江苏省泰州市姜堰区张甸中学高三数学第二次阶段学情调研试题 文 苏教版

一、填空题

1、直线20x y -+=的倾斜角为 .

2、数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________.

3、已知数列{}n a 满足11=a ，11+=+n n a a ，求=n a ______.

4、在等比数列{}n a 中，若43=a ，167=a ，则5a ＝________.

5、已知数列{}n a ,)(2

6

11+-∈?=N n a n

n ，那么

24

1

是这个数列的第_ 项. 6、若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

7、如果AC<0，BC>0，那么直线Ax+By+C=0不通过第 象限. 8、已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：2(1)10x a y +++=，若1l ∥2l ，则实数a 的值是 ．

9、设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是两个不同的平面，有下列四个命题：

①???α∥ββ∥γ?α∥γ；②???α⊥βm ∥α?m ⊥β； ③??

?m ⊥αm ∥β

?α⊥β；④??

?m ∥n n ?α

?m ∥α．

其中真命题的是 (填上所有真命题的序号)．

10、已知直线2

(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，则实数a 的取值范围为 ．

11、等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n

+r ，则r ＝ .

12、等比数列2

3

1,2,4,8,

a a a 的前n 项和S n = .

13、已知数列{}n a 满足143a =，()*

11226n n a n N a +-=∈+，则11n

i i

a =∑= ． 14、已知函数-5(>6)

()=(4-)+4(6)2

x x f x a x x a ???≤?? ，数列{an}满足*=()()n

f n n a N ∈ ，且数列{an}是单调递增数列，则实数a 的取值范围为

二、解答题： 15、（本小题满分14分）①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程; ②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是105

3

的直线的方程

16、（本小题满分14分）已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3

A B

P

（第18题）

D

项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；

（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前

17、（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2， 60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．

（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；

（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．

18、（本小题满分16分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，BC //平面

PAD ，PBC ∠90=,

90PBA ∠≠．求证：

（1）//AD 平面PBC ； （2）平面PBC ⊥平面PAB ．

19、（本小题满分16分）某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨。该厂计划从2012

A

B

C

E

F P

1

A 1

B 1

C

年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问： （1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？

（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒

生产总量之和的

2

3

？（生产总量是指各年年产量之和） 20、（本小题满分16分）

已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前 n 项和，且满足

221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足1

1

n n n b a a +=

?，n T 为数列{}n b 的前n 项和．

（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；

（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有

,m n 的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、填空题

1、直线20x y -+=的倾斜角为 .

4

π

2、数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________.49

3、已知数列{}n a 满足11=a ，11+=+n n a a ，求=n a ______.n

4、在等比数列{}n a 中，若43=a ，167=a ，则5a ＝________.8

5、已知数列{}n a ,)(2

6

11+-∈?=N n a n

n ，那么

24

1

是这个数列的第_ 项.3 6、若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

3

3π

7、如果AC<0，BC>0，那么直线Ax+By+C=0不通过第 象限.二

8、已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：2(1)10x a y +++=，若1l ∥2l ，则实数a 的值是 ．-3

9、设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是两个不同的平面，有下列四个命题：

①???α∥ββ∥γ?α∥γ；②???α⊥βm ∥α?m ⊥β； ③??

?m ⊥αm ∥β

?α⊥β；④??

?m ∥n n ?α

?m ∥α．

其中真命题的是 (填上所有真命题的序号)．○1○3

10、已知直线2

(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，则实数a 的取值范围

为 ．[]42，

11、等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n

+r ，则r ＝ .-1

12、等比数列2

3

1,2,4,8,

a a a 的前n 项和S n = .

a=2

1

时，n;a 121a 221--≠a n

）（时，.

13、已知数列{}n a 满足143a =，()*

11226n n a n N a +-=∈+，则11n

i i

a =∑= ．4213n n --.

14、已知函数-5(>6)

()=(4-)+4(6)2

x x f x a x x a ???≤?? ，数列{an}满足*=()()n

f n n a N ∈ ，且数列{an}是单调递增数列，则实数a 的取值范围为 .(4,8)

二、解答题

15、①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;

②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是

105

3

的直线的方程.

解. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0.

16、已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且

1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；

（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前

解析：（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即 03213131=+-∴q a q a q a

2

1101322==?=+-∴q q q q 或 2

1

1

=

∴≠q q

1)2

1

(64-?=n n a 故

7 （II ）n b n n n -==?=--72log ])

2

1(64[log 721

2

??

?>-≤-=∴7

7

77||n n n n

b n

n n n n T b n n )

13(2)76(,6||,71-=

-+=

=≤∴时当 2

)

7)(6(212)7)(71(,1||,778--+

=--++==>n n n n T T b n n 时当 ???

????>+--≤-=∴)7(212)7)(6()7(2)

13(n n n n n n T n 14

17、在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2， 60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．

（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；

（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．

E P

1A 1

B 1

C

A

B

C

P

（第18题）

D

A P

D

H

17.（1）证明：在中ABC ?，∵AC =2BC =4,060=∠ACB

∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥ 由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥

又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥? …………5分 （2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1

在AB FM ABC //中，?,

而FM ABE ?平面，∴直线FM //平面ABE

在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1 而1C M ABE ?平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =?1 ∴1//FMC ABE 面面

故AEB F C 面//1 …………………………10分

（或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证）

（3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB 且1

32

EH AB ==，

由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面， ∵P 是BE 的中点，

∴111111111

3223P B C F E B C F B C F V V S EH --?==??=…………………………………14分

18、如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，BC //平面PAD ，PBC ∠90=,

90PBA ∠≠．求证：

（1）//AD 平面PBC ；

（2）平面PBC ⊥平面PAB ． 【证】（1）因为BC //平面PAD ， 而BC ?平面ABCD ，平面ABCD

平面PAD = AD ，

所以BC //AD ． …………………………………4分 因为AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ， 所

以

//AD 平面

PBC ．………………………………………………………………………………………8分

（2）自P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面

PAB

平面

ABCD =AB ，

所以PH ⊥平面ABCD ．………………………………………12分 因为BC ?平面ABCD ，所以BC ⊥PH ．

H

G

B

因为PBC ∠90=,所以BC ⊥PB ，

而90PBA ∠≠，于是点H 与B 不重合，即PB

PH = H ．

因为PB ，PH ?平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．…………14分 因

为

BC ?平面PBC ，故平面PBC ⊥平面

PAB ．……………………………………………………… 16分

19、某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨。该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问： （1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？

（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒

生产总量之和的

2

3

？（生产总量是指各年年产量之和） 解：设从2011年起，该车第n 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为n a 吨和n b 吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为n A 吨和n B 吨。

（1）设第n 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为n D 吨，依题意，

116000(150%)n n a -=-=

32000

2

n

， 11000(1100%)n n b -=+=5002n ?，（*

n N ∈）， ············· 4分

则n n n D a b =+=320002n

+5002n

?=64500(2)

2n n

+5008000≥?=， 当且仅当

64

22

n n =，即3n =时取等号， 故2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨。 ········ 7分 （2）依题意，

2

3

n n n B A B ≥+，得2n n B A ≥，

∵1

16000[1()]

212320001212

n n n n A --==?-，1000[12]1000(21)12n n n B -=

=--，

∴1000(21)n

-≥21

3200022n n

-??， ∵210n ->，∴6

2642n ≥=，∴6n ≥，

从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的

23

。 ································ 16分 20、（本小题满分16分）

已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前 n 项和，且满足

221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足1

1

n n n b a a +=

?，n T 为数列{}n b 的前n 项和．

（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；

（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有

,m n 的值；若不存在，请说明理由．

19.解：（1）（法一）在2

21n n a S -=中，令1=n ，2=n ，

得?????==,

,322121S a S a 即?????+=+=,33)(,12

112

1d a d a a a ………………………2分

解得11=a ，2=d ，21n a n ∴=-

又

21n a n =-时，2n S n =满足2

21n n a S -=，21n a n ∴=- ………………3分

111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+，

111111(1)2335212121

n n

T n n n ∴=-+-++-=

-++． ………………5分 （法二） {}n a 是等差数列， n n a a a =+∴-2

1

21

)12(2

1

2112-+=∴--n a a S n n n a n )12(-=． …………………………2分

由2

21n n a S -=，得 n n a n a )12(2-=，

又

0n a ≠，21n a n ∴=-，则11,2a d ==． ………………………3分

(n T 求法同法一)

（2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立，即需不等式

(8)(21)8

217n n n n n λ++<

=++恒成立． …………………………………6分

8

28n n

+≥，等号在2n =时取得．

∴此时λ 需满足25λ<． …………………………………………7分 ②当n 为奇数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立，即需不等式

(8)(21)8215n n n n n

λ-+<=--恒成立． …………………………………8分

82n n -是随n 的增大而增大， 1n ∴=时8

2n n

-取得最小值6-．

∴此时λ 需满足21λ<-． …………………………………………9分 综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-． ………………………………………10分

（3）11,,32121

m n m n

T T T m n ===

++， 若1,,m n T T T 成等比数列，则21(

)()21321

m n

m n =++， 即2244163

m n

m m n =+++． ………………………12分

由22

44163

m n

m m n =+++，可得2232410m m n m -++=>，即22410m m -++>，

∴11m <<+

……………………………………14分 又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =． 因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．…16分

[另解：因为113636

6n n n

=<++，故22

14416m m m <++，即22410m m --<，

∴11m <<（以下同上）． ……………………………………14分]