流体力学流体静力学课件

流体平衡微分方程—欧拉平衡微分方程
1、方程推导： 方程推导：微元分析法 设点M的坐标为 x、y、z，压强为p。 x 轴方向受力分析： 轴方向受力分析：
y
A C
? p dx p? ?x 2
z
D
dz ? p dx p + H P(x,y,z) ?x 2 M dy B dx
G
fx
F E
x
o
利用泰勒级数， 利用泰勒级数，ABCD和EFGH中心点处的压强分别 为：
dx ?p dx ?p p? 和 p+ 2 ?x 2 ?x
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程

1 ?p 1 ?p 表面力为： 表面力为：( p ? dx)dydz ? ( p + dx)dydz 2 ?x 2 ?x
质量力为： 质量力为： f x ρdxdydz
C
? p dx p? ?x 2
z
D
dz ? p dx p + H P(x,y,z) ?x 2 M dy B dx
G
fx
因为微小六面体处于平衡 状态， 状态，所以作用力在x轴方 向的分量之和应等于零
y o
F E
A
x
1 ?p 1 ?p (p ? dx)dydz ? ( p + dx)dyd + f x ρdxdydz = 0 2 ?x 2 ?x
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程

化简移项后得
1 ?p fx ? =0 ρ ?x 1 ?p fy ? =0 同理 ： ρ ?y 1 ?p =0 和 fz ? ρ ?y
C
? p dx p? ?x 2
z
D
dz ? p dx p + H P(x,y,z) ?x 2 M dy B dx
G
fx
F E
A
x
o y
上面三个式的矢量形式为 ：
? 1 f ? ?p = 0
ρ
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程

2、欧拉平衡微分方程的物理意义
? 1 f ? ?p = 0
ρ
处于平衡状态的流体中压强的变化率 处于平衡状态的流体中 压强的变化率（ 压强的变化率 （ 压强梯度 pressure gradient）与单位质量力之间的关系； 与单位质量力之间的关系；对 于单位质量的流体来讲： 于单位质量的流体来讲： 质量力分量
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程
=
表面力分量

2-2-2 流体平衡微分方程的积分
将各式依次乘以dx、dy、dz，并相加， 并相加，得
?p ?p ?p dx + dy + dz = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz ) ?x ?y ?z
左边为压强p的全微分dp ：
dp = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz )
右边也必须是某一个坐标函数W（x，y，z）的 全微分， 全微分，
f x dx + f y dy + f z dz = dW
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程

右边也必须是某一个坐标函数W（x，y，z）的 全微分， 全微分， 其中： 其中：
f x dx + f y dy + f z dz = dW
?W ?W ?W fx = , fy = , fz = ?x ?y ?z
W是力函数或 力函数或势函数(potential function)，它对各 坐标的偏导数分别等于力场的力在对应坐标轴上 的分量。 的分量。质量力则是有势力 质量力则是有势力(potential force)。 可压缩流体的平衡微分方程 形式： 形式： dp = ρdW
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程

不可压缩均质流体： 不可压缩均质流体：密度ρ 密度ρ为常数， 为常数，积分上式得
p = ρW + C
边界条件： 边界条件：势函数为W0和压强为p0，则得 C = p0 -ρW0。
P = p0 +ρ(W-W0)
不可压缩均质流体平衡微分方程积分后的普遍关 系式。 系式 。 表明： 表明 ： 不可压缩均质流体要维持平衡， 不可压缩均质流体要维持平衡 ， 只 有在有势的质量力作用下才有可能； 有在有势的质量力作用下才有可能 ； 任一点上的 压强等于外压强 p0 与有势的质量力所产生的压强 之和。 之和。
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程

2-2-3 等压面·帕斯卡定律
1、等压面（ 等压面（Equipressure Surface） ： 流体中压强相等的点所组成的面。 流体中压强相等的点所组成的面。 2、等压面的方程 ： 因为 p=常数 则 即 dp=0
f x dx + f y dy + f z dz = 0
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程

3、等压面特点： 等压面特点： 1. 等压面就是等势面 等压面就是等势面（ 等势面（Equipotential linee）。 因为 dp=0 又 dp=ρdW=0 2. 等压面和质量力正交 。 因为 则 W=常数
? ? f x dx + f y dy + f z dz = f ? ds = 0
则等压面上移动距离ds与质量力 f 正交。 正交。
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程

4、重力作用下的等压面的特点： 重力作用下的等压面的特点：
1)、静止； 静止； 2)、连通； 连通； A+
C B ρ1
p0
C B'
3)、连通的介质为同一均质流体； 连通的介质为同一均质流体； 4)、质量力仅有重力； 质量力仅有重力； 5)、同一水平面。 同一水平面。
ρ2
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程

5、帕斯卡定律(Pascal’s Law)：
在平衡的不可压缩均质流体中， 在平衡的不可压缩均质流体中 ， 由于部分边界面 上的外力作用而产生的压强将均匀地传递到该流 体的各点上。 体的各点上。由 若p0有所增减
p = p0 + ρ (W ? W0 ) ′ = p 0 + ?p p0
流体中各点的压强p也随之有同样大小的数值变化
′ + ρ (W ? W0 ) = p 0 + ?p + ρ (W ? W0 ) = p + ?p p ′ = p0
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程

§2-4 液体的相对平衡
相对平衡（ 相对平衡（relative equilibrium）：指各液体质点 彼此之间及液体与器皿之间无相对运动的运动状 态。相对平衡液体中， 相对平衡液体中，质量力 除重力外 重力外，还受到惯性力的作用。 还受到惯性力的作用。 1. 圆桶以等加速度a=g自由降落 重力 ： f Ix = 0, f Iy = 0, f Iz = ? g 惯性力 ：f Gx = 0, f Gy = 0, f Gz = g
§2-4液体的相对平衡

合力： 合力： f x = 0, f y = 0, f z = ? g + g = 0 代入 ：dp = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz )
dp = 0
积分得 ：
p = pa
说明圆筒内各点压强相同。 说明圆筒内各点压强相同 。 桶底总压力为： 桶底总压力为：
Fp =
§2-4液体的相对平衡
π
4
D pa
2

二、圆筒容器， 圆筒容器，绕其铅垂中心轴以等角转速旋转 1、液体中压强分布的规律： 液体中压强分布的规律：原点取在旋转轴与自由 表面的交点上， 表面的交点上，z轴铅垂向上。 轴铅垂向上。 离心惯性力 ：
mv 2 m 2 2 F = (ωr ) = mω r Ⅰ= r r
2
单位质量力分量 ：
f Ix = ω r cos α = ω x
2
f Iy = ω 2 r sin α = ω 2 y
f Iz = 0
§2-4液体的相对平衡

重力 ：
f Gx = 0,
f Gy = 0,
f Gz = g
合力： 合力： f x = ω 2 r cos α = ω 2 x
f y = ω 2 r sin α = ω 2 y
fz = g
代入 ：
dp = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz )
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy ? gdz )
§2-4液体的相对平衡

1 2 2 1 2 2 积分得 ： p = ρ ( ω x + ω y ? gz ) + C 2 2
1 2 2 = ρ ( ω r ? gz ) + C 2 在原点处， 在原点处，x=y=z=0，压强为p0，所以C=p0。
p = p 0 + ρg (
ω2
2g
r 2 ? z)
当 p 0 = p a 以相对压强计， 以相对压强计，则为
p = ρg (
§2-4液体的相对平衡
ω
2
2g
r 2 ? z)

2、等压面方程及其形状
取p为某一常数， 为某一常数，可得等压面方程 可得等压面方程
ω 2r2
0 2g
z
p z= ? ρg 2g
等压面是一族以 z为轴的旋转抛物 面 ， 不同的压强 不同的 压强 p 值有一相应的 等压旋转抛物面 抛物面(paraboloid) 。 等压旋转 对于自由表面， 对于自由表面 ， p=0 ， 自由 表面(free surface)方程为 方程为
§2-4液体的相对平衡
ω r
2
2
p0
o B y
g
h z
z0
A
x
o x
x
y r A
ωx
2
z=
ω r
2
2
y
ωy
2
ωr
2
2g

表示半径r处的液面高出坐标平面 Oxy的铅垂距离。 的铅垂距离。所以： 所以：
ω 2r2
0 2g
z
z=
ω r
2
2
2g
(
ω r
2
2
2g
? z) = h
p0
o B y
g
h z
z0
A
x
是任一点在旋转后自由表面以下的 是任一点 在旋转后自由表面以下的 深度。 深度。所以
p = p 0 + ρg (
ω
2
o x
x
2g
r 2 ? z ) = p 0 + ρgh
y r A
ωx
2
旋转后液体中在铅垂线上的压强分布和静 压强一样， 压强一样，按直线规律分布。 按直线规律分布。
§2-4液体的相对平衡
y
ωy
2
ωr
2

等角转速旋转运动液体的一个显著特点， 等角转速旋转运动液体的一个显著特点，就是在 同一水平面上轴心处的压强最低， 同一水平面上轴心处的压强最低，边缘处的压强 最高。 最高。 注意： 注意：在旋转液体中各点的测压管水头不等于常 数。
§2-4液体的相对平衡

实 际 应 用
用容器作等角转速旋转时的液体平衡原理来说明 离心分离器的分离原理。 离心分离器的分离原理。 例 ： 设开敞容器中的液体混有杂 质， ml为某一杂质的质量， 为某一杂质的质量，m为与 该杂质同体积的流体质量， 该杂质同体积的流体质量，容器绕 铅垂轴旋转的等角转速为ω，该杂 质离旋转轴的距离为r。
§2-4液体的相对平衡