新教材高中数学课时跟踪检测(三十八)正弦函数、余弦函数的性质(一)新人教A版必修第一册
新教材高中数学课时跟踪检测（三十八）正弦函数、余弦函数的
性质（一）新人教A 版必修第一册
课时跟踪检测（三十八） 正弦函数、余弦函数的性质（一）
A 级——学考水平达标练
1．函数y ＝???
???
sin x 2的最小正周期是( )
A.
π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π
解析：选C ∵y ＝sin x
2的周期为4π，∴y ＝???
?
??
sin x 2的周期为2π，故选C.
2．函数：①y ＝x 2
sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0,2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C ①③④是奇函数，故选C. 3．函数f (x )＝|cos 2x |的最小正周期为( ) A ．π B ．π
2
C ．2π
D ．3π2
解析：选B 作出函数f (x )＝|cos 2x |的图象(图略)知，f (x )的最小正周期为π
2
.
4．函数f (x )＝7sin ? ????23
x ＋15π2是( )
A ．周期为3π的偶函数
B ．周期为2π的奇函数
C ．周期为3π的奇函数
D ．周期为4π
3
的偶函数
解析：选A ∵f (x )＝7sin ? ????23x ＋15π2＝7sin ? ????2x 3＋7π＋π2＝－7sin ? ??
??2x 3＋π2＝－7cos 2
3x .
∴函数f (x )的周期为2π
23＝3π.
又∵f (－x )＝－7cos 2
3x ＝f (x )．
∴函数f (x )是周期为3π的偶函数．
5．函数y ＝cos ? ????k 4
x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
解析：选D 由题意知2π
k
4
≤2，得k ≥4π.又∵k 为整数，∴k 的最小值为13.
6．函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π4，则ω＝________. 解析：因为π4＝2π
ω，所以ω＝8.
答案：8
7．设函数f (x )＝3sin ? ????ωx ＋π6，ω＞0，x ∈R ，且以π2为最小正周期．若f ? ????α4＋π12＝9
5，
则sin α的值为______．
解析：因为f (x )的最小正周期为π
2，ω＞0，
所以ω＝2π
π2＝4.
所以f (x )＝3sin ? ????4x ＋π6. 因为f ?
????α4＋π12＝3sin ? ??
??α＋π3＋π6＝3cos α＝95，
所以cos α＝3
5
.
所以sin α＝±1－cos 2
α＝±45.
答案：±4
5
8．已知f (x )＝2cos π
6
x ，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.
解析：易知f (x )的最小正周期T ＝12，
f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (11)＝0，
所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝168[f (0)＋…＋f (11)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝2cos 0＋2cos π6＋2cos π3＋2cos π2
＝3＋ 3.
答案：3＋ 3
9．求下列函数的最小正周期：
(1)y ＝sin ? ????3x ＋π4；(2)y ＝??????cos ? ????2x ＋π6. 解：(1)∵ω＝3，∴T ＝2π
3
.
(2)易知函数y ＝cos ? ????2x ＋π6的最小正周期为π，而函数y ＝??????cos ? ????2x ＋π6的图象是将函数y ＝cos ? ????2x ＋π6的图象在x 轴下方的部分对称翻折到x 轴上方，并且保留在x 轴上方的
图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π
2
.
10．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x cos(π＋x )；
(2)f (x )＝lg(sin x ＋sin 2
x ＋1)． 解：(1)∵f (x )＝－x cos x ，
∴f (－x )＝－(－x )cos(－x )＝x cos x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．
(2)∵f (－x )＋f (x )＝lg[sin(－x )＋sin 2
(－x )＋1]＋lg(sin x ＋sin 2
x ＋1)＝lg(sin 2
x ＋1－sin 2
x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．
B 级——高考水平高分练
1．已知函数f (x )＝2sin ? ??
??x ＋π4＋φ是奇函数，则φ的值可以是( )
A ．0
B ．－π
4
C ．π
2
D ．π
解析：选B 法一：f (x )＝2sin ? ????x ＋π4＋φ为奇函数，则只需π4＋φ＝k π，k ∈Z ，从
而φ＝k π－π
4
，k ∈Z.
显然当k ＝0时，φ＝－π
4
满足题意．
法二：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即2sin ? ????π4＋φ＝0，所以φ＋π4＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π4，令k ＝0，则φ＝－π
4
.
2．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π
2
，且满足f (x )＝???
??
cos x ，－π2≤x ＜0，
sin x ，0≤x ＜π，
则f ? ??
??－
15π4＝________. 解析：∵T ＝3π2，∴f ? ????－15π4＝f ? ????－15π4＋3π2×3＝f ? ????3π4＝sin 3π4＝22.
答案：
2
2
3．已知函数f (x )＝12sin x ＋1
2|sin x |.
(1)画出函数f (x )的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解：(1)f (x )＝12sin x ＋1
2
|sin x |
＝????
?
sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，
图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
4．已知函数f (x )＝cos ? ????2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈??????－π2，π2时，
g (x )＝f ? ??
??x 2，求关于x 的方程g (x )＝32
的解集．
解：当x ∈??????－π2，π2时，
g (x )＝f ? ??
??x 2＝cos ?
??
??x ＋π3
. 因为x ＋π3∈??????
－π6
，5π6，
所以由g (x )＝
32解得x ＋π3＝－π6或π6
， 即x ＝－π2或－π
6
.
又因为g (x )的最小正周期为π. 所以g (x )＝
3
2的解集为???
x ????
?
?x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .
5．设函数f (x )＝sin ?
????2k ＋13
πx ＋π4(k ∈N *)，若在区间[a ，a ＋3](a 为实数)上存在有不少于4个且不多于8个不同的x 0，使f (x 0)＝1
2
，求k 的值．
解：∵f (x )在一个周期内有且只有2个不同的x 0，使f (x 0)＝1
2
，∴f (x )在区间[a ，a ＋3]
上至少有2个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位，∴?
??
??
2T ≤3，
4T ≥3，即34≤T ≤3
2
，即34≤62k ＋1≤32，解得32≤k ≤72，因为k ∈N *
，∴k ＝2或k ＝3.