初中几何公理、定理

初中几何公理、定理 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中几何公理、定理

一、线与角

1、两点之间，线段最短

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线

3、对顶角相等；同角的余角（或补角）相等；等角的余角（或补角）相等

4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

5、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）

6、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行②内错角相等，两直线平行③同旁内

角互补，两直线平行④平行于同一直线的两直线平行⑤垂直于同一直线的两直线平行

7、平行线的性质：

①经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行

③两直线平行，同位角相等④两直线平行，内错角相等⑤两直线平行，同旁内角互补

⑥平行线间的距离处处相等

9、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

10、垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等

垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

二、三角形、多边形

11、三角形中的有关公理、定理：

（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

②三角形的外角和等于360°

（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°

（3）三角形的任何两边的和大于第三边、两边的差小于第三边

（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

12、多边形中的有关公理、定理：

（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°

（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°

（3）欧拉公式：顶点数 + 面数－棱数=2

13、等腰三角形中的有关公理、定理：

（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”

（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）

（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

（5）等边三角形判定：①三边都相等的三角形叫做等边三角形；②有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形

14、直角三角形的有关公理、定理：

（1）直角三角形的两个锐角互余

（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半三、特殊四边形

15、平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等②平行四边形的对角相等

③平行四边形的对角线互相平分.

16、平行四边形的判定:

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形

17、矩形的性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相等且互相平分

18、矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形

是矩形

③对角线相等的平行四边形是矩形

19、菱形的性质：①菱形的四条边都相等

②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

20、菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形②四条边相等的四边形是菱形

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形

21、正方形的性质：①正方形的四个角都是直角②正方形的四条边都相等

③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

22、正方形的判定：

①有一组邻边相等的矩形是正方形②两条对角线垂直的矩形是正方形

③有一个角是直角的菱形是正方形④两条对角线相等的菱形是正方形

23、梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形

24、等腰梯形的判定：①同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

②两条对角线相等的梯形是等腰梯形

25、等腰梯形的性质：①等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等

②等腰梯形的两条对角线相等

26、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半

四、图形的全等

27、全等多边形的对应边、对应角分别相等

28、全等三角形的判定：

①如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（SSS）

②如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等（SAS）

③如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(ASA)

④有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（AAS）

⑤如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等（HL）

29、轴对称：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某条直

线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；（3）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称30、平移：（1）平移不改变图形的形状和大小(即平移前后的两个图形全等)；（2）对

应线段平行且相等（或在同一直线上）,对应角相等；（3）经过平移,两个对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.

31、旋转：（1）旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等)（2）任意

一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角)（3）经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等

32、中心对称：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个

图形，对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分；（3）如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称

五、图形的相似

33、（1）相似多边形的性质：

①相似多边形的对应边成比例②相似多边形的对应角相等

③相似多边形周长的比等于相似比④相似多边形的面积比等于相似比的平方

（2）相似三角形性质：

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比，对应中

线的比，都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形的面积比等于相似比的平方

34、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

35、相似三角形的判定：

①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

②如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似

③如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似

④如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似

⑤如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

36、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

六、圆

37、圆有关的概念:

(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．

(2)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

(3)圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．

(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧叫优弧,小于半圆的弧叫

劣弧.

(5)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

38、圆的有关的性质：

(1)圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、

两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；

(2)垂径定理及其推论：当一条直线满足①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分

优弧；⑤平分劣弧．中的两个条件时，就能推出其余三个结论．（简称“知二推三”）

(3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；

(4)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半

(5)圆内接四边形性质：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

(6)圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径；

(7)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

(8)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；

(9)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆

心的连线平分两切线的夹角；

(10)相交弦定理：圆内两条相交弦被交点分成的两条线段的长的积相等.

(11)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两

条线段长的比例中项．

(12)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线

段的长的积相等.

39、三角形的内心和外心

（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

40、点与圆的位置关系：点在圆外,点在圆上,点在圆内. 设圆的半径为r，点到圆心的距

离为d，则①点在圆外?d＞r．②点在圆上?d=r．③点在圆内?d＜r．

41、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高． 设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，

则①直线与圆相交?d ＜r ，②直线与圆相切?d=r ，③直线与圆相离?d ＞r

42、圆与圆的位置关系3．设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R 和r ，则

①两圆外离?d ＞R+r ； ②两圆外切?d=R ＋r ；③两圆相交?R －r ＜d ＜R+r （R ＞r ）

④两圆内切?d=R －r （R ＞r ） ⑤两圆内含?d ＜R —r （R ＞r ）

43、圆有关的计算:

(1)弧长计算公式：180n R l π=（R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数） (2)扇形面积：2360n R S π=扇形或12

S lR =扇形（R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数） (3)圆锥: S 圆锥侧=S 扇形=×底面周长×母线=πrR , 并且2πr=(如右图).

（其中r 为底面圆半径，R 为圆锥母线长即展开图扇形半径）

中考数学常用公式及性质

1、整式乘法与因式分解：①(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； ②(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；

2、幂的运算性质

① a m ×a

n ＝a m +n ；②a m ÷a n ＝a m -n ；③(a m )n ＝a mn ；④(ab )n ＝a n b n ；⑤(a b )n ＝ n n a b ； ⑥a -n ＝1n a

，特别：() -n ＝()n ；⑦a 0＝1(a ≠0)。 3、二次根式

①()2＝a (a ≥0)；②＝丨a 丨；③＝×；④＝(a ＞0，b ≥0)。 4、一元二次方程：对于方程：ax 2＋bx ＋c ＝0：

①求根公式是x 24b b ac -±-△＝b 2－4ac 叫做根的判别式。

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根。

②若方程有两个实数根x 1和x 2，则x 1+x 2=a b -；x 1·x 2=a c . 5、二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a

顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b x 2-=。 ⑴a 决定开口方向及开口大小

⑵b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：①0=b 时，对称轴为y 轴；②

0>a

b （即a 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

b （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。 ⑶

c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴

交于正半轴；③0

6、方差：2s =222121.....n x x x x x x n

7、频率=总数频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，

8、锐角三角函数：

①sin A ＝

，∠A 的余弦：cos A ＝，∠A 的正切：tan A ＝．

②特殊角的三角函数值：

?30

?45 ?60 Sin α 21 2

2 2

3 Cos α 23 22 2

1 度 数 三 角 函 数

tan α 33 1 3

③斜坡的坡度：i ＝铅垂高度水平宽度＝．设坡角为α，则i ＝tanα＝。 9、n 边形的内角和等于(n －2)180o（n ≥3，n 是正整数），外角和等于360o. 10、如图：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，CD ⊥AB 于D ，则有：

（1）射影定理：①2CD AD BD =?②2AC AD AB =?③2BC BD AB =

（2）①∠A=∠BCD;∠B=∠ACD. ②△ACD ∽△CBD ∽△ABC.

(3) AB ·CD=AC ·BD

11、Rt △ABC 的三条边分别为：a 、b 、c （c 为斜边），则它的内切圆的半径为r,则

①2a b c r +-=； ②S △ABC =()r c b a ++2

1 12、①S 正△＝

a 2． ②S 平行四边形＝底×高． ③S 菱形＝底×高＝×(对角线的积)， ④1()2

S =+?=?梯形上底下底高中位线高 ⑤S 圆＝πR 2． ⑥C 圆周长＝2πR ． ⑦弧长L ＝． ⑧213602

n R S lR π==扇形 ⑨S 圆锥侧＝πrR ，

360

n R r = (r 为底面圆半径，R 为扇形半径或圆锥母线长）

α C