2007-2010年考研数学二真题及部分答案(免费下载)

2010年考研数学二真题（强烈推荐）一填空题(8×4=32分)

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）函数3

()sin x x

f x nx

-=与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）（A ）1

（B ）2

（C ）3

（D ）无穷多个

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）（A ）11,6

a b ==-

（B ）11,6

a b ==

（C ）11,6

a b =-=-

（D ）11,6

a b =-=

（3）设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点（0，0）（）（A ）不是(,)f x y 的连续点（B ）不是(,)f x y 的极值点（C ）是(,)f x y 的极大值点

（D ）是(,)f x y 的极小值点

（4）设函数(,)f x y 连续，则2

(,)(,)y x y

dx f x y dy dy f x y dx -+

???

=（）

（A ）241

1(,)y

dx f x y dy -??

（B ）241(,)x x dx f x y dy -??

（C ）2

(,)y

dx f x y dx -??

（D ）22

(,)y

dx f x y dx ??

（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点（1，1）的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间（1，2）内（）（A ）有极值点，无零点（B ）无极值点，有零点

（C ）有极值点，有零点

（D ）无极值点，无零点

（6）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为

则函数0

()()x F x f t dt =

为（）

（7）设Ａ、B 均为2阶矩阵，,A B **分别为A 、B 的伴随矩阵。若|A|=2，|B|=3，则分块矩

阵00A B

???

的伴随矩阵为（）（A ）0320B A **

???

（B ）0230B A

???

（C ）0320A B

???

（D ）0230A B

???

（8）设A ，P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且T P A Ｐ＝100010002 ?? ?

? ? ??

，若

1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T

Q AQ 为（）

（Ａ）2101 ?? ? 1 0 ? ?0 0 2?? （Ｂ）11012000 ?? ? ? ? 2?? （Ｃ）20001 ?? ? 0 ? ?0 0 2?? （Ｄ）100020002 ??

? ? ??

二、填空题：9-14 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。

（9）曲线210

ln(2)

t u x e du y t t --?=???=-??在（0，0）处的切线方程为____________

（10）已知||1k x e dx +∞-∞

，则k=____________

（11）10

lim

sin x

n e

nxdx -→∞

=___________

（12）设()y y x =是方程1y

xy e x +=+确定的隐函数，则202

|x dy dx

==____________

（13）函数2x y x =在区间(0,1]上的最小值为_________

（14）设,αβ为3维列向量，T β为β的转置，若T β相似于200000000 ?? ?

? ? ??

，则

βα=___________

三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分9分）求极限4

(1cos )[ln(1tan )]

lim

sin x x x x x

→--+

（16）（本题满分10

分）计算不定积分ln(1(0)x +

（17）（本题满分10分）设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与

z x y

???

（18）（本题满分10分）设非负函数y=y(x)(x ≥0)，满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积。

（19）（本题满分10分）求二重积分()D

x y dxdy -??，其中

{(,)|(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥

（20）（本题满分12分）设y=y(x)是区间(,)ππ-

内过点(的光滑曲线，当

0x π-<<时，曲线上任一点处的发现都过原点，当0x π≤<时，函数y(x)满足

0y y x ''++=。求y(x)的表达式。

（21）（本题满分11分）（I ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[a,b]上连续，在（a,b ）可导，则存在(,)a b ζ∈，使得()()()()f b f a f b a ζ'-=-。（II ）证明：若函数()f x 在x=0处连续，在(0,)(0)δδ>内可导，且0lim ()x f x A →+

'=则(0)f +'

存在，且(0)f A +'=。

（22）（本题满分11分）设111111

11,104

22A ζ---????

? ?=-= ? ? ? ?---?

???

（I ）求满足22131,A A ζζζζ==的所有向量23,ζζ；

（II ）对（I ）中的任一向量23,ζζ，证明：123,,ζζζ线性无关。

（23）（本题满分11分）设二次型222

1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-

（I ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（II ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值。

2008考研数学二真题

一、选择题：（本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (1)设2()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为( )．

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．

(2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()a

xf x dx '?在

几何上表示( )．

(A) 曲边梯形A B O D 的面积． (B) 梯形A B O D 的面积． (C) 曲边三角形A C D 面积． (D) 三角形A C D 面积．

(3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是( )．

(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. (4) 判定函数ln ||()sin |1|

x f x x x =

-间断点的情况( )．

(A) 有1可去间断点，1跳跃间断点．(B) 有1跳跃间断点，1无穷间断点． (C) 有2个无穷间断点. (D)有2个跳跃间断点.

(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是( )．

(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛

连续，若22

(,)uv

D F u v =??

，其中区域uv D 为图中阴影部分，

则

F u

?=?(

)．

(A) 2()vf u (B) ()vf u (C) 2

()v f u u

(D)

()v f u u

(7)设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则下列结论正确的是( )．

(A) E A -不可逆，E A +不可逆. (B) E A -不可逆，E A +可逆. (C) E A -可逆， E A +可逆. (D) E A -可逆， E A +不可逆. (8) 设122

1A ??=

???

，则在实数域上，与A 合同矩阵为( )．

(A) 2112-??

?-??

. (B) 211

2-?? ?-??

. (C) 211

2??

???

. (D)

122

1-?? ?-??

二、填空题：（9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上） (9)已知函数()f x 连续，且0

1cos[()]lim

1(1)()

x xf x e f x →-=-，则(0)f =

(10)微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是 .

(11)曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程为 .

(12)曲线2

3(5)y x x =-的拐点坐标为 .

(13)设x

y z x ??=

，则(1,2)

z x ?=

? .

(14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 三、解答题(15－23小题，共94分)．

(15)(本题满分9分) 求极限[]4

sin sin(sin )sin lim

x x x x

→-．

(16)(本题满分10分) 设函数()y y x =由参数方程

20()ln (1)t x x t y u du =??

=+??

?确定，其中()x x t =是初值问题

200x t dx te dt

x -=?-=?

??=?的解，求2

2d y dx ． (17)（本题满分9

分）计算2

?．

(18)(本题满分11分)

计算m ax{,1}D

xy dxdy ??，其中{}D x y x y (,)|02,02=≤≤≤≤．

(19)(本题满分11分)

设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =．对任意的

[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x

轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋

转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式． (20)(本题满分11分) (I)

证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点

[,]a b η∈，使得()()()b

a f x dx f

b a η=-?；

(II) 若函数()x ?具有二阶导数，且满足(2)(1)??>，32

(2)()x dx ??>?

，证明至

少存在一点(1,3)ξ∈，使得()0?ξ''<．

(21)(本题满分11分)

求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值．

(22) (本题满分12分)．

设n 元线性方程组A x b =，其中

212121212a a a a

a A a

a a

a ?? ?

? ?

? ? ??

，12n x x x x ?? ? ?= ? ?

，12

n b b b b ?? ? ?= ? ??? ．

（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；

（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．

(23) (本题满分10分)

设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足

A ααα323

=+，

(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．

2007年研究生入学考试数学二试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +

→

时，与

（A

）1- （B

）ln

（C

1- （D

）1cos - [ ]

（2）函数1

(e e)tan ()e e x

x x f x x +=

- ???

在[],ππ-上的第一类间断点是x = （）

（A ）0 （B ）1 （C ）2

（D ）

（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0

()()d x F x f t t =?

，

则下列结论正确的是：

（A ）3(3)(2)4

F F =-

- (B) 5(3)(2)4

F F =

（C ）3(3)(2)4F F =

（D ）5(3)(2)4

F F =-

- [ ]

（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0

()lim

x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0

()()

lim

x f x f x x →+-存在，则(0)0f = . （B ）若0

()lim

x f x x

→存在，则(0)0f '= （D ）若0

()()

lim

x f x f x x

→--存在，则(0)0f '=.

[ ] （5）曲线()1ln 1e

y x

++的渐近线的条数为

（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：

(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散

（A ）

()

[](,)0,0lim

(,)(0,0)0x y f x y f →-=.

（B ）0

(,0)(0,0)

(0,)(0,0)

lim

0,lim

0x y f x f f y f x

→→--==且.

（C ）

((,)0,0lim

0x y →=.

（D ）0

0lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→????''''-=-=??

且.

（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1

sin 2

d (,)d x

x f x y y π

π??

等于

（A ）10arcsin d (,)d y

y f x y x π

π+??

（B ）10arcsin d (,)d y

y f x y x π

π-??

（C ）1arcsin 0

d (,)d y

y f x y x ππ

+?? （D ）1arcsin 0

d (,)d y

y f x y x ππ

-??

（9）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则

(A) 122331,,αααααα---

(B) 122331,,αααααα+++

(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ] （10）设矩阵2

111001

21,01011

200

0A B --????

? ?

=--= ? ? ? ?--???

，则A 与B (A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.

二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） 3

arctan sin lim

x x x

→-= __________.

（12）曲线2cos cos 1sin x t t y t

?=+?=+?上对应于4t π

=的点处的法线斜率为_________.

（13）设函数123

y x =

+，则()(0)n y =________.

（14）二阶常系数非齐次微分方程2432e x y y y '''-+=的通解为y =________.

（15）设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y

??= ?

，则z z x y x y ??-=?? __________. （16）设矩阵0

1000

010

00010

0A ?? ?

?= ? ???

，则3A 的秩为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)

设()f x 是区间0,

4π?

上单调、可导的函数，且满足()1

cos sin ()d d sin cos f x x t t f

t t t

--=

+??

，

其中1

-是f 的反函数，求()f x .

（18）（本题满分11分）

设D

是位于曲线2(1,0)x a

y a x -

>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.

（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值.

（19）（本题满分10分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解（20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程

1y y x --=所确定，设()ln sin z f y x =-，求

d d ,

d d x x z z x

==.

（21） (本题满分11分)

设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，

()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.

（22） (本题满分11分)

设二元函数2

,||||1(,)1||||2

x x y f x y x y ?

+≤?

=<+≤，计算二重积分D

(,)d f x y σ??，

其中(){},||||2D x y x y =+≤.

（23） (本题满分11分)

设线性方程组1231232

12302040

x x x x x ax x x a x ?++=?

++=??++=?与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及

所有公共解.

1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.

【详解】当0x +

→

时，

，2

111cos 2

x -=

，

故用排除法可得正确选项为（B ）.

事实上，0

lim

lim lim 1x x +

→→→==，

或ln

ln(1)ln(1()x x o x o o =+--=++= .

所以应选（B ）

【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.

2…【分析】因为函数为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型.

【详解】函数在0,1,2

x x x π

===±均无意义，

而1

(e e)tan (e e)tan lim ()lim

0,lim ()lim 1e e e e x

x x x x x x x x f x f x x x +

→→→→++====-????

-- ? ???

；

(e e)tan lim ()lim

e e x

x x x x f x x →→+==∞??

- ???

；

(e e)tan lim ()lim

e e x x x x

x f x x π

→±

+==∞??- ???

所以0x =为函数()f x 的第一类间断点，故应选（A ）.

【评注】本题为基础题型. 对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判

断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分段点也可能为间断点，然后求左右极限进行判断.

段函数的定积分.

【详解】利用定积分的几何意义，可得 2

113(3)12228

F πππ??

=-=

???

，2

11(2)22

2F ππ=

，

2022

11(2)()d ()d ()d 12

F f x x f x x f x x ππ---=

=-=

所以 33(3)(2)(2)44

F F F ==

-，故选（C ）.

【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.

4……【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，

本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项.

【详解】取()||f x x =，则0

()()

lim 0x f x f x x

→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.

事实上，

在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得

(0)0f =.

在（C ）中，

()lim x f x x

→存在，则0

()(0)

()(0)0,(0)lim

lim

x x f x f f x f f x x

→→-'====-，

所以(C)项正确，故选(D)

【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.

5……【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.

【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x

x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞????

=++=+∞=++=????????

，所以 0y =是曲线的水平渐近线；

()001lim lim ln 1e x x x y x →→??

=++=∞????

，所以0x =是曲线的垂直渐近线；

()

ln 1e

lim

lim 0lim

lim 11

x x

x x x x y x

x →+∞

→+∞

→+∞++++==+==，

[]()1

l i m l i m l n 1e 0x

x x b y x x x →+∞

→+∞??=-=

-=???

，所以y x =是曲线的斜渐近线.

故选（D ）.

【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.

注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e x 当

,x x →+∞→-∞时的极限不同.

6……【分析】本题依据函数()f x 的性质，判断数列{}()n u f n =. 由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果.

【详解】选（D ）.

取()ln f x x =-，2

1()0f x x

''=>，12ln 10ln 2u u =-=>-=，而()ln f n n

=-发散，则可排除（A ）；

取2

1()f x x

，4

6()0f x x

''=

>，12114

u u =>

=，而2

1()f n n

收敛，则可排除

（B ）；

取2()f x x =，()20f x ''=>，1214u u =<=，而2

()f n n =发散，则可排除（C ）；

故选（D ）. 事实上，

若12u u <，则

211(2)(1)()021

u u f f f ξ--'=

=>--.

对任意()1,x ξ∈+∞，因为()0f x ''>，所以1()()0f x f c ξ''>>>，对任意()21,ξξ∈+∞，()121()()()()f x f f x x ξξξ'=+-→+∞→+∞.

故选（D ）.

【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算.

7…….【分析】本题考查二元函数可微的充分条件. 利用可微的判定条件及可微与连续，偏导的关系.

【详解】本题也可用排除法，（A ）是函数在()0,0连续的定义；（B ）是函数在()0,0处偏导

数存在的条件；（D ）说明一阶偏导数(0,0),(0,0)x y f f ''存在，但不能推导出两个一阶偏导函数(,),(,)x y f x y f x y ''在点(0,0) 处连续，所以（A ）（B ）（D ）均不能保证(,)f x y 在点()0,0处可微. 故应选（C ）.

事实上，由

(

(,)0,0lim

0x y →=可得

(,0)(0,0)

lim lim

0x x f x f x

→→-==，即(0,0)0,x f '=

同理有

(0,0)0.y f '=

从而 0

[(,)(0,0)](

(0,0)

)

l i m

y f x y f

f x f y ρρ→''??--?+?

= 0

(,)(0,0)lim

lim

0f x y f ρρρ

→→??-==.

根据可微的判定条件可知函数(,)f x y 在点()0,0处可微，故应选(C). 【评注】二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微. 8,……【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.

【详解】由题设可知，,sin 12

x x y π

π≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，

故应选（B ）.

【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.

9……..【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性

相关性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.

【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.

或者因为

()

()122331123101,,,,1

1001

1ααααααααα-??

---=- ? ?-?

，而101110001

--=-，所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.

【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()T

1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此

求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或

行列式是否为零可立即得到正确选项.

10….【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.

【详解】由2

11121

(3)1

E A λλλλλλ--=

-=--可得1233,0λλλ===，

所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.

所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B 合

同，故选（B ）.

【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）. 11…【分析】本题为0

0未定式极限的求解，利用洛必达法则即可.

【详解】2

cos arctan sin 1lim

lim 3x x x

x x

→→--+=

1cos (1)

lim

3x x x x

→-+=

2cos sin (1)

111lim

x x x x x x

→-++==-

【评注】本题利用了洛必达法则. 本题还可用泰勒级数展开计算. 因为 33

1arctan (), sin ()3

x x x o x x x x o x =-+=+

+，

所以 3

arctan sin 1lim

x x x

→-=-

12…..【分析】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义. 【详解

】因为

d cos d sin 2cos sin t t y t

t t t

--，

所以曲线在对应于

t π

的点的切线斜率为-

，

故曲线在对应于

t π

【评注】本题为基础题型.

13….【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式. 【详解】()

,23

23y y x x '=

++，则()

(1)2!()(23)

n n

n n n y

x x +-=

+，故()

(1)2!(0)3

n n

n n n y

+-=

【评注】本题为基础题型.

14…..【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方

程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解Y ，然后求出非齐次微分方程的一

个特解*y ，则其通解为 *y Y y =+.

【详解】对应齐次方程的特征方程为

124301,3λλλλ-+=?==，

则对应齐次方程的通解为 312e e x x

y C C =+.

设原方程的特解为 2*e x y A =，代入原方程可得

22224e 8e 3e 2e 2x x x

A A A A -+=

?=-

，所以原方程的特解为2*2e x y =-，

故原方程的通解为 3212e e 2e x x x

y C C =+-，其中12,C C 为任意常数.

【评注】本题为基础题型.

15……【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得

122

1z y f f x x

?''=-

?，

122

1z x f f y

?''=

?，

所以122z z

y x x y

f f x

y x y ????''-=-- ?????.

【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性. 16……【分析】先将3

A 求出，然后利用定义判断其秩.

【详解】3010000010

0100000

()1000100000

0A A r A ????

? ?

?=?=?= ?

? ? ?????

. 【评注】本题考查矩阵的运算和秩，为基础题型.

17……【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x 求导，再积分即可. 【详解】

()

cos sin ()d d sin cos f x x

t t

t t t

t t t --=

两边对x 求导得

1(c o s s i n )

(())()

s i n c o s

x x x f f x f x x x --'=+ (cos sin )cos sin ()()sin cos sin cos x x x x x xf x f x x x

x x

--''?=

++，（0x ≠）

两边积分得

()ln |sin cos |f x x x C ?=++. （1）

将0x =代入题中方程可得

(0)01

cos sin ()d d 0sin cos f t t f

t t t

--=

=+?

因为()f x 是区间0,4π??

上单调、可导的函数，则1

()f x -的值域为0,

4π??

????

，单调非负，所以(0)0f =. 代入（1）式可得0C =，故()l n |sin

cos |f x x x =+.

【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.

18…..【分析】V (a )的可通过广义积分进行计算，再按一般方法求V (a ) 的最值即可【详解】（Ⅰ）0

()d d ln x x a

a V a xa

x x a

a π

π-

+∞+∞==-

d ln ln ln ln x x x a

a x a a a a

x a

ππππ-

+∞+∞+∞

=-=

（Ⅱ）令2

2ln 2ln 2(ln 1)()0ln ln a a a a a a a V a a

πππ?-??

-'=

==，得e a =.

当e a >时，()0V a '>，()V a 单调增加；当1e a <<时，()0V a '<，()V a 单调减少.

所以()V a 在e a =取得极大值，即为最大值，且最大值为2

(e)e V π=.

【评注】本题为定积分几何应用的典型问题，需记忆相关公式，如平面图形的面积，绕坐标轴的旋转体的体积公式等. 19…...

【分析】本题为不含y 的可降阶方程，令y p '=，然后求解方程. 【详解】本题不含y ，则设y p '=，于是y p '''=，原方程变为 2()p x p p '+=，则

d d x x p p

+，解之得()x p p C =+，将(1)1p =代入左式得 0C =，

于是 2

x p

223

y y x C '?=

+，结合(1)1y =得0C =，

故 3

223

y x =

【评注】本题为基础题型.

20……….【分析】本题实质上是二元复合函数的求导，注意

d d y x

需用隐函数求导法确定..

【详解】令ln sin u y x =-，则0

d d d d x x z f

u u y x

u x y x ==?????=

?+? ??????.

1y y x --=两边对x 求导得 1

e e 01e

y y y y y x y y x ----'''--=?=

-，又(0)1y =，

可得 (0)1y '=

在1

y y y x --'=

-两边对x 求导得 ()()

()

e e

21e y y y y y x x y y x x y y x -----==-''----''

=-.

所以

d d 1d (0)cos d d d x x x z f u u y y f x x

u x y x y x ===????

???'=

?+?=-+? ? ?

??????

11e (0)cos 01e y x y f x y x -=-??'=-+?= ?

-??

22d 1d 1d 1d cos sin d d d d x x z f

y f

y y x x x

u y x u y x y x ==??????????=?-+?+?--+?? ? ?

? ????????

????