圆的有关概念和性质

专题九 圆

第一节 圆的有关概念和性质

一【知识梳理】

1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念

①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，

定长为半径． ②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧． ③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对

称图形，对称中心为圆心．

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有

一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；

90”的圆周角所对的弦是直径．

④三角形的内心和外心

?：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．

?：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，

外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． ?：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆

心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

2.与圆有关的角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所

对的弧的度数的一半．

（3）圆心角与圆周角的关系：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

3.正多边形和圆

（1）通过等分圆画正多边形。（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）

（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、

半径、中心角、边心距；

（3）如图，正n 边形的有关计算要抓住2n 个Rt △OPB ，∠B 等于正n 边形内角的一半，∠BOP=n

n

1802360 ，BP 等于正多边形的边长的一半。 一般地，关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。（“转化”是解决问

题的一种重要的思想方法，化繁为简、化难为易、化抽象为形象、化未知为已知…如：

用“换元法”解方程、解方程中的 ‘消元降次’思想、把多边性的内角和转化为三角形来研究、借助图表分析应用题中的数量关系等） 方法技巧：

1.分类讨论解决圆的问题，防止漏解。如一条弦所对的圆周角有两种，所以同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补。圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。

2.圆中常作的辅助线：作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆

心作切线的垂线、两圆相交时的公共弦、连心线等。

二【课前练习】

1.如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°则∠BOC 的大小是（ ）

A ．60○

B ．45○

C ．30○

D ．15○

2.如图，MN 所在的直线垂直平分弦A B ，利用这样的工 具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．

3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A 、B 、C 、D 、 E 五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是（ ） A ．180° B ．15 0° C ．135° D ．120°

4.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上．如果∠P ＝50○

，那么∠ACB 等于（ ）

A ．40○

B ．50○

C ．65○

D ．130○

5.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD 为⊙O 的直径，弦

AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为（ ） A ．12．5寸 B ．13寸 C ．25寸 D ．26寸

6.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=100°，则∠DAB 的度数为（ ） A ．50° B ．80° C ．100° D ．130°

7.如图，在⊙O 中，已知∠ACB ＝∠CDB ＝60○

，AC ＝3，则△ABC 的周长是____________.

8⊙O 的半径是5，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，AB=6，CD=8， 求 AB 与CD 之间的距离．

9（2007山东临沂）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上， AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC ＝120°，四边形

ABCD 的周长为10。 (1)求此圆的半径； (2)求图中阴影部分的面积。 10．（2006年长春市）如图，AB 为⊙O 直径，BC 切⊙O 于B ，CO 交⊙O

交于D ，AD 的延长线交BC 于E ，若∠C = 25°，求∠A 的度数。 11.如图，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于E ，，，86==AE AB 4=ED ，求CD 的长。 12.（06连云港）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 至点D ，使CD ＝AC ，连接AD 交⊙O 与点E ，连接BE 、CE 与AC 交于点F 。 （1）求证：△ABE ≌△CDE ； （2）若AE =6，DE =9，求EF 的长。

第4题 第5题 第6题 第7题

图3

图1

第10题 第11题 第12题

D

13.填写下表：

三：【课后训练】

1.（2007福建福州）如图2，O 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则O 的半径长为（ ）

A ．3cm

B ．4cm

C ．5cm

D ．6cm

2（2007四川成都）如图，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，． 已知50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 那么EDF ∠等于（ ） Ａ．40° Ｂ．55°

Ｃ．65° Ｄ．70°

3（07淄博）如图1，已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，

AD ⊥BC 于D 点，且AC =5，DC

=3，AB =24，则⊙O 的直径等于 。4（2007重庆市）已知，如图2：AB 为⊙O 的直径，

AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC

交⊙O 于点E ，∠BAC ＝450。给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.50，；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧?

AE 是劣弧?

DE 的2倍；⑤AE ＝BC 。其中正确结论的序号是 。

5（2007山东枣庄）如图3，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD =6，则BC ＝ 。 6（2007四川成都）如图4，已知AB 是

O 的直径，弦CD AB ⊥，AC =1BC =，

那么sin ABD ∠的值是 ．

B

7.如图，在⊙O 中，弦AB=1．8。m ，圆周角∠ACB=30○

，则 ⊙O 的直径等于_________cm ．

8.如图，⊙O 内接四边形ABCD 中，AB=CD ，则图中和∠1相等的角有______

9．（2006年贵阳市）如她4，B 是线段AC 上的一点，且5:2:=AC AB ，分别以AB 、

AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为 ；

10.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一

个肯定是半圆环形（ ）

11. (2006年苏州市)

如图①，△ABC 内接于⊙0，且∠ABC ＝∠C ，点D 在弧BC 上运动．过

点D 作DE∥BC．DE 交直线AB 于点E

(1)求证：∠ADB=∠E ；

(2)求证：AD 2=AC·AE；

(3)当点D 运动到什么位置时， △DBE∽△ADE 请你利用图② 进行探索和证明

第二节 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

一【知识梳理】

1.点与圆的位置关系:

2.直线和圆的位置关系：

切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平

_ C

_第8题 第7题 图②

A 图①C

A

设圆的半径为r ， 点到圆心的距离为d

点在圆外?d ＞r ． 点在圆上?d=r

点在圆内?d ＜r

设圆的半径为r ，圆 心到直线的距离为d 直线与圆相切?d=r

直线与圆相离?d ＞r

直线与圆相交?d ＜r

分两条切线的夹角。

3.圆与圆的位置关系

(1)同一平面内两圆的位置关系：

①相离:没有公共点； ②相切:只有一个公共点；③相交:有两个公共点；④同心圆。 (2)

(3)

（注意：两圆内含时，如果d 为0，则两圆为同心圆） 4.切线的性质和判定

(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．

(3)切线的判定：①d=r ?直线与圆相切（r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离；当不知道直线与圆的公共点时用此判定方法）②经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（当知道直线经过半径的外端点时，只需证明垂直）

二【课前练习】

1.△ABC 中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C 为圆心，以r 为半径作圆，那么： ⑴ 当直线AB 与⊙C 相离时，r 的取值范围是____； ⑵ 当直线AB 与⊙C 相切时，r 的取值范围是____； ⑶ 当直线AB 与⊙C 相交时，r 的取值范围是____.

2. 已知⊙O 1和⊙O 2相外切，且圆心距为10cm ，若⊙O 1的半径为3cm ，则⊙O 2的半径为 cm ．

3.两个同心圆的半径分别为1cm 和2cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，那么AB=（ ） A ．．3 D ．4

4.（2007山东临沂）如图，在△ABC 中，AB ＝2，

AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边BC 交于点D ，则AD 的长为（ ）。A

A 、

552 B 、554 C 、35

2

D 、354 5.（2007重庆市）已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是（ ）C

（A ）相交 （B ）内含 （C ）内切 （D ）外切

6.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）．C

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．内含

7. 两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d 的取值范围是（ ） A ．d ＞8 B ．0＜d ≤2 C ．2＜d ＜8 D ．0≤d ＜2或d ＞8 8. Rt △ABC 中，∠C=90°，∠AC=3cm ，BC ＝4cm ，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心1．3 cm 长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，2．4cm 长为半径

的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，2．5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（ ）

A ．0个

B ．l 个

C ．2个

D ．3个

9.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交 ⊙O 于点B ，PA=4，

O

B

OA=3，则cos ∠APO 的值为（ ） 3344. . . .4

5

5

3

A B C D

10.如图，已知PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是 ⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC 度数是（ ） A ．70° B ．40° C ．50° D ．20°

11.如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，∠APB=90°，OP=4， 求⊙O 的半径．

12.如图,⊙O 的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O 于点

交

y 轴于点C

(1)求线段AB 的长

(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式

13（2007浙江温州）如图，点P 在O 的直径BA 于 点C ，连结BC 。

（1）求P 的正弦值；

（2）若⊙O 的半径r ＝2cm ，求BC 的长度。

三【课后训练】

1.在△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，CM 是中线，以C 为圆心，以3cm 长为半径画

圆，则对A 、B 、C 、M 四点，在圆外的有_____，在圆上的有_____，在圆内的有_______. 2.已知半径为3 cm ，4cm 的两圆外切，那么半径为6 cm 且与这两圆都外切的圆共有____个． 3．(2006年浙江省绍兴市) 已知00的直径AB 与弦AC 的夹角为35。，过C 点的切线 PC 与AB 的延长线交于点P ，则么P 等于（ ）

A ．150

B ．200

C ．250

D ．300

4.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x 2

－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（ ）

A ．外离

B ．外切

C ．相交

D ．内切

5.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB 切小圆于M ，若环形的面 积为9π，求AB 的长．

6.如图，△ABO 中，OA= OB ，以O 为圆心的圆经过AB

中点C ，且分别交OA 、OB 于点E 、F ． （1）求证：AB 是⊙O 切线；

（2）若△ABO 腰上的高等于底边的一半，且AB=4 3 ，求ECF 的长 ※7.如图，CB 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，CD 的延长线与

⊙O 的直径BE 的延长线交于A 点，连OC ，ED ． （1）探索OC 与ED 的位置关系，并加以证明；

（2）若OD ＝4，CD=6，求tan ∠ADE 的值．

8．(2006年泰州市)已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，

交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，

⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；

⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．

9（2007浙江金华）如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 作

OH AC ⊥于点H ．若2OH =，12AB =，13BO =求：（1

）⊙O 的半径；

（2）sin OAC ∠的值； （3）弦AC 的长（结果保留两个有效数字）．

10（2007福建福州）如图，已知：ABC △内接于⊙O ，

点D 在OC 的延长线上，1

sin 2

B =，30D ∠=．

（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若6AC =，求AD 的长．

11.已知三角形三边长分别是 4cm 、5cm 、6cm ，以各顶点为圆心的三个圆的两两外切，求这三个圆的半径。

第三节 弧长、扇形的面积和圆锥侧面积

一【知识梳理】

1.弧长公式：180n R

l π=(n 为圆心角的度数上为圆半径)

2.扇形的面积公式S=21

3602

n R lR π=(n 为圆心角的度数,R 为圆的半径）．注：后一个公式可类比三角形公式，扇形的弧相当于三角形的底，扇形的半径相当于三角形的高。

3.圆锥的侧面积S=πRL ,(L 为母线长，R 为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和

称为圆锥的全面积．

注意①圆锥的高、底面半径和母线构成Rt △AOC

图（2）

图（1）

D

B

③在弧长和扇形公式中，知道某些量就可以求出相关的未知量，所以要灵活运用公式。 ④在求阴影部分的面积时，要善于把不规则图形转化为规则图形（或其和差关系）。

二【课前练习】

1.如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，

则围成这个灯罩的铁皮的面积为________cm 2

(不考 虑接缝等因素，计算结果用π表示）．

2. 设圆的周长为C ，因为1°的 圆心角占整个周角的 ，

因此它所对的弧长是圆周长的 ；n 圆心角所对的弧长是圆周长的 ．

3. 在⊙O 中，如果120的圆心角所对应的弧长为

43π

，则⊙O 的半径为 ．2 4. 圆心角为30，半径为R 的弧长为 ．6

R π

5.半径是6，圆心角为120°的扇形是某圆锥的侧面展开图，这个圆锥的底面半径为＿＿。

6.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝2，分别以A 、B 、C 为圆心，以 1

2AC 为半径

画弧，三条弧与边AB

7. 已知一圆的周长为8cm π，其圆周上一段弧长为3cm π，

则该弧所对的圆周角为

．67.5

8. 在半径为1cm 的圆中，弧长为

23

π

的弧所对应的圆周角为 ．

60 9. 如果⊙O 的半径3cm ，其中一弧长2πcm ，则这弧所对的弦长为 ． 10.如图，半径为30cm 的转轮转120°角时，传送带上的 物体A 平移的距离为＿＿＿＿cm 。（保留π）

11.如图1－3－29，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长 为36m ，母线长为8m ．为防雨需在粮食顶部铺上油毡， 至少需要铺油毡的面积是_______．

12.如图，⊙O 的半径为1，圆周角∠ABC=30°， 则图中阴影部分的面积是________.

13.制作一个底面直径为30cm ，高40cm 的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（ ），

A ．1425πcm 2

B ．1650πcm 2

C ．2100πcm 2

D ．2625πcm 2

14. 如图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫以相同速度，同时从A 点到B 点，甲虫沿

路线爬行；乙虫沿

路线爬行，则下列结论正确的是（ ）

Ａ．甲先到达B 点 Ｂ．乙先到达B 点 Ｃ．甲、乙同时到达B 点 Ｄ．无法确定

16. 如图，正方形ABCD 的边长为2，以CD 为直径在正方形内画半圆，再以D 为圆心，2为半径画弧AC ，则图中阴影部分的面积为（ ）Ｄ Ｄ Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｃ

Ａ

Ｂ

1A 2

A 3

A

A C O B

图（5）

Ａ．π Ｂ．

23

π Ｃ．

32

π Ｄ．

2

π

17.如图，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm ，10cm ，∠AOB

＝120㎝，求这个广告标志面的周长．（145.6） 18.一个三角尺的两直角边分别为15cm 和20cm ，以它的斜边为旋转轴旋转这个三角尺便形成如图所示的旋转体，求这个旋转体的全面积（π取3.14）

19.如图，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且它们的半径都是0.5cm ，图中的三个扇形（即三

个阴影部分）的面积之和是多少？

三：【课后训练】

1.已知Rt △ABC 的斜边AB=5，一条直角边AC=3，以直线BC 为轴旋转一周得到一个圆锥，

则这个圆锥的侧面积为（ ）

A ．8π

B ．12π

C ．15π

D ．20π

2.如图，圆锥的母线长为5cm ，高线长为4cm ，则圆锥的底面积是（ ）

A ．3πcm Z ；

B ．9πcm Z ；

C ．16πcm Z ；

D ．25πcm

Z

3.如果圆锥的高为8cm ，母线长为10cm ，则它的侧面展开图的面积为_____

4.正方形ABCD 的边长为2 cm ，以边AB 所在直线为轴旋转一周， 所得到的圆柱的侧面

积为（ ）m 2

A ．16π

B ．8π

C ．4π

D ．4 5.（07山东淄博）一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）B

（A ）9π （B ）18π （C ）27π （D ）39π 6.（2007四川内江）如图（5），这是中央电视台“曲苑杂谈”

中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB ∠为120，

OC 长为8cm ，CA 长为12cm ，则阴影部分的面积为（ ）

7.（07山东济宁）如图，从P 点引⊙O 的两切线PA 、PA 、PB ， A 、B 为切点，已知⊙O 的半径为2，∠P ＝60°， 则图中阴影部分的面积为 。

8.. 如图，两个半径为1，圆心角是90的扇形OAB 和扇

形O A B '''叠放在一起，点O '在AB 上，四边形

B

B

17题

OPO Q '是正方形，则阴影部分的面积等于 ．12

-π

9. 如图，⊙1O 和⊙2O 是半径为6的两个等圆，且互过圆心，

则图中阴影部分的面积为

．24π

10. 如图，△ABC 内接于

O ，4cm AB BC CA ===，

则图中阴影部分的面积为

．

216(cm )93

π-

11. 扇形的面积为

34πcm 2，扇形所在圆的半径3

2

cm ，求扇形的圆心角．（120） 12. 如图，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=2cm ，E 是以A 为圆心、

AD 为半径所作圆周与BA 延长线的交点，则图中阴影部分的 面积是 cm 2．

13. 如图10，扇形ODE 的圆心角为120，正三角形ABC 的中 心恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形ODE 内

（１） 请连接OA OB 、，并证明AOF BOG △≌△； （２） 求证：ABC △与扇形ODE 重叠部分的面积等

于ABC △面积的

13

． 14. 如图，⊙1O ，与⊙2O 外切于点C ，⊙M 与⊙1O ，⊙2O 都相内切，切点分别为A ，B ，⊙1O 与⊙2O 的半径均为2，⊙M 的半径为6

，求图中阴影部分的面积．10

3

π-

D E

Ｄ