人教A版高中数学选修空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何

3.1空间向量及其运算（一）

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学方法：讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：

⒈向量的加法：

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0.

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．

Ⅱ.新课讲授

［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？

［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量），

=OP λa )(R ∈λ

［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．

［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：

⑴加法交换律：a + b = b + a ；

⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．

［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-Λ

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n Λ．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

；

⑴BC AB + ；

⑵'AA AD AB ++'2

1

CC AD AB ++⑶

．⑷)(3

1

AA ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．

平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱． 解：（见课本P 27）

说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．

Ⅲ.课堂练习

课本P 92 练习 Ⅳ.课时小结

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．

关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． Ⅴ.课后作业

⒈课本P 106 1、2、

⒉预习课本P 92～P 96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？

⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？

⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？

教学后记：

空间向量及其运算（2）

一、课题：空间向量及其运算（2）

二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程： （一）复习：

1．空间向量的概念及表示； （二）新课讲解：

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

平行向量。读作：a r

平行于b r ，记作：//a b r r ．

2．共线向量定理：

对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r r

r r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．

推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a r

的直线，那么对任一点O ，点P 在直

线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r ①，其中向量a r

叫做直线l 的方向向量。在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r

②

当1

2t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2

OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③

①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．

3．向量与平面平行：

已知平面α和向量a r

，作OA a =u u u r r ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向

量a r 平行于平面α，记作：//a αr ．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的． 4．共面向量定理：

如果两个向量,a b r r 不共线，p r

与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r

．

推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使

MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r ①

上面①式叫做平面MAB 的向量表达式． （三）例题分析：

例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555

OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

，

试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？

解：由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

，

∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，

∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，

所以，点P 与,,A B C 共面．

a

l

P

B

A

O

a r

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的

充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式

OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？ 解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r ，

∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴点P 与点,,A B C 共面．

例2．已知

ABCD Y ，从平面AC 外一点O 引向量

,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，

（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG ．

解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r

，

∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r ，

()()

()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH

=?-?=-==+=-+-=-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ∴,,,E F G H 共面；

（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，又∵EG k AC =?u u u r u u u r ，

∴//,//EF AB EG AC

所以，平面//AC 平面EG ．

五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．

六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；

2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．

七、作业：

1．已知两个非零向量21,e e u r u u r 不共线，如果21AB e e =+u u u r u r u u r ，2128AC e e =+u u u r u r u u r ，2133AD e e =-u u u r u r u u r

，

求证：,,,A B C D 共面．

2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++r r r r r r r r

，0a ≠r r ，若//a b r r ，求实数,x y 的值。

3．如图，,,,E F G H 分别为正方体1AC 的棱11111111,,,A B A D B C D C 的中点，

E

求证：（1）,,,E F D B 四点共面；（2）平面AEF //平面BDHG ． 4．已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 边,,,AB BC CD DA 的中点，

（1）用向量法证明：,,,E F G H 四点共面； （2）用向量法证明：//BD 平面EFGH ．

3.1.3．空间向量的数量积（1）

教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教学过程： （一）复习：

空间向量基本定理及其推论； （二）新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量,a b r r ，在空间任取一点O ，作,

OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r

与b r 的夹角，记作,a b <>r r ；且规定0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r

r r r ；

若,2

a b π<>=r r ，则称a r 与b r

互相垂直，记作：a b ⊥r r ；

2．向量的模：

设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r

的长度或模，记作：||a r ；

3．向量的数量积：

已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b ??<>r r r r 叫做,a b r

r 的数量积，记作a b ?r r ，即a b ?=r r ||||cos ,a b a b ??<>r r

r r ．

已知向量AB a =u u u r r 和轴l ，e r

是l 上与l 同方向的单位向量，

作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''u u u u r

叫做

向量AB u u u r 在轴l 上或在e r

上的正射影；可以证明A B ''u u u u r 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=?u u u u r u u u r r r r r ．

4．空间向量数量积的性质：

（1）||cos ,a e a a e ?=<>r r r r r

．

（2）0a b a b ⊥??=r r

r r ．

（3）2||a a a =?r r r ．

5．空间向量数量积运算律：

（1）()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r

．

（2）a b b a ?=?r r r r

（交换律）．

D 1

C 1

B 1

A 1

H G F

E

D C

B

A

A B

D

F

E

G H

（3）()a b c a b a c ?+=?+?r r r r r r r

（分配律）．

（三）例题分析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥ 求证：l α⊥．

证明：在α内作不与,m n 重合的任一直线g ，

在,,,l m n g 上取非零向量,,,l m n g r r r r

，∵,m n 相交，

∴向量,m n r r

不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+r r r

， ∴l g xl m yl n ?=?+?r r r r r r ，又∵0,0l m l n ?=?=r r r r

， ∴0l g ?=r r ，∴l g ⊥r r

，∴l g ⊥，

所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l α⊥．

例2．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥．

证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ?=+?-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

2AB AC BD AC AB AB BD =?+?--?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

()0AB AC AB BD AB DC =?--=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

．

（法二）选取一组基底，设

,,AB a AC b AD c ===u u u r r u u u r r u u u r r ， ∵AB CD ⊥，∴()0a c b ?-=r r r

，即a c b a ?=?r r r r ，

同理：a b b c ?=?r r r r

，， ∴a c b c ?=?r r r r ，

∴()0c b a ?-=r r r

，∴0AD BC ?=u u u r u u u r ，即AD BC ⊥．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值。

解：∵BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，

∴OA BC OA AC OA AB ?=?-?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =??<>-??<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

84cos13586cos12024=??-??=-o o

∴243cos ,855||||

OA BC OA BC OA BC ?--<>===

??u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，OA 与BC

的夹角的余弦值为35

-．

说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=o u u u r u u u r 易错写成,45OA AC <>=o

u u u r u u u r ，

切记！

五．课堂练习：课本第99页练习第1、2、3题。 六．课堂小结：空间向量数量积的概念和性质。 七．作业：课本第106页第3、4题 补充：

l

m n

m

n

g g

l

1．已知向量a b ⊥r r ，向量c r 与,a b r r 的夹角都是60o

，且||1,||2,||3a b c ===r r r ，

试求：（1）2()a b +r r ；（2）2(2)a b c +-r r r ；（3）(32)(3)a b b c -?-r r r r

．

向量的数量积（2）

一、教学目标：①向量的数量积运算

②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角

二、教学重点：①向量的数量积运算

②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角

三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法 四、教学过程：

考点一：向量的数量积运算

（一）、知识要点：

1）定义：① 设<,a b r r

>=θ,则a b =r r g （θ的范围为 ）

②设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r

则a b =r r g 。 注：①a b r r g 不能写成ab r r ，或a b ?r r ②a b r r

g 的结果为一个数值。 2）投影：b r 在a r

方向上的投影为 。

3）向量数量积运算律：

①a b b a =r r r r g

g ②()()()a b a b a b λλλ==r r r r r r g g g ③()a b c a c b c +=+r r r r r r r

g g g 注：①没有结合律()()a b c a b c =r r r r r r

g g g g

二）例题讲练

1、下列命题：①若0a b =r r g ，则a r ，b r 中至少一个为0r ②若a r 0≠r 且a b a c =r r r r g g ，则b c =r r

③()()a b c a b c =r r r r r r

g g g g ④22(32)(32)94a b a b a b +-=-r r r r r r g

中正确有个数为 （ ）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2、已知ABC ?中，A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，且a=3,b=1,C=30°,则BC CA u u u r u u u r g = 。

3、若a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，且3,1,4a b c ===r r r

，则a b b c a c ++r r r r r r g g g = 。

4、已知2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3

π，则a b +r r 在a r 上的投影

为 。

考点二：向量数量积性质应用

一）、知识要点：

①0a b a b ⊥?=r r r r

g

（用于判定垂直问题）

②a =r （用于求模运算问题）

③cos a b

a b

θ=r r g r r （用于求角运算问题）

二）例题讲练

1、已知2a =r ，3b =r ，且a r 与b r 的夹角为2

π，32c a b =+r

r r ，d ma b =-u r r r ，求

当m 为何值时c d ⊥r u r

2、已知1a =r ，1b =r ，323a b -=r r ，则3a b +=r r

。 3、已知a r 和b r 是非零向量，且a r =b r =a b -r r

，求a r 与a b +r r 的夹角

4、已知4a =r ，2b =r

，且a r 和b r 不共线，求使a b λ+r r 与a b λ-r r 的夹角是锐角

时λ的取值范围 课堂练习

1、已知1e u r 和2e u u r 是两个单位向量，夹角为3

π

，则（12e e -u r u u r ）12(32)e e -+u r u u r g 等于（ ）

A.-8

B. 92

C. 5

2

- D.8

2、已知1e u r 和2e u u r 是两个单位向量，夹角为3

π

，则下面向量中与212e e -u u r u r 垂直的是

（ ）

A. 12e e +u r u u r

B. 12e e -u r u u r

C. 1e u r

D. 2e u u r

3、在ABC ?中，设=a ，=b ，=c ，若0)(<+b a a ，则ABC ?（ ）

)(A 直角三角形 )(B 锐角三角形 )(C 钝角三角形 )(D 无法判定 4、已知a r 和b r 是非零向量，且3a b +r r 与75a b -r r 垂直，4a b -r r 与72a b -r r 垂直，求a r 与b r

的夹角。

5、已知OA u u u r 、OB uuu r 、OC u u u r 是非零的单位向量，且OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r =0r

，求证：

ABC ? 为正三角形。

3.1.5空间向量运算的坐标表示

一、向量在轴上的投影

1．几个概念

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ，AB 是轴u 上的有向线段，如果数λ满足

=λ且当与轴u 同向时λ是正的，当与轴u 反向时λ是负的，那么数λ叫

做轴u 上有向线段的值，记做AB ，即AB =λ。设e 是与u 轴同方向的单位向量，则

e λ=

(2) 设A 、B 、C 是u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BC AB AC += (3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a 和b ，任取空间一点O ，作a =OA ，

b =，规定不超过π的AOB ∠称为向量a 和b 的夹角，记为),(b a ∧

(4) 空间一点A 在轴u 上的投影：通过点A 作轴u 的垂直平面，该平面与轴u 的交点'

A 叫做点A 在轴u 上的投影。

(5) 向量在轴u 上的投影：设已知向量的起点A 和终点B 在轴u 上的投影分别

为点'A 和'B ，那么轴u 上的有向线段的值'

'B A 叫做向量在轴u 上的投影，记做

j u Pr 。

2．投影定理

性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角?的余弦：

?cos Pr AB AB j u =

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即

2121a a a a j j j u Pr Pr )(Pr +=+

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

a a j j u Pr )(Pr λλ=

二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法，使平面上或空间的点与有

序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设 a =21M M 是以),,(1111z y x M 为起点、

),,(2222z y x M 为终点的向量，i 、j 、k 分别表示

图7－5

沿x ，y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：

)(1221x x M M -=i + )(12y y -j +)(12z z -k

或

a = a x i + a y j + a z k

上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。

有序数组a x 、a y 、a z 与向量a 一一对应，向量a 在三条坐标轴上的投影a x 、a y 、a z 就

叫做向量a 的坐标，并记为

a ＝ {a x ，a y ，a z }。

上式叫做向量a 的坐标表示式。

于是，起点为),,(1111z y x M 终点为),,(2222z y x M 的向量可以表示为

},,{12121221z z y y x x M M ---=

特别地，点),,(z y x M 对于原点O 的向径

},,{z y x OM =

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a 在坐标轴上的投影是三个数a x 、a y 、a z ，

向量a 在坐标轴上的分向量是三个向量a x i 、 a y j 、 a z k . 2．向量运算的坐标表示 设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 即k j i a z y x a a a ++=，k j i b z y x b b b ++=

则

(1) 加法： k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a +++++=+ ◆ 减法： k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a -+-+-=-

◆ 乘数： k j i a )()()(z y x a a a λλλλ++=

◆ 或

},,{z z y y x x b a b a b a +++=+b a },,{z z y y x x b a b a b a ---=-b a

},,{z y x a a a λλλλ=a

◆ 平行：若a ≠0时，向量a b //相当于a b λ=，即

},,{},,{z y x z y x a a a b b b λ=

也相当于向量的对应坐标成比例即

z

z

y y x x a b a b a b =

= 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

设},,{z y x a a a =a ，可以用它与三个坐标轴的夹

角γβα、、（均大于等于0，小于等于π）来表示它的方向，称γβα、、为非零向量a 的方向角，见图7－6，其余弦表示形式γβαcos cos cos 、、称为方向余弦。 图 7－6

1． 模

2

22z y x a a a ++=a

2． 方向余弦

由性质1

知??

?????====γγββα

αcos cos cos a a a a a a z

y x ，当02

22≠++=z y x a a a a 时，有

????

?

?

?

????++=

=++==++=

=2222222

22cos cos cos z y x z z z y x y y z y x x

x a a a a a a a a a a a a a a a a a a γβα ◆ 任意向量的方向余弦有性质：1cos cos cos 2

2

2

=++γβα ◆ 与非零向量a 同方向的单位向量为：

}cos ,cos ,{cos },,{1γβα==

=

z y x a a a a

a

a a 0

3． 例子：已知两点M 1(2,2,2)、M 2(1,3,0)，计算向量21M M 的模、方向余弦、方向角以

及与21M M 同向的单位向量。

解：21M M ＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}

2)2(1)1(222=-++-=

21cos -=α，2

1

cos =β，22cos -=γ 32πα=

，3πβ=，4

3π

γ= 设0

a 为与21M M 同向的单位向量，由于}cos ,cos ,{cos γβα=0

a

即得

}2

2

,21,21{--=0a

3.2立体几何中的向量方法

空间距离

利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．

例１如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．

分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离．

解：如图，设=CD 4i ，=CB 4j ，=CG 2k ，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．

由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．

∴ )0,0,2(=BE ，)0,2,4(-=BF ， )2,4,0(-=BG ，)2,4,2(-=GE ，

)0,2,2(-=EF ．

设⊥BM 平面EFG ，M 为垂足，则M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a 、b 、c ，使得BG c BF b BE a BM ++=)1(=++c b a ，

∴ )2,4,0()0,2,4()0,0,2(-+-+=c b a BM ＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )． 由⊥BM 平面EFG ，得GE BM ⊥，EF BM ⊥，于是 0=?GE BM ，0=?EF BM ．

∴ ???

??=++=-?--+=-?--+10)0,2,2()2,42,42(0

)2,4,2()2,42,42(c b a c c b b a c c b b a

整理得：?????=++=++=-1

02305c b a c b a c a ，解得??

???

?

???=-==1131171115c b a ．

∴ BM ＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )＝)11

6,112,112(

． ∴ 11112116112112||2

2

2

=??

?

??+??? ??+??? ??=BM

故点B 到平面EFG 的距离为

11

11

2． 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．

例2已知正方体ABCD －''''D C B A 的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离． 分析：设异面直线'DA 、AC 的公垂线是直线l ，则线段'AA 在直线l 上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．

解：如图，设=''A B i ，=''C B j ，=B B 'k ，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系'B －xyz ，则有

)0,0,1('A ，)1,1,1(D ，)1,0,1(A ，)1,1,0(C ．

∴ )1,1,0('--=DA ，)0,1,1(-=AC ，)1,0,0('=A A ．

设n ),,(z y x =是直线l 方向上的单位向量，则1222=++z y x ． ∵ n DA ⊥，n AC ⊥，

∴ ??

?

??=++=+-=--1

00

222z y x y x z y ，解得33=-==z y x 或33-=-==z y x ．

取n )3

3,33,33(

-=，则向量A '在直线l 上的投影为 n ·A A ')33,33,33(

-=·)1,0,0(3

3

-

=． 由两个向量的数量积的几何意义知，直线'DA 与AC 的距离为

3

3

． 向量的内积与二面角的计算

在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：

,cos sin sin cos cos cos ?βαβαθ+= (1)

其中点O 是二面角P-MN-Q 的棱MN 上的点，OA 、OB 分别在平面P 和平面Q 内。α=∠AON ，β=∠BON ， θ=∠AOB 。?为二面角P-MN-Q （见图1）。

b ρa

ρβ

α

M

y

z

D

x

B

A

Q

P

N

O

图1

公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：

以Q 为坐标平面，直线MN 为y 轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz 平面与平面P 的交线为射线OD ，则MN OD ⊥，得

απ

-=

∠2

AOD ，?=∠DOx ，?π

-=

∠2

DOz 。

分别沿射线OA 、OB 的方向上作单位向量a ρ，b ρ

，则θ=b a ρρ,。

由计算知a ρ，b ρ

的坐标分别为

)sin sin ,cos ,cos (sin ?αα?α，)0,cos ,(sin ββ，

于是，

?βαβαθcos sin sin cos cos |

|||cos +=?=??=b a b a b

a ρρρρρ

ρ。

公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。

例1．立方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的边长为1，E 、F 、G 、H 、I 分别为A 1D 1、A 1A 、A 1B 1、B 1C 1、B 1B 的中点。

求面EFG 和面GHI 的夹角?的大小（用反三角函数表示）。

解 由于图2中所画的两平面EFG 和GHI 只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB 方向平移1个单位。这样就使平面EFG 平移至平面G HI '。而?就是二面角G-IH-G '（见图3）。利用公式（1），只要知道了α，

β和θ的大小，我们就能求出?。

1

A

图2

由已知条件，GHI

?和G

HI'

?均为等边三角形，所以

3

π

β

α=

=，而2

π

θ='

∠

=G

GI。因此，

D C

A

图3

?

π

π

π

π

π

cos

3

sin

3

sin

3

cos

3

cos

2

cos+

=，

即

?

cos

2

3

2

3

2

1

2

1

0?

+

?

=。

解得

3

1

cos-

=

?，

3

1

arccos

-

=π

?。

当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角?来。

例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角?的大小。

解我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线（如图4），则公式（1）中的α，β，?分别为：

AMN ∠=α， BMN ∠=β， AMB ∠=θ，

因此它们均为正五边形的内角。所以

?===108θβα。

图4

所以，由公式（1）知

?cos 108sin 108sin 108cos 108cos 108cos ????+???=?，

或

55

108sin )108cos 1(108cos cos 2

-=?

?-?=

?。 因此，5

5

arccos

-=π?，或4533116'''?≈?。 如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角?的大小在计算上要复杂很多。 利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V 。

设单位棱长正十二面体的中心为O ，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O 为其顶点。设该正五棱锥为Ω，从而可知：

Ω=V V 12。

再设Ω的底面积为S 、高为h ，设O '为单位边长正五边形（即Ω的底）的中心，A 、B 为该五边形的两个相邻的顶点，H 为AB 的中点，a H O ='||，则

?=∠54'AH O ， ?=∠=

54tan 21'tan 21AH O a ， ?=?=54tan 4

5

25a S 。 仍设?为正十二面体两相邻面的夹角，则2

tan ?

=a h 。所以

2

tan 54tan 21??=h 。

但是，

2

1

5cos 1cos 12

tan

+=

+-=

???

， 从而

Sh V V 412==Ω

??? ?????? ????=2tan 54tan 21

54tan 454?

2

tan )54(tan 252?

?= 215552525+?+?=

4

5

715+=， 或6631.7≈V