【精选8套高考试卷】2019年高考数学(理)第一轮复习(江苏版)讲义：第37讲导数及其应用经典回顾

第37讲 导数及其应用经典回顾

考点梳理

1．导数的概念

（1）函数在某一点处的导数

对于函数()y f x =，如果自变量x 在0x 处有增量x V ，那么函数y 相应地有增量

00()()y f x x f x =+-V V ．如果当0x →V 时，

y

x

V V 有极限，我们就说 ()y f x =在点0x 处可导，并把这个极限叫做()f x 在点0x 处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即

0()f x '000

()()lim lim x x f x x f x y x

x

→→+-==V V V V V V 对于这一定义，我们应该明确如下四点：

①函数()f x 在0x 及其附近有定义（否则00()()f x f x x +V 、无意义），x 在0x 处的增量0x x x =-V ，x V 是自变量，并且0x ≠V ．据此，函数()f x 在0x 处的导数定义的另一种表达形式是 0

000

()()

'()lim

x x f x f x f x x x →-=-．

②函数()f x 在点0x 处可导，是指当0x →V 时，比值y x

V V 有极限．否则，若0lim x y x →V V V 不存在，则称函数()

f x 在点0x 处不可导．

③()f x 在0x 处的导数0()f x '

不是一个变数，而是一个确定的数值．

④函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '，

其几何意义是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 即00(,)P x y 处切线的斜率，于是，曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线方程为

000'()()y y f x x x -=-．

（2）导函数

若函数()y f x =在开区间(, )a b 内每一点都可导，则称()f x 为开区间(, )a b 内的可导函数．这时对于开区间

(, )a b 内每一个确定的值0x ，都有一个确定的导数值0'()f x 与之对应，即在开区间(, )a b 内构成了一个新的函

数，我们称这一新函数为()f x 在开区间(,)a b 内的导函数，简称导数，记作'()f x 或'y ，即

00'()'lim

()()lim x x y

f x y x

f x x f x x →→==+-=V V V V V V

2．导数公式及求导法则

（1）几种常见函数的导数公式 '0c =（c 为常数）； '

1()n n x

nx -=(n Q ∈)；

()'sinx cosx =； ()'cosx sinx =-；()'x

x

e e =；

()'x x a a lna =；1()'lnx x

=； 1()'a a log x log e x

=

．

（2）和、差、积、商的求导法则

()'''u v u v ±=±； ()'''uv u v uv =+； 2

''

'u u v uv v v -??= ???

(0)v ≠． （3）复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且'''x u x y y u =?， 或写作

'(())'()'()x f x f u x ??=．

3．定积分的基本性质 （1）()() ()b

b

a a

kf x dx k f x dx k =?

?为常数；

（2）

1

2

[()()]b

a

f x f x dx ±?

12() ()b

b a

a

f x dx f x dx =±??

（3）

()b

a

f x dx ?

()() ()c

b a

c

f x dx f x dx a c b =+<

如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()b

a

f x dx F b F a =-?

．

金题精讲

题一：设定函数

3

2() (0)3

a f x x bx cx d a =

+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4． （Ⅰ）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞内无极值点，求a 的取值范围． 题二：设a 为实数，函数

()22,x f x e x a x =-+∈R ．

(Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；

(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，2

21x e x ax >-+．

导数及其应用经典回顾

金题精讲 题一：（Ⅰ）32()312f x x x x =-+； （Ⅱ）a 的取值范围是[]1,9．

题二：(Ⅰ) ()f x 的减区间是(,ln 2)-∞， 增区间是(ln 2,)+∞，

ln2()(ln 2)2ln 2222ln 22f x f e a a ==-+=-+极小(Ⅱ) 证明：设()2

21e R x g x x ax x =-+-∈，，

∴()2e R 2x g x x a x '=-+∈，，

由(Ⅰ)知当ln21a -＞时，()g x '最小值为 ()()ln221ln20g a '=-+＞，

∴对任意R x ∈，都有()0g x '＞， 所以()g x 在R 内单调递增；

∴当ln21a -＞时，对任意0()x ∈+∞，， 都有()()0g x g ＞，而()00g =， 从而对任意()00()x g x ∈+∞，

，＞， 即221e 0x x ax -+-＞，故221e x x ax -+＞.

2020年高考数学模拟试卷含答案

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、单选题

1．设集合A={1，2，3}，B={x|x 2-2x+m=0}，若A∩B={2}，则B=（ ） A ．{}0

B ．{}2

C ．{}1

D ．{}0,2

2．复数z=2+ai （a∈R）的共轭复数为z ，若z?z =5，则a=（ ） A ．±1

B ．3±

C ．1或3

D ．1-或3-

3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A ．3

y x =

B ．y x 1=-

C ．y x 1=-

D ．x

y 2=

4．已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5?a 6=-8，则公差d=（ ） A ．6 B ．6- C ．2-

D ．4

5．若双曲线的渐近线方程为

，则双曲线的离心率为

A ．

B ．2

C ．

D ．

6．设a=log 32，b=log 23，c=51

2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>

B ．b c a >>

C ．c b a >>

D ．c a b >>

7．执行如图的程序框图，如果输出的S=3，则输入的t=（ ）

A. B. C.1或3 D.1或

8．平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4，则BD=（ ）

A ．4

B

C D 9．等比数列{a n }的前n 项和S n =a?2n +1（n∈N*），其中a 是常数，则a=（ ） A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A∈α，A ?l ，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )

A ．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D ．AC ⊥β

11．已知点F 1，F 2分别是椭圆E ：22

x y 259

+

=1的左、右焦点，P 为E 上一点，直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线，过点F 2作l 的垂线，交F 1P 的延长线于M ，则|F 1M|=（ ） A ．10

B ．8

C ．6

D ．4

12．已知函数()()f x x R ∈满足()()=f x f a x -，若函数2

5y x ax =--与()y f x =的图像的交点为()11,x y ，

()22,x y ，…，(),m m x y ，且1

2m

i i x m ==∑，则a =（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题

13．向量,i j 是相互垂直的单位向量，若向量23,=-m a i j b i j =+（m∈R），1a b ?=，则m=______． 14．曲线21x

y xe x =++在点(0,1)处的切线方程为______.

15．三棱锥S-ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA=3，SB=4，SC=5，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______．

16．已知直线l ：x+y-6=0，过直线上一点P 作圆x 2

+y 2

=4的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最小值为______，此时四边形PAOB 外接圆的方程为______． 三、解答题

17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=bcosC+csinB ． （1）求B ；

（2）求sinC 的取值范围． 18．运动健康已成为大家越来越关心的话题，某公司开发的一个类似计步数据库的公众号．手机用户可以通过关注该公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 和点赞．现从张华的好友中随机选取40人（男、女各20人），记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如表：

（1）若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下列2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异？

（2）在张华的这40位好友中，从该天行走的步数不超过5000步的人中随机抽取2人，设抽取的女性有X 人，求X=1时的概率． 参考公式与数据：

K 2

=()()()()

2n(ad bc)a b c d a c b d -++++，其中n=a+b+c+d ． 19．如图，在矩形ABCD 中，AB=2BC=2，点M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面△ADM⊥平面ABCM ．

（1）求证：AD⊥BM；

（2）求点C 到平面BDM 的距离．

20．如图，已知直线L ：x=my+1过椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点F ，且交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线G ；x=a 2

上的射影依次为点D 、K 、E ，若抛物线x 2

=4

y 的焦点为椭圆C 的顶点．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线L 交y 轴于点M ，

=λ

1

，=λ

2

，当M 变化时，求λ1+λ2的值．

21．已知函数f （x ）=ax 2+（a-2）lnx+1（a∈R）．

（1）若函数在点（1，f （1））处的切线平行于直线y=4x+3，求a 的值； （2）令c （x ）=f （x ）+（3-a ）lnx+2a ，讨论c （x ）的单调性；

（3）a=1时，函数y=f（x）图象上的所有点都落在区域

x0

2

y tx x

>

?

≥-

?

?

内，求实数t的取值范围．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

2

22

x cos

y sin

α

α

=

?

?

=+

?

（α为参数），曲线C2的方程为（x-1）2+（y-1）

2=2．

（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）直线θ=β（0＜β＜π）与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|的最大值．23．已知函数，.

（l）求的解集；

（2）若对任意的，，都有.求的取值范围.

参考答案

1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．A 12．D 13．

13

14．31y x =+ 15．50

16． （x-32）2+（y-32）2=9

2

17．（1）B=

π4；（2）（-12，2

）． 18．（1）见解析（2）3

5 19．（1）见解析（2）1

2

20．解：(1)易知

,

,

,

.

.

(2),设,则由可得:

，故

..

又由得.

. 同理

.

.

21．（1）a=2（2）见解析（3）t≤3

22．（1）见解析（2） 23．(1)

；(2)

或

.

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注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、单选题

1

．已知集合{|A x y =，2{|log 1}B x x =≤，则A B =

A ．1{|}3x x ≤≤-

B ．{}

01x x <≤ C ．{|32}-≤≤x x D ．{|2}x x ≤

2．已知31i

z i

-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i -

B ．1-

C ．1

D ．2

3．在等比数列{}n a 中,21=a ,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ） A ．122n +-

B ．3n

C ．2n

D ．31n -

4．若4cos 5α=-

,α是第三象限的角,则

1tan

21tan 2

α

α+=-（ ） A ．12

-

B ．12

C ．2

D ．-2

5．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为

( )

A

B

C

D

6．已知5

1(1)(2)a x x x

+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．80-

B ．40-

C ．40

D ．80

7．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：

根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不．正确的是( ) A ．样本中的女生数量多于男生数量

B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量

C ．样本中的男生偏爱理科

D ．样本中的女生偏爱文科 8．抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为

的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，

，

垂足为，则的面积是 （ ） A ． B ．

C ．

D ．

9．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32

AB AD AP AB AQ A ====uu u r uu u r uuu r uuu r 若CP C 12,Q ?=uu r uu u r

则ADC ∠=( )

A ．

56

π

B ．

34

π C ．

23

π D ．

2

π 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右顶点和右焦点，过坐标

原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．

1

3

B ．

23

C ．

83

D ．

32或83

11．设函数的图像与

的图像关于直线

对称，且

，则

( )

A ．

B ．

C ．

D ．

12．设O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于,S 与,PA PB 的延长线分别交于

,,Q R 则

111||||||

PQ PR PS ++( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值

C ．既有最大值又有最小值，且两者不相等

D ．是一个与平面QRS 无关的常数 二、填空题

13．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)

n n a a a n N n n +=

=+∈+，则2019a 的值为______． 14．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ???+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2?=___． 15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．

16．已知函数22,0,(),0,

x x x f x e x ?≤=?>?若方程2

[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是

______． 三、解答题

17．工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.

18．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．

（1）证明：MN PC ⊥；

（2）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60?，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．

19．在平面直角坐标系xOy 中，离心率为3

的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围． 20．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：

模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx

y ae =的附近．

（1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．

（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．

参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,

,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为

1

2

1

()()

,()

n

i

i

i n

i

i w w v v w v v v βαβ==--=

=--∑∑．

②刻画回归效果的相关指数2

2

12

1

()1()n

i

i i n i

i y

y R y

y ==-=-

-∑∑ ．

③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．

表中10

1

1ln ,10i i i i u y u u ===∑．

21．已知函数()ln 2f x x x =--．

（1）求曲线

()y f x =在1x =处的切线方程；

（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值； （3）若不等式

()(1)

()x m x f x x

-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．

22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为22

4x y +=，直线l 的参数方程2x t y =--???=??

（t 为参数），

若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3

2

倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；

（2）设点(2P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB

+的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知实数正数x, y 满足1x y +=． （1）解关于x 的不等式5

22

x y x y ++-≤； （2）证明：2211

119x y ????--≥ ? ? ?????

参考答案

1．B 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 13．1 14．

35

15．48π 16．3ln 22-

17

18．(1)见证明

19．(1) 2

213

x y += (2) [-

20．(1) 0.11235x y e = (2)见解析

21．(1) 1y =- ；(2) k 的值为0或3 ；(3) {}1,2,3.

22．（1）2cos 3sin x y θθ

=??=?（θ为参数）；（2）1

2

23．(1)1

[,1)6

.(2)见解析.

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一、单选题 1．曲线()42x

f x e

x =--在点()()0,0f 处的切线方程是（ ）

A ．310x y ++=

B ．310x y +-=

C ．310x y -+=

D ．310x y --=

2．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）

A ．

9

32

B ．

516

C ．38

D ．

716

3．函数1

sin 1

x x e y x e +=?-的部分图像大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．已知集合{

}

2

20A x x x =-->，{}

2log 2B x x =≤，则A B =（ ）

A ．()

(),10,-∞-+∞ B ．(]2,4

C ．()0,2

D ．(]1,4-