初中数学竞赛专项训练(1)
初中数学竞赛专项训练（1）
（实 数）
一、选择题
1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ） A. a ＋1
B. a 2+1
C. a 2+2a+1
D. a+2a +1
2、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2
＝a *a 。当x ＝2时，［3*（x *2
）］－2*x ＋1的值为 （ ） A. 34
B. 16
C. 12
D. 6
3、已知n 是奇数，m 是偶数，方程?
??=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。则
（ ）
A. x 0、y 0均为偶数
B. x 0、y 0均为奇数
C. x 0是偶数y 0是奇数
D. x 0是奇数y 0是偶数
4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （ ） A. 都是正数
B. 都是负数
C. 两正两负
D. 一正三负或一负三正
5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。 A. 111
B. 1000
C. 1001
D. 1111
8、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（ ）个 A. 4 B. 6
C. 8
D. 16
二、填空题 1、若2001
1
198********
??++=
S ，则S 的整数部分是____________________
2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰
是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。
3、已知正整数a 、b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么，a 、b 中较大的数是
＿＿＿＿＿。
4、设m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿
5、满足19982＋m 2＝19972＋n 2（0＜m ＜n ＜1998）的整数对（m 、n ）共有＿＿＿＿个
6、已知x 为正整数，y 和z 均为素数，且满足z
y x yz x 1
11=+= ，则x 的值是＿＿＿ 三、解答题
1、试求出这样四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数。
2、从1、2、
3、4……205共205个正整数中，最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数a 、b 、c （a ＜b ＜c ），都有ab ≠c 。
3、已知方程032462
2
=---n n x x 的根都是整数。求整数n 的值。
4、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。
5、若勾股数组中，弦与股的差为1。证明这样的勾股数组可表示为如下形式：
122221222++++a a a a a ， ， ，其中a 为正整数。
初中数学竞赛专项训练（2）
（代数式、恒等式、恒等变形）
一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。
1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元
2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么|
|||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为
（ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2
D. 0或-2
3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b
c a
b a
c ++
+的值为 （ ） A. 2
1
B. 2
2
C. 1
D.
2
4、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b
a b
a -+的值为
（ ）
A.
3
B.
6
C. 2
D. 3
5、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6、设a 、b 、c 为实数，2
26
23
2222
π
π
π
+
-=+
-=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值
（ ）
A. 大于0
B. 等于0
C. 不大于0
D. 小于0
7、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab
c ca b bc a 2
22+
+的值是 （ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
8、若13649832
2
++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数
C. 零
D. 整数
二、填空题
1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿
2、已知-1＜a ＜0，化简4)1
(4)1(22+-+-+a
a a a 得＿＿＿＿＿＿＿
3、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________
4、已知x 1、x 2、……、x 40都是正整数，且x 1+x 2+……+x 40＝58，若x 12+x 22+……+x 402的最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于＿＿＿＿＿＿＿＿
5、计算=+??+++++??++++)
441()417)(413)(49)(45()
439()415)(411)(47)(43(4444444444________________
6、已知多项式15472
3
--+x bx ax 可被13+x 和32-x 整除，则=+b a ＿＿＿＿＿
三、解答题：
1、已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a
d d c c b b a =+=+=+=+
1
111，试求x 的值。2、如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2
的值都是平方数（即整数的平方）。 证明：①2a 、ab 、c 都是整数。
②a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数。
反过来，如果②成立，是否对于一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2
的值都是平方数？
3、若2
2
2
2
1996199619951995+?+=a ，求证：a 是一完全平方数，并写出a 的值。4、设a 、b 、c 、d 是四个整数，且使得22222
2
)(4
1)(d c b a cd ab m --+-+=是一个非零整数，求证：｜m ｜一定是个合数。
5、若2
a 的十位数可取1、3、5、7、9。求a 的个位数。\
初中数学竞赛专项训练（3）
（方 程）
一、选择题：
1、方程018)8(2
=-++-a x a x 有两个整数根，试求整数a 的值 （ ）
A. -8
B. 8
C. 7
D. 9 2、方程1)1(3
2=-++x x x 的所有整数解的个数是
（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3、若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42
-=?与平方式20)
2(b ax M +=的大小关系是
（ ） A. △＞M B. △=M
C. △＜M
D. 不能确定
4、已知ac b 42
-是一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的一个实数根，则ab 的取值范围为
（ ）
A. ab ≥
8
1 B. ab ≤
8
1 C. ab ≥
4
1 D. ab ≤
4
1 5、已知1x 、2x 是方程0)53()2(2
2=+++--k k x k x 的两个实根，则2
2
2
1x x +的最大值是
（ ） A. 19
B. 18
C. 9
55
D. 以上答案都不对
6、已知z y x 、、为三个非负实数，且满足132523=-+=++z y x z y x ，
，z y x u 73-+=若，则u 的最大值与最小值之和为
（ ）
A. 77
62-
B. 77
64-
C. 77
68-
D. 77
74-
7、若m 、n 都是正实数，方程022
=++n mx x 和方程022
=++m nx x 都有实数根，则m+n 的最小值是 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
8、气象爱好者孔宗明同学在x （x 为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。则x 等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题
1、已知两个方程002
2
=++=++a bx x b ax x 与有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2、若)(01611016112
2b a b b a a ≠=++=++， ，则
=-b
a a
b ＿＿＿＿＿＿＿ 3、已知关于x 的方程012)1(2
=-+++n x n x 的两根为整数，则整数n 是＿＿＿＿＿
4、设1x 、2x 是方程02)1(22
2
=+++-k x k x 的两个实数根，且8)1)(1(21=++x x ，则k 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
5、已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582
=+-m x x 的两个根，则m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22
=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题
1、关于x 的方程01)1(2
=+--x k kx 有有理根，求整数k 的值。
2、设方程012001200320022
2
=-?-x x 的较大根是r ，方程01200220012
=+-x x 的较小根是s ，求r －s 的值。
3、确定自然数n 的值，使关于x 的一元二次方程0763510822
2
=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，并求出此两根。
4、已知关于x 的一元二次方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k 的值。
5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时1v 、2v 、3v 、4v 千米，且满足1v ＞2v ＞3
v ＞4v ＞0，其中，水v 为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？
初中数学竞赛专项训练（4）
（不等式）
一、选择题：
1、若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a 有解，则a 的取值范围是 （ ）
A. 0＜a ≤4
B. a ≥4
C. 0＜a ≤2
D. a ≥2 2、已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且
d c b a <，给出下列四个不等式：①d c c b a a +>+ ②d
c c
b a a +<
+ ③d c c b a b +>+ ④d
c d b a b +<+其中正确的是 （ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知a 、b 、c 满足a ＜b ＜c ，ab+bc+ac ＝0，abc ＝1，则 （ ） A. ｜a+b ｜＞|c| B. |a+b|＜|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定
4、关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 2
3535
2只有5个整数解，则a 的取值范围是 （ ）