七年级上册几何图形初步单元测试卷附答案
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.如图,∠AOB=90°,∠BOC=30°,射线OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度数;
(2)如果(1)中,∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON的度数;
(3)如果(1)中,∠BOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数;
(4)从(1)、(2)、(3)的结果中,你能看出什么规律?
【答案】(1)解:∠AOB=90°,∠BOC=30°,
∴∠AOC=90°+30=120°.
由角平分线的性质可知:∠MOC= ∠AOC=60°,∠CON= ∠BOC=15°.
∵∠MON=∠MOC﹣∠CON,
∴∠MON=60°﹣15°=45°
(2)解:∠AOB=α,∠BOC=30°,
∴∠AOC=α+30°.
由角平分线的性质可知:∠MOC= ∠AOC= α+15°,∠CON= ∠BOC=15°.
∵∠MON=∠MOC﹣∠CON,
∴∠MON= α+15°﹣15°= α
(3)解:∠AOB=90°,∠BOC=β,
∴∠AOC=β+90°.
由角平分线的性质可知:∠MOC= ∠AOC= β+45°,∠CON= ∠BOC= β.
∵∠MON=∠MOC﹣∠CON,
∴∠MON= β+45°﹣β=45°
(4)解:根据(1)、(2)、(3)可知∠MON= ∠BOC,与∠BOC的大小无关
【解析】【分析】(1)先求得∠AOC的度数,然后由角平分线的定义可知∠MOC=60°,
∠CON=15°,最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可;(2)先求得∠AOC=α+30°,由角平分线的定义可知∠MOC= α+15°,∠CON=15°,最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解
即可;(3)先求得∠AOC=β+90°,由角平分线的定义可知∠MOC= β+15°,∠CON= β,最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可;(4)根据计算结果找出其中的规律即可.
2.将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上(直角三角板OBC和直角三角板MON,∠OBC=90°,∠BOC=45°,∠MON=90°,∠MNO=30°),保持三角板OBC不动,将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转,旋转时间为t秒
(1)当t=________秒时,OM平分∠AOC?如图2,此时∠NOC﹣∠AOM=________°;
(2)继续旋转三角板MON,如图3,使得OM、ON同时在直线OC的右侧,猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系?并说明理由;
(3)若在三角板MON开始旋转的同时,另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转,当OM旋转至射线OD上时同时停止,(自行画图分析)
①当t=________秒时,OM平分∠AOC?
(4)②请直接写出在旋转过程中,∠NOC与∠AOM的数量关系.
【答案】(1)2.25;45
(2)解:∠NOC﹣∠AOM=45°,
∵∠AON=90°+10t,
∴∠NOC=90°+10t﹣45°
=45°+10t,
∵∠AOM=10t,
∴∠NOC﹣∠AOM=45°
(3)3
(4)解:②∠NOC﹣∠AOM=45°.
∵∠AOB=5t,∠AOM=10t,∠MON=90°,∠BOC=45°,
∵∠AON=90°+∠AOM=90°+10t,∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+5t,
∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+10t﹣45°﹣5t=45°+5t,
∴∠NOC﹣∠AOM=45°.
【解析】【解答】解:(1)∵∠AOC=45°,OM平分∠AOC,
∴∠AOM= =22.5°,
∴t=2.25秒,
∵∠MON=90°,∠MOC=22.5°,
∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°;
故答案为:2.25,45;
·(3)①∵∠AOB=5t,∠AOM=10t,
∴∠AOC=45°+5t,
∵OM平分∠AOC,
∴∠AOM= AOC,
∴10t= (45°+5t),
∴t=3秒,
故答案为:3.
【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠AOM= =22.5°,于是得到t=2.25秒,由
于∠MON=90°,∠MOC=22.5°,即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°;(2)根据题意得∠AON=90°+10t,求得∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t,即可得到结论;(3)①根据题意得∠AOB=5t,∠AOM=10t,求得∠AOC=45°+5t,根据角平分线的定义得
到∠AOM= AOC,列方程即可得到结论;(4)②根据角的和差即可得到结论.
3.如图1,点O是弹力墙MN上一点,魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转,当转到ON位置时,则从ON位置弹回,继续向OM位置旋转;当转到OM位置时,再从OM的位置弹回,继续转向ON位置,…,如此反复.按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转:第1步,从OA0(OA0在OM上)开始旋转α至OA1;第2步,从OA1开始继续旋转2α至OA2;第3步,从OA2开始继续旋转3α至OA3,?….
例如:当α=30°时,OA1, OA2, OA3, OA4的位置如图2所示,其中OA3恰好落在ON 上,∠A3OA4=120°;
当α=20°时,OA1, OA2, OA3, OA4, OA3的位置如图3所示,
其中第4步旋转到ON后弹回,即∠A3ON+∠NOA4=80°,而OA3恰好与OA2重合.
解决如下问题:
(1)若α=35°,在图4中借助量角器画出OA2,OA3,其中∠A3OA2的度数是________;
(2)若α<30°,且OA4所在的射线平分∠A2OA3,在如图5中画出OA1,OA2,OA3, OA4并求出α的值;
(3)若α<36°,且∠A2OA4=20°,则对应的α值是________
(4)(选做题)当OA i所在的射线是∠A i OA k(i,j,k是正整数,且OA j与OA k不重合)的平分线时,旋转停止,请探究:试问对于任意角α(α的度数为正整数,且α=180°),旋转是否可以停止?写出你的探究思路.
【答案】(1)45°
(2)解:如图所示.
∵α<30°,
∴∠A0OA3<180°,4α<180°.
∵OA4平分∠A2OA3,
∴2(180°﹣6α)+ =4α,解得:
(3),,
(4)解:对于角α=120°不能停止.理由如下:
无论a为多少度,旋转过若干次后,一定会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线,所以旋转会停止.
但特殊的,当a为120°时,第一次旋转120°,∠MOA1=120°,第二次旋转240°时,与OM 重合,第三次旋转360°,又与OM重合,第四次旋转480°时,又与OA1重合,…依此类推,旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况,不会出第三条射线,所以不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线这种情况,旋转不会停止
【解析】【解答】解:(1)解:如图所示.aφ=45°,
【分析】(1)根据题意,明确每次旋转的角度,计算即可;(2)根据各角的度数,找出等量关系式,列出方程,求出α的度数即可;(3)类比第(2)小题的算法,分三种情况讨论,求出α的度数即可;(4)无论a为多少度,旋转很多次,总会出一次OA i是∠A i OA K是的角平分线,但当a=120度时,只有两条射线,不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线,所以旋转会中止.
4.如图(1),将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起,
(1)若∠DCE=25°,∠ACB=?;若∠ACB=150°,则∠DCE=?;
(2)猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系,并说明理由;
(3)如图(2),若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起,则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系,请说明理由.
【答案】(1)【解答】∵∠ECB=90°,∠DCE=25°
∴∠DCB=90°﹣25°=65°
∵∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=155°.
∵∠ACB=150°,∠ACD=90°
∴∠DCB=150°﹣90°=60°
∵∠ECB=90°
∴∠DCE=90°﹣60°=30°.
故答案为:155°,30°
(2)【解答】猜想得:∠ACB+∠DCE=180°(或∠ACB与∠DCE互补)
理由:∵∠ECB=90°,∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB
∠DCE=∠ECB﹣∠DCB=90°﹣∠DCB
∴∠ACB+∠DCE=180°
(3)【解答】∠DAB+∠CAE=120°
理由如下:
∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB
故∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°.
【解析】【分析】(1)本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数,根据角的和差就可以求出∠ACB,∠DCE的度数;(2)根据前个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系,结合前问的解决思路得出证明.(3)根据(1)(2)解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明.
5.已知:如图1,在平面直角坐标系中,点A,B,E分别是x轴和y轴上的任意点.BD是∠ABE的平分线,BD的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C.
(1)探究:
求∠C的度数.
(2)发现:当点A,点B分别在x轴和y轴的正半轴上移动时,∠C的大小是否发生变化?若不变,请直接写出结论;若发生变化,请求出∠C的变化范围.
(3)应用:如图2在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=310°,CF平分∠DCB,CF的反向延长线与∠EDC外角的平分线相交于点P,求∠P的度数.
【答案】(1)解:∵∠ABE=∠OAB+∠AOB,∠AOB=90°,
∴∠ABE=∠OAB+90°,
∵BD是∠ABE的平分线,AC平分∠OAB,
∴∠ABE=2∠ABD,∠OAB=2∠BAC,
∴2∠ABD=2∠BAC+90°,
∴∠ABD=∠BAC+45°,
又∵∠ABD=∠BAC+∠C,
∴∠C=45°
(2)解:不变.
理由如下:∵∠ABE=∠OAB+∠AOB,∠AOB=90°,
∴∠ABE=∠OAB+90°,
∵BD是∠ABE的平分线,AC平分∠OAB,
∴∠ABE=2∠ABD,∠OAB=2∠BAC,
∴2∠ABD=2∠BAC+∠AOB,
∴∠ABD=∠BAC+ ∠AOB,
又∵∠ABD=∠BAC+∠C,
∴∠C=∠AOB=45°
(3)解:延长ED,BC相交于点G.
在四边形ABGE中,
∵∠G=360°﹣(∠A+∠B+∠E)=50°,
∴∠P=∠FCD﹣∠CDP=(∠DCB﹣∠CDG)
=∠G= ×50°=25°
【解析】【分析】(1)(2)根据三角形外角的性质和角平分线的性质进行解答;
(3)延长ED,BC相交于点G,根据四边形形内角和为360°求得∠G的度数,再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求∠P的度数.
6.如图(1),AB∥CD,在AB、CD内有一条折线EPF.
(1)求证:∠AEP+∠CFP=∠EPF.
(2)如图(2),已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q,试探索∠EPF与∠EQF 之间的关系.
(3)如图(3),已知∠BEQ= ∠BEP,∠DFQ= ∠DFP,则∠P与∠Q有什么关系,说明理由.
(4)已知∠BEQ= ∠BEP,∠DFQ= ∠DFP,则∠P与∠Q有什么关系.(直接写结论) 【答案】(1)证明:如图1,过点P作PG∥AB,
∵AB∥CD,
∴PG∥CD,
∴∠AEP=∠1,∠CFP=∠2,
又∵∠1+∠2=∠EPF,
∴∠AEP+∠CFP=∠EPF
(2)解:如图2
由(1),可得
∠EPF=∠AEP+CFP,∠EQF=∠BEQ+∠DFQ,
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q,
∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ
∴
(3)解:如图3,
,
由(1),可得
∠P=∠AEP+CFP,∠Q=∠BEQ+∠DFQ,
∵
∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ
∴
(4)解:由(1),可得
∠P=∠AEP+CFP,∠Q=∠BEQ+∠DFQ,
∵
∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ
∴
【解析】【分析】(1)如图1,过点P作PG∥AB,根据两直线平行,内错角相等,可得∠AEP=∠1,∠CFP=∠2,从而可得∠AEP+∠CFP=∠EPF.
(2)由(1),可得∠EPF=∠AEP+CFP,∠EQF=∠BEQ+∠DFQ,利用角平分线的定
义,可得∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=(∠BEP+∠DFP),利用平角定义,可得∠BEP+∠DFP=360°-(∠AEP+∠CFP)=360°-∠EPF,从而可得∠EPF+2∠EQF=360°.(3)同(2)方法,即可得出∠P+3∠Q=360°.
(4)同(2)方法,即可得出结论.
7.已知:如图所示,直线,另一直线交于,交于,且,点为直线上一动点,过点的直线交于点,且 .
(1)如图1,当点在点右边且点在点左边时,的平分线与的平分线交于点,求的度数;
(2)如图2,当点在点右边且点在点右边时,的平分线与的平分线交于点,求的度数;
(3)当点在点左边且点在点左边时,的平分线与的平分线所在直线交于点,请直接写出的度数,不说明理由.
【答案】(1)解:过点作 .
∵平分 .
∴ .
∴(两直线平行,内错角相等).
同理可证.
.
∴ .
(2)解:过点作 .
∵ .
∴ .
∵平分 .
∴ .
∴(两直线平行,同旁内角互补).
∵平分 .
∴(两直线平行,内错角相等).
∴ .
(3)解:过点作 .
∵平分 .
∴(两直线平行等,内错角相等).
∴平分 .
.
∴ .
∴(两直线平行,同旁内角互补).
.
【解析】【分析】(1)过点作,由角平分线定义可
得,利用两直线平行内错角相等,可
得,同理可得∠CPE=∠PCA= ∠DCA=25°,从而求出∠BPC的度数.
(2)过点作 . 利用邻补角定义可得∠DBA=100°,由角平分线定义可得∠DBP= ∠DBA=50°,根据两直线平行,同旁内角互补可得∠BPE=130°.根据角平分线定义
及两直线平行,内错角相等角可得∠PCA=∠CPE= ∠DCA=25°,从而求∠BPC的度数.(3)过点作 . 根据两直线平行,内错角相等角可得∠DBP=∠DPE=40°,根
据邻补角可求出∠CPE的度数,由角平分线的定义可得∠PCA= ∠DCA=65°,根据两直线平行,同旁内角互补可求出∠CPE的度数,继而求出∠BPC的度数.
8.如图1,△ABC中,D、E、F三点分别在AB,AC,BC三边上,过点D的直线与线段EF
的交点为点H,∠1+∠2=180°,∠3=∠C.
(1)求证:DE∥BC;
(2)在以上条件下,若△ABC及D,E两点的位置不变,点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化,保证点H存在且不与点F重合,探究:要使∠1=∠BFH成立,请说明点F 应该满足的位置条件,在图2中画出符合条件的图形并说明理由.
(3)在(2)的条件下,若∠C=α,直接写出∠BFH的大小________.
【答案】(1)证明:如图1.
∵∠1是△DEH的外角,∴∠1=∠3+∠4.
又∵∠1+∠2=180°,∴∠3+∠4+∠2=180°.
∵∠3=∠C,∴∠C+∠4+∠2=180°,即∠DEC+∠C=180°,∴DE∥BC
(2)解:如图2.
∵∠1是△DEH的外角,∴∠1=∠3+∠DEF,①
∵∠BFE是△CEF的外角,∴∠BFH=∠2+∠C.
当∠1=∠BFH时,∠1=∠2+∠C,②
由①②得:∠3+∠DEF=∠2+∠C.
∵∠3=∠C,∴∠DEF=∠2,即EF平分∠DEC,∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时,∠1=∠BFH成立.
(3)90°+
【解析】【解答】(3)∵EF平分∠DEC,∴∠DEF=∠2.
∵DE∥BC,∴∠DEC+∠C=180°,∴2∠2+α=180°,∴∠2= = .
∵∠BFH=∠2+∠C= = .
【分析】(1)欲证明DE∥BC,只需推知∠DEC+∠C=180°即可,因此先根据外角性质,将∠1转化为∠3+∠4,再根据∠1与∠2互补,得到∠3+∠4+∠2=180°,最后将∠3=∠C代入即可得出结论;(2)点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时,∠1=∠BFH成立.(3)根据平行线的性质和角平分线的定义,得出∠2的度数,再由三角形外角的性质即可得出结论.
9.如图,P是定长线段AB上一点,C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上,D在线段BP上)
(1)若C、D运动到任一时刻时,总有PD=2AC,请说明P点在线段AB上的位置:
(2)在(1)的条件下,Q是直线AB上一点,且AQ﹣BQ=PQ,求的值.
(3)在(1)的条件下,若C、D运动5秒后,恰好有,此时C点停止运动,D 点继续运动(D点在线段PB上),M、N分别是CD、PD的中点,下列结论:①PM﹣PN
的值不变;② 的值不变,可以说明,只有一个结论是正确的,请你找出正确的结论并求值.
【答案】(1)解:由题意:BD=2PC
∵PD=2AC,
∴BD+PD=2(PC+AC),即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的处
(2)解:如图:
∵AQ-BQ=PQ,
∴AQ=PQ+BQ,
∵AQ=AP+PQ,
∴AP=BQ,
∴PQ= AB,
∴
(3)解:② 的值不变.
理由:如图,
当点C停止运动时,有CD= AB,
∴CM= AB,
∴PM=CM-CP= AB-5,
∵PD= AB-10,
∴PN= AB-10)= AB-5,
∴MN=PN-PM= AB,
当点C停止运动,D点继续运动时,MN的值不变,
所以
【解析】【分析】(1)根据C、D的运动速度知BD=2PC,再由已知条件PD=2AC求得
PB=2AP,所以点P在线段AB上的处;(2)由题设画出图示,根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ;然后求得AP=BQ,从而求得PQ与AB的关系;(3)当点C停止运动时,有
CD= AB,从而求得CM与AB的数量关系;然后求得以AB表示的PM与PN的值,所以MN=PN?PM= AB.
10.问题情景:如图1,AB//CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
小明的思路是:
过点P作PE//AB,
∴∠PAB+∠APE=180°.
∵∠PAB=130°,∴∠APE=50°
∵AB//CD,PE//AB,∴PE//CD,
∴∠PCD+∠CPE=180°.
∵∠PCD=120°,∴∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
问题迁移:如果AB与CD平行关系不变,动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时,∠PAB,∠PCD的度数会跟着发生变化.
(1)如图3,当动点P运动到直线AC右侧时,请写出∠PAB,∠PCD和∠APC之间的数量关系?并说明理由.
(2)如图4,AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,请直接写出∠AQC和∠APC的数量关系
________.
(3)如图5,点P在直线AC的左侧时,AQ,CQ仍然平分∠PAB,∠PCD,请直接写出∠AQC和角∠APC的数量关系________
【答案】(1)∠PAB+∠PCD=∠APC
理由:如图3,过点P作PF∥AB,
∴∠PAB=∠APF,
∵AB∥CD,PF∥AB,
∴PF∥CD,
∴∠PCD=∠CPF,
∴∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC,
即∠PAB+∠PCD=∠APC
故答案为:∠PAB+∠PCD=∠APC
(2)
(3)2∠AQC+∠APC=360°
【解析】【解答】(2)
理由:如图4,
∵AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,
∴∠QAB= ∠PAB,∠QCD= ∠PCD,
∴∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD),由(1),可得∠PAB+∠PCD=∠APC,
∠QAB+∠QCD=∠AQC
∴∠AQC= ∠APC
故答案为:∠AQC= ∠APC;(3)2∠AQC+∠APC=360°理由:如图5,过点P作PG∥AB ,
∴∠PAB+∠APG=180°,
∵AB∥CD,PG∥AB,
∴PG//CD,
∴∠PCD+∠CPG=180°,
∴∠PAB+∠APG+∠PCD+∠CPG=360°,
∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°,
∵AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,
∴∠QAB= ∠PAB,∠QCD= ∠PCD,
∴∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+PCD)
由(1)知,∠QAB+∠QCD=∠AQC,
∴∠AQC= (∠PAB+∠PCD)
2∠AQC=∠PAB+∠PCD,
∵∠PAB+∠PCD+∠APC=360°,
∴2∠AQC+∠APC=360°.
【分析】(1)过点P作PF∥AB,可得∠PAB=∠APF,根据AB∥CD,PF∥AB,可得∠PCD=∠CPF,所以∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC,即可证得∠PAB+∠PCD=∠APC;
(2)已知AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,根据角平分线性质,可得∠QAB= ∠PAB,
∠QCD= ∠PCD,∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD),再根据(1)结论,
即可证明∠AQC= ∠APC.(3)过点P作PG∥AB,根据平行线的性质可得∠PAB+∠APG=180°,由已知可得PG//CD,∠PCD+∠CPG=180°,证明得∠PAB+∠PCD+∠APC=360°,,再根据AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,可得
∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD),即可证明得出结论2∠AQC+∠APC=360°.
11.如图 1,直线分别交于点 (点在点的右侧),若
(1)求证: ;
(2)如图2所示,点在之间,且位于的异侧,连,若,则三个角之间存在何种数量关系,并说明理由.
(3)如图 3 所示,点在线段上,点在直线的下方,点是直线上一点(在的左侧),连接 ,若 ,则请直接写出
与之间的数量
【答案】(1)证明:∵∠1=∠BEF,
∴∠BEF+∠2=180°
∴AB∥CD.
(2)解:
设∠N= ,∠M= ,∠AEM= ,∠NFD=
过M作MP∥AB,过N作NQ∥AB