高中数学选修2-1全称量词与存在量词例题解析.docx

全称量词与存在量词例题解析

【例 1】试判断以下命题的真假：

(1)x∈R，使 x3＜ 1；

(2)x ∈Q，使 x2=2；

(3)x ∈ N，有 x3＞ x2；

2

(4)x ∈ R，有 x +1＞0．

【分析】要判定一个存在性命题是真，只要在限定的集合M中，至少能找到一个x=x0值，使

p(x 0) 成立即可，否则，这一存在性命题就是假的．要判定一个全称命题是真，必须对限定集

合M中的每一个x 验证p(x) 成立；但要判定全称性命题是假，却只要能举出集合M中一个x=x0，使得 p(x 0) 为假即可．

【解】 (1) 由于 x∈R，因而可取 x=-1 ，满足 x3＜1，

所以命题“ x∈R，使 x3＜1”是真命题．

(2)由于使 x2 =2 成立的数只有± 2，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数

的平方能等于

(3) 由于

2，所以命题“x ∈Q，使 x2 =2”是假命题．

2

x 取自然数 l 时， x ＞x 是不成立的，因此，全称命题“x∈ N，有x3＞ x2”是

假命题．

(4)由于任何一个实数 x 的平方都是非负的，即

x 2≥ 0，因而有 x2 +1＞0．所以，命题“x∈R，有 x2+1＞0”是真命题．

【例 2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题：

(1)与同一平面所成角相等的两条直线平行；

(2)有的三角形三个内角成等差数列；

(3)和圆只有一个公共点的直线与圆相切．

【解析】 (1) 全称命题； (2) 存在性命题； (3) 全称命题．

【例 3】写出下列命题的否定：(1) 菱形的对角线互相垂直；(2) 平行直线的斜率相等 .【解析】(1) “菱形的对角线互相垂直”的否定是“有的菱形的对角线彼此不垂直”．

(2)“平行直线的斜率相等”的否定是“存在平行的直线，它们的斜率不相等”

【例 4】命题 q：有些三角形是直角三角形．写出它的否定命题 . 由此可得出一般结论：【解析】这是一个存在性命题，即“三角形x，x 是直角三角形”．

其否定命题是:q：三角形x， x都不是直角三角形．

也就是说：“没有一个三角形是直角三角形”，或者说“没有直角三角形”．

【点评】存在性命题q：x∈A，使 p(x) 成立．它的否定命题是q：x∈A,p(x)(p(x)不成立 ) ．