重点高中数学选修11《圆锥曲线与方程》知识点讲义
重点高中数学选修11《圆锥曲线与方程》知识点讲义
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第二章 圆锥曲线与方程
一、曲线与方程的定义:
(),C F x y 设曲线,方程=0,满足以下两个条件:
()(),,C x y F x y ?①曲线上一点的坐标满足=0;
()(),,.
F x y x y C ?②方程=0解都在曲线上
()(),,.
C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线,方程=0是曲线的方程
二、求曲线方程的两种类型:
()
1、已知曲线求方程;用待定系数法
()()()
2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系;
③用含的式子代替等量关系;④化简;别出现不等价情况⑤证明;高中不要求
椭圆
一、椭圆及其标准方程
1、画法
{}
121222,2P PF PF a F F a +=<、定义:
3、方程
()()22
22
22221010x y y x a b a b a b
a b +=>>+=>>①或
②
()
22
22+10x y a b a b
=>>二、几何性质:
1,.
x a y b ≤≤、范围:
2x y O 、对称性:关于、、原点对称. ()()()()12123,0,,0,0,,0,.
A a A a
B b B b --、顶点
2224,,a b c a b c =+、之间的关系:
()
2
25101c b e e a a ==-<<、离心率:
0,
1e e →→越圆越扁
扩展:
()2222
22222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1
()()
2222
22221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或
.a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是,最大距离是
12P P F PF ∠④为椭圆上一动点,当点为短轴端点时,最大.
24.AB F ABF a V ⑤为过焦点的弦,则的周长为
()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点,则当直线的斜率存在时,弦长为:
()(
)2
22
121
2
12114l k x x k x x x x ??
=+-=
++-??
()2
12121222110114k l y y y y y y k k ??=+
-=+?+-??或当存在且不为时,
()2210,0.
Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时,可设椭圆的方程为
双曲线
一、双曲线及其标准方程
1、画法
{}
1212
22,2
P PF PF a F F a
-=>
、定义:
3、方程:
()() 2222
2222
1,01,0 x y y x
a b a b
a b a b
-=>-=>①或②
()
22
22
1,0
x y
a b
a b
-=>
二、几何性质:
1,
x a y R
≥?
、范围:
2x y O
、对称性:关于轴、轴、原点对称.
()()
12
1212
,0,,0
=2.
A a A a
A A a
B B b
-
=
3、顶点:
实轴2,虚轴
222.
a b c c a b
=+
4、、、之间的关系:
()
2
2511c b e e a a
e ==+>、离心率:越大,开口越阔
22221b y x a y x y x a a b b ??
=±-==± ?
??6、渐近线:的渐近线为
()2222
222210x y x y m m a b a b -=-=>说明:与有相同离心率.
抛物线
一、抛物线及其标准方程
P l PF P
F l d -???????1、定义:且
2、标准方程及几何性质 标准方程
()
220y px p =>
()
220y px p =->
()
220x py p =>
()
220x py p =->
简图
焦点
,02p ??
??? ,02p ??- ??? 02p ?? ???、 02p ??- ?
??、 准线 2p x =-
2p x =
2p y =-
2p y =
范围 0x ≥
0x ≤
0y ≥
0y ≤
对称性 x 轴
y 轴
顶点 ()0,0
离心率 1e =
P 说明:①越大,开口越阔.
②抛物线无限向外延展,但它无渐进线.
扩展:
Q Q 1、设点分别位于抛物线开口以内,抛物线上,以及开口以外,问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条?
()1.
Q 答:①当位于抛物线开口以内,个交点的直线只有一条主轴或其平行线
1Q ②当位于抛物线上,
个交点的直线有两条,即主轴或其平行线,和切线. 1.Q ③当位于抛物线外,
个交点的直线有3条,分别是主轴或其平行线,两条切线
2、过焦点的弦长
()22A B A B AB AF BF
p p x x p x x =+????
=+++ ? ?????=++如图,