两自由度系统的振动

x 1 ax 1 bx 2 x 2 cx 1

dx 2

显然此时

m 2

但对不同的系统，

式(5-2)中各系数的意义并不相同。

第5章两自由度系统的振动

应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问 题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自 由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两 自由度系统机械振动的基本方法。

如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以 由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移 z 及平板的

转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问 题就被简化为一个两自由度的系统。 图 21-1

5.1双质量弹簧系统的自由振动

5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩 擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标 X 1、X 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用

X 1、X 2

何

表示。两物体在水平方向的受力图如图 5-2(b)所示, 由牛顿第二定律得 图5-2两自由度的弹簧质量系统

m 1x 1 (k 1 k 2)x 1 k 2x 2 0 m 2x 2 k 2 x 1 k 2x 2 0 (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程 。习惯上写成下列形式

(5-2)

k 1

k 2

k 2

k 2

m 1

5.1.2 固有频率和主振型

根据微分方程的理论，设方程 (5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为

x i A i sin( pt ) x 2 A 2 sin( pt )

或写成以下的矩阵形式

将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组

a p 2 b

A i

0 c d p 2

A 2

保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式

(5-5)的系数行列式等于零，即

2 a

p 2 b

(p 2) p

2

c d p

展开后为

p 4 (a d) p 2 ad be 0

的两个特征根为

(ad bc)

(5-7)

由于式(5-7)确定的p 2的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，

与运动的初始条件无关，

因此p

称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。

5.2.2 主振型

将固有频率P 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的

振幅比

(5-3)

x i X 2

A i

sin( pt ) A 2

(5-4)

(5-5)

(5-6)

式(5-6)唯一确定了频率 p 满足的条件,

通常称为频率分程或特征方程。 它是p 2的二次代数方程，它

2

a d 2

bc

A 1

a p i c A 7

b d p l

A 2

a p f c A ⑵ b

dp ；

以上二式说明，虽然振幅的大小与振动的初始条件有关，但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动 时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。同时联系到式 （5-3）不难看出两个质量

(2)

X ；2 X i （2）

其它各点的位移则都可以由 X i 和X ；所决定。这样在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振

幅比确定。也就是说，振幅比决定了整个系统的振动形态，因之称为主振型。与 称为第一阶主振型，与 p 2对应的振幅比 2称为第二阶主振型。

将式（5-7）中的P i 、p ；之值带入式（5-8），得

2

a d , bc

2

方向运动。

系统以某一阶固有频率按其相应的主振型运动，

称为系统的主振动。第

阶主振动为

(i) X

i A i ⑴ sin( p i t

i )

(i)

X ； A ；i2

sin( p i t

(i)

(5-ii)

i

)

i

Ai sin (p i t

i

)

第二阶主振动为

(2) X

i A-f ；2

sin( p 2t 2 )

(5-i2)

(2)

X ；

A ；；2 sin( p ；t

2 )

2A

(2)

sin(p ；t

2)

可见系统作主振动时，各点冋时经过平衡位置和最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振

动。但必须指出，并非任何情况下系统都可能作主振动。

根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程

（5-i ）的通解，是它的两个主振动的线性

组合，即

X 1 (t) xj

X i (2) A ⑴ sin(pd

i ) A ⑵ sin(p ；t

；)

X 2 (t) X ；1〉 X ；2)

i A i (i)

sin( pd i )

； A|⑵ sin(p ；t ；)

上式可以写成如下的矩阵形式，即

(5-8)

块任意瞬时位移的比值

X ； X i

也同样是确定的，并且等于振幅比，即:

这表明，系统以频率

bc

p i 振动时，质量 m i 与m ；按同一方向运动；以频率

(5-i0)

P 2振动时，总是按相反的

(5-9)

P i 对应的振幅比

1

式中A ⑴，A 1(2), i ， 2由运动的初始条件确定。所以一般情况下，系统的自由振动是两个不同频率 的主振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。

例5-1 试求图5-3(a)所示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。

已知各弹簧的弹簧常量

k i

=k 2= k 3= k ,物体的质量 m i = m , m 2= 2m 。

解：(1)建立运动微分方程式 分别以两物体的平衡位置为坐标原点，

取两

物体离开其平衡位置的距离

X i 、X 2为广义坐标，

两物体沿X 方向的受力图如图5-3(b)所示，它们 的运动微分方程分别为

mx i 2kx i kx 2 0 2mx 2 kx i 2kx 2

X i X 2

Ai ⑴

i

)

A (2)

2

)

(5-14)

图5-3两自由度系统

k

k k b

, c

, d m

2m

m

P i,2

3k 2m

k 2 2m 2

3k 2m

、3k

2m

解出，p i 2

0.634 k ,

m

P2 2.366-。因此，系统的第一阶和第二阶固有频率为

m

P i

0.634k :m

P 2

2.366k.

他一对

(b)

若写成(5-2)的标准形式，则

2k

a,

m

所以

图5-4振型图

(3)求主振型

将P-2、P；分别代入式(5-26)，得

A2 a p 12 1

主振型为 A (1) 1 TT 0.732

A 22) a p 2 1 2

層

2.732

1 0.73

2 2)

2)

1 2.73

2 (a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图 在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的 例5-2 在图示5-3所示系统中，已知 初始条件的响应：(1 ) t = 0 , 系统的振型图如图 5-4所示。

x io m 1 m 2 =1cm , x 20 1cm, x 10 x 20 0 o 解：系统的的运动微分方程分别为 mx 1 mx 2 5kx 1 4kx 1 若写成(5-2)的标准形式，则 5k 所以 2

p 1,2

解出，p ； —, p ； m 对应的两个主振型为 A 2°

A (1) A 22)

A (2)

将初始条件(1)代入式(5-10)，解得 x 10 X 20 X 10

X 20

A ⑴ sin

1A ⑴ sin A ⑴ p cos A ⑴ 1 p 1 cos 1 (b)表明

A 点是不动的，这样的点称为节点。 k 2 4k ，求该系统对以下两组 0 ;

( 2 ) t 0,右0 1cm,

m, k 1 k 3 k, X 20 x 10 4kx 2 5kx 2 4k 2 a P

1

b

A (2) sin 2 2 A ⑵ sin A ⑵ A ⑵ be

5k m 4k m

2 P 2 cos 2

2 P 2 cOs 2

这表明，其响应为频率P1、p2的两种主振动的线性组合。

再将初始条件(2)代入式(5-10)，得

所以

|k

cos3 t (cm)

m 这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率P2作谐振动。

5-5 (a)表示两个摆长，质量相同的单摆, 中间以弹簧相连，形成两自由度系统。

图5-5双摆拍振

2表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图

ml21mgl 1ka2( 2 1), ml22mgl

用与前面类似的分析方法，得到系统的第一阶和第二阶固有频率为

系统的第一阶和第二阶主振型为

因此，A?丄

2

所以

7

1

x1(t) cos p1t

2

1

cos p2t

2

丄cos k t

2 m

-cos3 t

2 ■ m

x2(t) cos p1t cos p2t

2

(cm)

5.2 拍振现象

P1 P2

g 2ka2

7市

X i (t) cos P2t cos P2t

5-5 (b )。根据刚体绕定轴转动方程，当2角位移很小时，得到摆做微小振动的微分方程

2 ka ( 2 1 )