；
（2）若12x x ≠，且12y y =时，直线垂直于y 轴，方程为1y y =；
（3）若120x x ==，且12y y ≠时，直线即为y 轴，方程为0x =；
（4）若12x x ≠，且120y y ==时，直线即为x 轴，方程为0y =。
4．已知直线1l ：11y k x b =+，直线2l ：22y k x b =+，则
①1l 与2l 相交? ； ②1l 与2l 平行? ；
③1l 与2l 重合? ； ④1l 与2l 垂直? ．
5．已知直线1l ：1110A x B y C ++=，直线2l ：2220A x B y C ++=，则 ①1l 与2l 相交? ； ②1l 与2l 平行? ；
③1l 与2l 重合? ； ④1l 与2l 垂直? ．
6．两点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离12=PP ；
点(,)P x y ??到直线l ：0Ax By C ++=的距离d = ；
两平行直线1l ：10Ax By C ++=与2l ：20Ax By C ++=之间的距离
d = ． 7．圆的标准方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，其中 为圆心， 为半径 ； 圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是
2240D E F +->，
其中圆心为 ，半径为 ．
8．点与圆的位置关系
圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，点00(,)M x y ，
（1）点在圆上：22200()()x a y b r -+-=；
（2）点在圆外：22200()()x a y b r -+->；
（3）点在圆内：22200()()x a y b r -+-<。
9．直线与圆的位置关系
判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：
（1）代数法：直线方程和圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，
计算判别式①240b ac ?=->? ；
②240b ac ?=-=? ；
③240b ac ?=-
（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径的大小关系
①d r ? 。
10．圆的切线方程
①若圆的方程为222x y r +=，点00(,)P x y 在圆上，则过P 点，且与圆222x y r +=相切的切线方程为200xx yy r +=；
②经过圆222()()x a y b r -+-=上的00(,)P x y 的切线方程为：
200()()()()x a x a y b y b r --+--=。)(00x x k y y -=-
点00(,)P x y 在圆外，则可设切线方程为)(00x x k y y -=-,利用直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k 。
11．计算直线被圆截得的弦长的两种方法：
（1）几何法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
（2）代数法：利用韦达定理及弦长公式 2221(1)()4A B A B A B AB k x x k x x x x ??=+-=++-??
12．设圆1C ：222111()()x x y y r -+-=，圆2C ：222222()()x x y y r -+-=，则有两圆
①相离12C C ?> ；②外切12C C ?= ；③内切12C C ?= ； ④相交? 12C C << ；⑤内含12C C ?< ．
13．对称问题
①点关于点的对称：利用中点坐标公式。
②直线关于点对称：利用取特殊点法或转移法。
③点关于直线对称：利用垂直和平分。
④直线关于直线对称：转化为点关于直线对称问题解决。如果是平行直线，还可以利用平行直线之间距离。如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。
常用的对称关系：点(a,b)
点(a,b)关于原点的对称点(-a,-b), 点(,)a b 关于点00(,)a b 的对称点的坐标为00(2,2)a a b a --
点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)， 点(a,b)关于y 轴的对称点为(-a,b)， 点(a,b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)， 点(a,b)关于直线y= -x 的对称点(-b,-a)，
点(a,b)关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m), 点(a,b)关于直线y= -x+m 的对称点(m-b,m-a).
练习题（第一部分）
1．直线的倾斜角为,α若3sin 5
α=，则此直线的斜率是（ ） A ．43 B ．34 C ． 43± D ． 3
4± 2.直线过点（-1，2）且与直线x y 3
2=垂直，则的方程是
A ．0123=-+y x B.0723=++y x
C. 0532=+-y x
D.0832=+-y x 3．已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
解析：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a =－1，选D.
点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况
4．已知(2,3)A -、(3,2)B --，直线l 过(1,1)P 且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围（ ）
A ．34k ≥或4k ≤-
B ．334k -≤≤
C ． 34k ≥或14k ≤-
D ．344
k -≤≤ 解析：过点(3,2)B --、(1,1)P 的直线斜为11(2)31(3)4k --=
=--，过点(2,3)A -、(1,1)P 的直线斜率为21(3)412
k --==--，画图可看出过点(1,1)P 的直线与线段AB 有公共点可看作直线绕点(1,1)P 从PB 旋转至PA 的全过程。
5．直线l 经过点(2,1)P ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则S =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．8
解析：设直线方程为1x y a b
+=，则有211a b +=，当,0a b >时，
211a b +=≥ 得8ab ≥，即l 与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为4，显然与两坐标轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为4，共可作且只可作三条符合条件的直线l 。
6．已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为（ ）
A ．210x y -+=
B ．210x y --=
C ．10x y +-=
D ．210x y +-=
解析：在1l 上取两点(0,2),(1,0)-，则它关于直线l 的对称点为(1,1),(1,0)--，所
以2l 的方程为210x y --=。
7．已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ，
则点N 的坐标是（ ）
A ．)1,2(--
B ．)3,2(
C ． )1,2(
D ．)1,2(-
二、填空题 8．过点（1，2）且与直线210x y +-=平行的直线方程是_250x y +-=_ .
9．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ____. 解：两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，233
a -=-，则a =2． 10．若过点)1,1(a a P +-和)2,3(a Q 的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是
.(2,1)a ∈-
11．如果,0>ab 直线0=++c by ax 的倾斜角为,α且
,sin 1sin 12sin ααα
--+=则直线的斜率为___________
.
解析：由sin sin cos sin cos 22222α
α
α
α
α
==+--，
因为,0>ab 直线0=++c by ax 的倾斜角为,α所以tan 0a b α=-<，又[)0,απ∈， 所以(,)2παπ∈，(,)242αππ∈，所以0cos sin 22αα<<， 所以sin (sin cos )(sin cos )2cos 222222α
ααααα
=+--=， 所以tan 22α
=，2
2tan 42tan 31tan 2k α
αα===--。 三、解答题
12.已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=.
（Ⅰ）求直线l 的方程；
（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .
解：（Ⅰ）由3420,220.x y x y +-=??++=? 解得2,2.x y =-??=?