高中数学竞赛教案集.
第六章
不等式第一教时
教材：不等式、不等式的综合性质
目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。
过程：
一、引入新课
1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题
二、几个与不等式有关的名称 （例略）
1．“同向不等式与异向不等式”
2．“绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系（充要条件）
1．从实数与数轴上的点一一对应谈起
0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?
2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小
解：（取差）)
5)(3(-+a a )4)(2(-+a a 07)82()152(22<-=-----=a a a a
∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a
例二 已知x 0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小
解：（取差）22)
1(+x )1(24++x x 22424112x x x x x =---++=
∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x
小结：步骤：作差—变形—判断—结论
例三 比较大小1．231
-和10 解：∵23231
+=- ∵02524562)10()23(22<-=
-=-+ ∴231
-<10
2．a b 和m
a m
b ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）
a b
m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时
a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b a m b ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小 解：02 )1(212 ≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10< 1log +t a 四、不等式的性质 1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性） 证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数 0)(<--b a 0<-a b a b < 2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性） 证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b ∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b 0>-c a ∴c a > 由对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c < 五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件 3．性质1、2 六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3 补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与20 1的大小 解：2 41y x -= 2 2y x +201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin 与sin2的大小(0<<2) 略解：2sin sin2=2sin (1cos ) 当(0,)时2sin (1cos )≥0 2sin ≥sin2 当(,2)时2sin (1cos )<0 2sin 解：)1()1()1(223-=+-+a a a a 当10<)1(log 2+a a 当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a ∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a 第二教时 教材：不等式基本性质（续完） 目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。 过程： 一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2 二、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+ 从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->?-+>-++?>+)()( 推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则） 证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+?? ??+>+?>+>+?> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则） 证：∵d c < ∴d c ->- d b c a d c b a ->-????->-> 或证：)()()()(d c b a d b c a ---=--- d c b a <> ?? ??<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >； 如果b a >且0 证：c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a 根据同号相乘得正，异号相乘得负，得： 0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac > 0 推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则） 证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >?? ??>?>>>?>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么 d b c a >（相除法则） 证：∵0>>c d ∴??? ???>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且 3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且 证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若b a b a b a b a n n n n =?= 这都与b a >矛盾 ∴n n b a > 三、小结：五个性质及其推论 口答P8 练习1、2 习题6.1 4 四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6 五、供选用的例题（或作业） 1．已知0>>b a ，0< b e c a e ->- 证：??? ???<-<-?>-<-????<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．若R b a ∈,，求不等式b a b a 11,>>同时成立的条件 解：00011 ???<-?>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++c b a 证：∵0=++ c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab 又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵ abc ca bc ab c b a ++=++111 0 b a 4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b 1的大小 解：a 1b 1ab a b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1即b a < 0>-a b 0>ab ∴ 0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证： a b a b >?>1 解：01>-=-a a b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-?>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>a b 6．若0,0<<>>d c b a 求证：d b c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α >1 ∴0log sin <πα 又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴d b c a -<-11 ∴原式成立 第三教时 教材：算术平均数与几何平均数 目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。 过程： 一、 定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+