第九届希望杯全国数学邀请赛高一第一试.doc
第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试
班级 姓名
一、选择题
1、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么--（ ）
（A ）0,0,0><
（C ）0,0,0>>
2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成4
1米要--------------------------------（ ） （A ）411天 （B ）5天 （C ）16天 （D ）12天 3、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(
21x f x f -的值等
于
----------------------------------------------------------------------------------------（ ）
（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）2log a
4、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是-------------------------（ ）
（A ）0?<θ<180? （B ）0?<θ<90? （C ）0?<θ≤90? （D ）0?≤θ≤90?
5、P 、Q 、R 、S 分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-----------------------------------------------------------（ ）
（A ）R ?Q ?P ?S （B ）R ?Q ?S ?P （C ）S ?P=Q ?R （D ）S ?R,P ?Q,R ?Q,Q ?R
6、?=70log 21tg a ，?=25sin log 21b ，?=25cos )
2
1(c ，则------------------------（ ） （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）a b c <<
7、)(x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则
----------------------------------------------------------------------------------------（ ）
（A ）M 可能是?
（B ）M 中元素的个数是偶数
（C ）M 中元素的个数是奇数
（D ）M 中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。
8、 ）
（A ）（1）与（2） （B ）（1）与（3） （C ）（2）与（4） （D ）（3）与（4）
9、已知θ是第二象限的角，且2
cos 2sin θθ<，则||2cos |log |22θ等于-------------（ ） （A ）)2cos(πθ
-- （B ）2cos θ
（C ）)2sec(θ
- （D ）)2sec(θ
π-
10、若函数||22x x y -=的图象C 与直线)2(-=x k y 相交于点（-1，-1），则C 与该直线交点的个数是-------------------------------------------------------------------（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
二、填空题（A 组）
11、若23log =x ，则x 的值是 。
12、若不共面的四条直线两两相交，则它们共有 个交点。
13、直线l 与平面α所成角为50?，交点为P ，a 是α内不过P 点的任意一条直线，那么l 与a 所成角的取值范围是 。
14、函数)
1lg(2x y -=的单调递增区间为 。 15、方程2
1254log 24=+-x x x 的解为 。 16、函数)(x f 与x x g -=3)(的图象关于直线x y =对称，则函数)2(2x x f -的定义域为 。
17、一个长方体的长、宽、高的比为4∶3∶2，它的对角线与一个正方体的体对角线等长，则这个长方体与正方体表面积之比为 。
18、平面α⊥平面β，直线a ∥α，a 与β成45?角，直线b ∥β，b 与α成45?角，则直线a 与b 所成的角的大小为 。
19、若x y x 22322=+，则22y
x +的最大值为 。 20、二面角βα--l 的大小为60?，l C B A ∈∈∈,,βα，且β⊥=AB AC ,4，B 点到α的距离为1，则直线AC 与平面β所成的角的大小等于 。
三、填空题（B 组）
21、若},4,2,1{},2,1{}1,{2a a a ??，则a 的值是 。
22、关于x 的方程)1,0(log log ≠>=a a a x x a 的解为 。
23、如果5
1cos sin -
=+αα，那么α所在的象限是 。 24、函数)2sin(2)(β+=x a x f 的值域为[-2，1]，在区间]12
,125[ππ-上是单调递减函数，则常数a 与β的值分别为 。 25、函数123)(2+-+=a ax x x f 在区间[0，1]上的最小值为0，则a 的值为 。
1998年“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试
班级 姓名
一、选择题
1、正方体每个面上正方形的对角线叫做正方体的面对角线。在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与BD 1垂直的面对角线的条数是-------------------------------------（ ）
（A ）0 （B ）3 （C ）6 （D ）9
2、若函数a x x f +=
2
)(的反函数为5)(1-=-bx x f ，则-------------------------（ ） （A ）7=+b a （B ）72=+b a （C ）3=-b a （D ）12=-b a
3、若02log 2log < （A ）10<< 4、如图所示是一个5?4?4的长方体，上面有2?1?4， 2?1?5，3?1?4的穿透的洞，剩下部分的体积为 ----------------------------------（ ） （A ）50 （B ）54 （C ）56 （D ）58 5、设函数)(x f y =是周期为2的偶函数， 且在区间[0，1]内单调递减，则) 5.2(),0(),1(f f f -的大小关系是------（ ） （A ）)0()5.2()1(f f f <<- （B ）)5.2()0()1(f f f <<- （C ）)1()5.2()0(-< 6、P 是?ABC 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABC ，则在以下结论中正确的是-（ ） （A ）∠BPC<∠BAC （B ）∠BPC>∠BAC （C ）∠BPC=∠BAC （D ）∠BPC 与∠BAC 的大小关系不确定 7、在锐角三角形ABC 中，一定有-----------------------------------------------------（ ） （A ）cosA （C ）tgA>sinB （D ）cosA 与sinB 的大小关系不确定 8、在正五棱柱ABCDE-A 1B 1C 1D 1E 1的侧棱CC 1上有一点P ，若截面PAE 1与侧面AEE 1A 1互相垂直，则这样的P 点------------------------------------------------------（ ） （A ）一般有两个，特殊情况下仅有一个。 （B ）有且仅有一个 （C ）有两个 （D ）有时不存在 9、在区间[2，3]上，方程x x 2332log log log log =的实根个数是-----------------（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）无数个 10、四个面都是正三角形的几何体叫做正四面体。用一个平面去切正四面体，使它成为形状大小都相同的两个几何体，这样的平面的个数为--------------------（ ） （A ）3 （B ）6 （C ）10 （D ）无数个 二、填空题 11、关于x 的方程)1 21(log )121(log 2+-=-+x x a ，)1,0(≠>a a 的解集为 。 12、空间四边形ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD=3，则BD 与AC 所成的角的正弦值为 。 13、函数?????>≤≤=)2( 2)20( )(2x x x x f x 的反函数为 。 14、函数1 sin sin +=x x y 的值域为 。 15、若2log 3)(3++=x x f x ，则=-)30(1f 。 16、若)1(log )(-=ax x f a 在区间[2，3）上是减函数，则实数a 的取值范围是 。 17、函数)(x f y =对于任意实数y x ,都满足22)] ([2)()(y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则=)1998(f 。 18、关于x 的方程012=+++k x kx 有两个实根，一个比2大，另一个比1小，则k 的取值 范围是 。 19、在长方体ABCE-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=AA 1=1，P 是对角线AC 1上的一个动点，Q 是底面ABCD 上的一个动点，则B 1P+PQ 的最小值为 。 20、三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90?，D 为底面ABC 内的一点，∠APD=45?，∠BPD=60?，则∠CPD 的余弦值为 。 三、解答题 21、已知0,,>c b a 且1,,≠c b a ，a b c a c b ==,，试比较c b a ,,的大小，并说明理由。 22、?ABC 是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA= 4 6，A 点关于平面PBC 的对称点为A ’，求直线A ’C 与AB 所成角的余弦值。 答案： 第一试：ACADACCDDD 3，1，[50?，90?]，2，),2()0,(+∞-∞ ，26：29，60?，94，30?，2或0，a 或a 1，二、四，