二项式定理公开课教案设计
二项式定理公开课教案
1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。
2、难点：二项式定理的发现。
三、教学过程
1、情景设置
问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？
预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。
问题2：若今天是星期一，再过)(8*∈N n n 天后是星期几？怎么算？
预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。
2、新授
第一步：让学生展开
b a b a +=+1)(
2222)(b ab a b a ++=+；
32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+；
43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+
5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+
教师将以上各展开式的系数整理成如下模型
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。
预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。
问题2：以5
)(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
初步归纳出下式：
()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※）
（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）
练习：展开7)(b a +
教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。
第二步：继续设疑
如何展开100)
(b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷
的方法的欲望。）
继续新授
师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算： ))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
4321a a a a = ………4a 1432243134214321b a a a b a a a b a a a b a a a +++= ………b a 3 214331424132324142314321b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a +++++= ………22b a 3214421343124321b b b a b b b a b b b a b b b a +++= ………3ab 4321b b b b = ………4b （设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）
问题1：以22b a 项为例，有几种情况相乘均可得到2
2b a 项？这里的字母b a ,各来自哪个括号？
问题2：既然以上的字母b a ,分别来自4个不同的括号，22b a 项的系数你能用组合数来表示吗？
问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？
（预期答案： 有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a 、一个是b 。每个括号只能取一个字母，任取两个a 、两个b ，然后相乘，问不同的取法有几种？）
问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：
()()()()()4322344))()()(()(b ab b a b a a b a b a b a b a b a ++++=++++=+ 括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。
呈现二项式定理——板书课题：
)()(222110*---∈++++++=+N n b C b a C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n n n 。
3、深化认识
请学生总结：
①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？
②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？
由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。
（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）
4、巩固应用
【例1】展开①4)11(x + ②6)12(x
x - 【例2】①求7)21(x +的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。 ②求9)1(x
x -的展开式中含3x 项的系数。 变式：在二项式定理中，令x b a ==,1，得到怎样的公式？
n n n r r n n n n x C x C x C x C x ++++++=+ 2211)1(
思考：?210=++++++n n r n n n n C C C C C 为什么？
?21=+++++n n r n n n C C C C
【例3】解决起始问题：n n
n n n n n n n n C C C C ++++=+=--777)17(81110 ， 前面是7的倍数，因此余数为1=n n C ，故应该为星期二。
说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。
四、课堂小结
①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。
②二项式定理的表达式以及展开式的通项，
③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”， ？
表示，即通项为展开式的第k+1
次齐次多项式；
1
6 1
以外的每一个数都等于它肩上两个数的那么它肩上的两个数分别为C n n-1，C n r，所以
决定，n k -n n
C +
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利
松鼠公开课教案设计
《松鼠》教学设计 丹阳市麦溪中学丽 一、导入新课 课前播放《松鼠》的视频 同学们，刚刚我们看了一段关于松鼠的视频，相信大家对松鼠已经有了初步的了解，接下来我们一起走进课文，去了解它更多的特征。 二、作者介绍 拿出预习卡。谁能向我们大家简单介绍一下作者？（学生介绍） （投影）布封是18世纪法国著名的博物学家、作家。他毕生从事博物学研究，用40年的时间写出了36册巨著《自然史》。这部作品对自然界作了详细而科学的描述，并因其文笔优美而著称。在布封的笔下，小松鼠善良可爱，大象温和憨厚，鸽子夫妇相亲相爱，具有人类的一切美好品质。 三、字词检查 哪位同学上台给大家展示你积累的字词？（学生上台讲解，并带领大家朗读两遍，台下同学补充） 驯良（）矫健（）帽缨（）榛子（） 榉实（）蛰伏（）苔藓（）当成（） 四、整体感知 预习工作做得还不错，继续看看，这个问题能不能难倒你们？带着它大声朗读课文。
松鼠之所以讨人喜欢，是因为它漂亮、驯良、乖巧。 这么快就找到答案了，在哪里寻找到的？文章的第一小节，看来是抓住了关键的语段了。 那下面请同学们简单介绍一下松鼠的这三个特征吧，要：以松鼠的口吻第一人称介绍，同学们自己尝试着说给同桌听。 句式：我是的小松鼠，因为我的。明确 漂亮（外形）：面容清秀、眼睛闪闪发光、身体矫健、 四肢轻快、尾巴美丽、吃相优雅； 驯良（习性）：活动围在树林中，不侵犯人类 活动时间在夜晚，不骚扰人类 吃的食物为果实，不伤害人畜； 乖巧（动作）：动作（过水敏捷、警觉性高、跑跳轻快） 搭窝（环境干净暖和、搭窝过程、窝口设计）刚刚这几位同学的介绍，让大家明白了松鼠漂亮、驯良、乖巧的确名不虚传。 （投影）布丰的作品已经经历了300多年时光，他们之所以被人称颂，不仅因为布丰在科学上是达尔文等人的前驱，还因为他是个兼有思想天才和文笔天才的大作家（法国科学家佛卢朗斯）； 而《自然史》不仅是一部博物史，更像一部史诗，笔锋富有感情，它以形象的比喻、拟人的描写使语言生动活泼、趣味横生。下面我们就和文本来一场华丽的约会。
高中数学教案——二项式定理 第二课时
课 题： 10．4二项式定理(二) 教学目的： 1 2.展开式中的第1+r 项的二项式系数r n C 与第1+r 项的系数是不同的概念 教学重点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用教学难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，
（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、讲解范例： 例1．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求9 1 ()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =， ∴3x 的系数339(1)84C -=-，3 x 的二项式系数3984C =． 例2．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数 分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开 解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x 02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+?22224(3)4C x x ++?3234444(3)44C x x C -+?+?， 显然，上式中只有第四项中含x 的项， ∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=??-C （法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 4 4)4()1(+-=x x ) (4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +?+?+?+? ∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．
二项式定理教学设计(沈琦)
《二项式定理（一）》教案设计 贵州省铜仁第一中学沈琦 一、教案内容解读 《1.3.1 二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书- 数学》选修2-3 第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。 二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值, 不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教案，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。 二项式定理本身是教案重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。 二项式定理的证明是一个教案难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。 二、学情分析学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课 二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此 本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识 的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。 在教案中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活
二项式定理教学案设计
《二项式定理》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？ 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识． 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析 各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明 探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理 可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -， 它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
公开课教学设计
公开课教学设计 《功能关系—传送带模型的构建》 华容一中胡昌武 一、教学目标 知识目标： 1、进一步掌握物体在传送带上的运动规律 2、理解掌握物体在传送带上运动的功能分析方法及过程 能力目标： 提高学生建模能力、分析问题、解决问题的能力 情感目标: 培养学生独立思考、合作探究和推理判断的能力 二、教学重点 物体在传送带上运动产生内能的原因及计算。 三、教学难点 模型的迁移运用 四、课时：1课时 五、教学过程 （一）激情导入 高考动向： 我们研究过运动学的问题，也研究过功与能的有关问题，这两类问题在高考中都很难绕过一个基本模型——传送带。近几年有关传送带考题也是频频出现。传送带问题的考查一般从两个层面上展开，一是受力和运动分析，二是功能分析。今天我们主要研究第二类问题。
下面请同学们完成学案上的复习引入里的有关问题。 问题情境 如图所示，传送带随轮以恒定的速率1v 顺时针转动（01>v ），物体从左端以速度2v 滑上传送带，从传送带左端运动到右端。试分析下列问题： 情况 答案 问题 12v v < 12v v > 12v v = 是否受到摩擦力作用 物体将会在传送带上怎样运动 （二）合作探究，小组交流 将学生分成学习小组，讨论研究下面的三个问题： 探究1：一水平传送带两轮之间距离为10m ，以1v =4m/s 的速度做匀速运动。已知某质量为1kg 小物体与传送带间的动摩擦因数为0.1，将该小物体轻轻的无初速放在传送带的左端，设传送带速率不受影响，求物体从左端运动到右端的过程中(g 取10m/s2) (1)传送带对物体做的功W f ； (2)系统产生的内能Q ； (3)物体对传送带做的功W F 。 2v 1v v 2 v 1 v
二项式定理(一)教案
二项式定理教案（一） 一、教学目标： 1．知识技能： （1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广 （2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理 2．过程与方法 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3．情感、态度、价值观 培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 三、教学过程 （一）提出问题： 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。如2222)(b ab a b a ++=+， 那么： 3 ) (b a +=? 4)(b a +=? 100)(b a +=? 更进一步：n b a )(+=？ （二）对2)(b a +展开式的分析 ))(()(2 b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为：22,,b ab a 考虑b ，每个都不取b 的情况有1种，即02c ,则2a 前的系数为02c 恰有1个取b 的情况有12c 种，则ab 前的系数为12c 恰有2个取b 的情况有22c 种，则2b 前的系数为22c 所以 2 2212202 2222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+ 类似地 3 33223213 3033223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+ 思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=? 问题： 1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？ 4 a b a 3 22b a 3ab 4b
二项式定理教学设计
二项式定理 一、教学目标 1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用 2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。 3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 二、教学重点、难点 重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别 三、教学过程 创设问题情境： 今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，100 8 天后星期几呢？ 前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几 新课讲解： 问题1 ()()a b c d ++的展开式有多少项？有无同类项可以合并？ 由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。 问题2 ()()a b a b ++的()2 a b +原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成的？有规律吗？ 学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题3 ()()()a b a b a b +++的 ()3 a b +原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？ 是哪几项？ 学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题4 ()()()()a b a b a b a b ++++的()4 a b +的原始展开式有多少项？ 问题5 你能准确快速地写出()4 a b +的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几项？ 此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热） 启发类比：4个袋中有红球a ，白球b 各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ 在4个括号（袋子）中
二项式定理公开课教案
二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
高中数学《二项式定理一》教案设计
《二项式定理(一)》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？ 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识． 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析 各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明 探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理 可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -， 它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
二项式定理教学设计
今天是星期三，15 天后星期几，30 天后星期几， 8 (a + b )(a + b )的 (a + b ) (a + b )(a + b )(a + b )的 (a + b ) 原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？ (a + b )(a + b )(a + b )(a + b )的 (a + b ) 问题 5 你能准确快速地写出 (a + b ) 的原始展开式的 16 项吗？经合并后，又只能有哪几 二项式定理 一、教学目标 1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用 2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理 能力以及科学的思维方式。 3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁 美、和谐美和对称美。 二、教学重点、难点 重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别 三、教学过程 创设问题情境： 100 天后星期几呢？ 前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生 试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日 历就能知道未来任何一天是星期几 新课讲解： 问题 1 (a + b )(c + d )的展开式有多少项？有无同类项可以合并？ 由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速 的说出答案。 问题 2 2 原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成 的？有规律吗？ 学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题 3 3 是哪几项？ 学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题 4 4 的原始展开式有多少项？ 4 项？ 此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难， 易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热） 启发类比：4 个袋中有红球 a ，白球 b 各一个，每次从 4 个袋子中各取一个球，有什么样 的取法？各种取法有多少种？ 在 4 个括号（袋子）中
校内公开课教案设计
校内公开课教案设计 校内公开课教案设计：（1） 课题： 《凡卡》（小学语文第十一册） 申报教师：赵一锋 XX年12月 《凡卡》 一、教材分析： 《凡卡》是俄国著名作家契诃夫于1886年所作的一篇优秀短篇小说。通过凡卡给爷爷写信这件事，反映了沙皇统治下俄国社会中穷苦儿童的悲惨命运，揭露了当时社会制度的黑暗。 全文按写信前、写信中、写后的顺序安排内容，可分为三部分。第一部分写讲圣诞前夜，凡
卡趁老板做礼拜的机会，准备偷偷地写信。第二部分具体介绍了凡卡写信的内容和写信时的联想，反映了凡卡悲惨的遭遇，第三部分讲凡卡写信封、寄信和寄信后做的梦。课文由作者的叙述、凡卡的信和凡卡写信过程中的回忆三部分内容穿插起来写的，学习时，要分清哪些是作者的叙述，哪些是信的内容，哪些是凡卡的回忆。 本课在写法上有许多对我们有启发的地方。1．巧妙地运用插叙。全文以凡卡写信的过程为顺序，其中有两处插叙，一处插叙爷爷守夜的情形，另一处是爷爷带凡卡砍圣诞树的情形。这两处插叙都是凡卡自然而然的回忆，但与全文表达的中心结合紧密。2．细节描写生动形象。文章中这样的例子很多，如凡卡为写信做准备的描写，受老板、老板娘折磨的描写等等，都写得非常生动感人。3．意味深长的结尾。凡卡“寄”了信，还做了个好梦。但他爷爷是收不到这封信的。他的“甜蜜的希望”只能是一场梦。这样的结尾，使人越发感到凡卡命运的悲惨。 二、设计理念: 教学《凡卡》就要了解小说的背景，了解作家
的写作意图。这篇小说由俄国著名作家契诃夫写于1886年，当时正是俄国沙皇统治最黑暗的时期，人民过着苦难的生活，无数破产的农民被迫流入城市谋生，他们深受剥削之苦，连儿童也不能幸免。以前在教学《凡卡》这篇课文时，一般都要引导学生通过学习课文感受凡卡的悲惨生活从而揭露了资本主义社会的罪恶，感受今天的幸福生活。另外，契诃夫创作《凡卡》的意图不仅表现凡卡的悲惨生活，还想表现他的童稚心灵和对幸福的向往，因此教学这篇课文值得注意。 新课标中指出：“阅读叙事性作品，了解事件梗概，简单描述自己印象最深的场景、人物、细节，说出自己的喜欢、憎恶、崇敬、向往、同情等感受。……”“联系上下文和自己的积累，推想课文中有关词句的内涵，体会其表达效果。” 因此，在进行教学设计时，一定要考虑课文特点，课标精神和学生的认知水平的三者结合点，使教学更有利于学生语文水平和能力的整体发展。 三、教学目标（第二课时）
二项式定理第一课时教学设计
二项式定理第一课时教学设计 广西北海市第五中学蒙旭芬 一、教材分析： 1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。 教学目标： 1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册（下A）》的第十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系，利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。 【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分析 2、能力目标：在学 3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。 一、教学重点，难点，关键： 重点： （1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。 （2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。 （3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。 难点：
最新匆匆优质课教学设计获奖
教学目标： 1、掌握本课的生字新词，正确、流利地朗读并背诵课文。 2、了解散文的语言特色，体会作者如何把无形的时间写具体形象的。 3、体会作者对时光流逝的无奈和惋惜，引导学生合理利用自己的时 间，激发学生珍惜时间的情感。 教学重点： 深入学习重点句段，体悟作者的心境。 教学难点： 领悟表达方法，感受散文的语言美。 教学过程： 一、视频弹唱引入课题 播放由教师弹唱的有关时间流逝的歌曲，学生思考歌曲唱了什么内容？生：歌曲的内容是有关时间流逝的。 师：时光匆匆，往事如烟，时间是艺术作品永恒的主题。今天，我们一起来学习一篇有关时间的散文--《匆匆》。 二、学习文章作者以及写作背景 师：对于本课的作者—朱自清你有怎样的了解？ 师生分享交流收集的作者的资料。 师：作者是在怎样的背景下写的这篇文章。 学生回答。教师相机点播（五四运动的落潮期，朱自清想报效国家，却无用武之地，心情低落，长叹时光流逝）。 三、学习生字新词
1、师：请同学们看一看大屏幕上出现的生字新词，默读一下，一会找同学来给大家读一读。 找个别学生读字词，其他同学认真听。（本环节重在正音，个别同学和齐读想结合，加深学生对正确读音的印象） 2、师：大家既然能读准这些字词，那对这些字词的意思你了解吗？请同学们对自己能够理解的字词进行解释并说一说自己解释词语的方法？ 同学们不仅说出自己对词语的理解，还分享了自己的解释词语的方法四、朗读课文回答问题 师：课文题目叫匆匆，那匆匆指的是什么能？ 生：时间 师：在文中，时间匆匆有怎样的具体表现呢？时间又具有怎样的特点呢？请大家带着这两个问题去朗读课文。 学生朗读课文后，回答问题。教师相机引导学生学习“于是—洗手的时候到从我脚边飞去了”和“燕子去了”这两个重点部分，重点引导学生体会作者的写法(把抽象的时间写具体)和语言美。 五、默读课文深入探讨 师：作者面对自己的时间，是怎样的心境？你从哪里体会到的？把你找到的句子画一画，写一写自己的理解，小组讨论一下。 生：回答自己找的句子，分享自己的体悟，教师相机点播，引导写生读出感觉。 （本环节重在对学生情感的引导。在读中，使学生和作者产生情感的共鸣。教师范读，引导学生读，齐读，读出对于时光流逝的无奈，读出对
二项式定理复习课的教学设计
二项式定理复习课的教学设计 1、教学内容：高中数学理科选修2-3：《二项式定理复习课》 2、教学对象分析： 学生高二学习了《二项式定理》的全部内容，对这部分内容有了初步的了解，但遗忘率比较大，对二项式定理的题型已经生疏，因此让学生在老师的指导下，对《二项式定理》进行复习应用，巩固和加深。在复习的过程中，渗透了《排列组合》等其它的内容，加强了知识点之间的联系，培养学生综合运用知识的能力。 3、教学内容分析: 本节内容包括以下几部分： （1）二项式展开式的特点。 （2）二项式展开式项的系数和二项式式系数。 （3）二项式定理的四个应用。 教学目标： （1）知识目标：复习二项式定理，正确理解和区分二项式系数、通项、二项式项的系数等概念，会利用通项公式及二项式系数的性质解决有关计算问题. （2）能力目标：通过讲练结合使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，提高分析和解决问题的能力。 （3）情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。 教学重点： 二项式定理的应用 教学难点 ： 二项式定理及二项式系数性质的灵活应用 教学方法：讲练结合 教学过程： 1、知识回顾： (1)二项式定理： =+n b a )( （*N n ∈）. 二项式展开式的通项公式为=+1r T . (2)二项式系数： ①n b a )(+展开式的二项式系数之和为 ，即 =++++++n n k n n n n C C C C ......C 210 ②奇数项的系数之和等于 的系数之和，即=++...C 20 n n C = 2、热身练习：
《一分钟》公开课教学设计
《一分钟》公开课教学设计 课时：第一课时 教材分析： 《一分钟》是二年级上册第二单元中的一篇课文。课文以小学生喜爱的故事形式出现， 内容较为通俗。本篇课文与学生生活联系密切，教学中应引导学生联系自己的生活实际理解课文内容，从中受到教育和影响。 由于二年级的学生小，时间观念不强，对于如何珍惜时间缺乏感性认识。本文正是一篇十分优秀的文章。教学时要充分利用教材资源创设情境，在读中感悟，从中体会元元的焦急与尴尬，也使这件事成为宝贵的教训，促使每个学生都能对自己严格要求，珍惜时间。 设计理念： 1、语文教学应充分发挥师生双方在教学中的主动性和创造性。而要二年级小学生达到这个理想目标，还不太可能，因此教师的有效引导显得更加重要。 2、架设生活与教材联系的桥梁，引导和调动学生情感体验。 3、使朗读成为学生学习探究的重要手段。让学生在自主的气氛中学习，自主地读、说，初步了解“一分钟”，珍惜“一分钟”、科学利用“一分钟”。 教学目标： 1、有主动识字的愿望，会认“钟、零”等9个字，会写“叹、迟”等8个字。 2、正确、流利、有感情地朗读课文。感受轻声、停顿给朗读带来的美感。 3、用联系上下文、结合画面的方法，体会人物的心情，感受时间的宝贵，并懂得珍惜时间。 教学重难点： 1、识字与朗读。 2、感受时间的宝贵，并懂得珍惜时间。 教学过程： 一、谈话导入，激发兴趣 师：小朋友们，今天早上，我和你们的数学老师吵架了！是这样的，我做了一道数学题，可是你们的数学老师说我做得不对，于是我们就吵起来了。现在我想请小朋友们帮我看一下，究竟是我对，还是你们的汪老师对。（板书：1 = 20）我的这道数学题对不对呀？ 师：啊？为什么不对？谁能说说。 师：大家都认为朱老师的这道算式是错的，不过我相信学了今天这篇课文，会有很多小朋友认同朱老师的说法的！ 二、初读课文，整体感知 1、生读课题，师板书，重点讲解“钟”字的写法。 2、生初读课文。 3、好了，现在，认为1等于20的小朋友请举手。那现在谁能告诉大家，这里的“1”指的是什么？20指的是什么？（生回答，师相机板书，构成：1分钟=20分钟。） 4、师在“一分钟”上面板书“多睡”，引导学生在“20分钟”上写“迟到”，重点讲解“迟”字的写法。 三、研读课文，品味语言 （一）精读第一自然段
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计一
课题：§1.3.1二项式定理（人教A版高中课标教材数学选修2-3）
《二项式定理》教学设计 一、教学内容解析 《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识． 二、教学目标设置 新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题． 2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力． 3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感． 三、学情分析 １．有利因素 授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助． ２．不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程． 四、教法策略分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学． 本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程． 五、教学过程 （一）创设情境 引入课题 引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：2()+=a b ？ 3()+=a b ？
愚公移山公开课教案愚公移山公开课教案设计
愚公移山公开课教案愚公移山公开课教案 设计 教案是教师的教学设计和设想，这篇文章的教案应该如 何编写呢？下面是X为大家整理的的公开课教案设计，希望对你们有帮助。 教案设计一 教学目标 一、学习愚公移山精神，用顽强的艰苦奋斗精神去战胜困难。 二、了解文言文表疑问的几种句式；正确解释下列词语: 加、亡、且、焉、诸、以。 教学重点 一、采用启发式教学，运用富有启发性的问题引导学生讨论。 二、从讨论思想内容，带动对词语句子的深入研究，解决词语句子的译释。 教学步骤 第一课时 一、导入新课。 1.板书课题：愚公移山 2.简介的体裁、出处和是一则长期在民间流传的寓言，保存在 篇里。相传是战国时期郑国人列御寇著。寓言是一种文学体 裁。寓言，就是把一定的道理寄托在故事之中，情节比较简
单，篇幅较小，寓意深刻而含蓄。 二、指导预习。 1.对照注释阅读全文，初步理解课文内容；画出表疑问的句式。 2.理清全文脉络，思考以下问题： (1)什么地方提出“移山”的问题？ (2)什么地方写“移山”斗争？ (3)什么地方写“移山”的结果？ 三、研习新课。 1.教师朗读全文。 正音，将课文注释中的有关拼音读一遍。 2.教师提问：课文题目是“愚公移山”，为什么文章一 开头不落笔在愚公身上，而是先写“太行、王屋二山”？ 要求学生先理解第1段的两句话，明确：这两句话写了“山”的广度、高度和所处位置，在明确句子的基础上进一步回答提出的问题：文章一开头写两座山的情况，实际上是交代了故事的背景，写了存在的困难，为写愚公作了铺垫。 3.学习第2段。教师启发提问：愚公为什么要发起移山 呢?愚公召集的“家庭会议”开得怎么样？ (1)引导学生学习“北山愚公者……聚室而谋曰”，重点学习 “且”（将）、“惩”（苦）、“之”（主谓之间助词）等词的解释。
高中数学《二项式定理》公开课教案设计
二项式定理公开课教案 （第一教时） 一、教学目标 1、理解杨辉三角形。其行为样例是：（1）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；（2）能根据杨辉三角形对)6()(≤+n b a n 的二项式进行展开。 2、掌握二项式定理。其行为样例是：（1）能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展 开式的系数),,,2,1,0(*∈=N n n r C r n Λ以及二项展开式的通项r r n r n r b a C T -+=1；(2)能正确区分二项式系数和某一项的系数；（3）能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。 二、教学重点与难点 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 （教具：多媒体课件） 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。 （设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。） 2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1