公务员行测数量关系经典总结(二)

工程问题

一、考情分析

工程问题是数学运算中最经典的题型之一，在往年的国家公务员考试中经常出现，虽然现在出现的频率略有下降，但是几乎每年还有出现，在各省市的公务员考试中更是频频出现。可以说，工程问题在公务员考试中占据了很重要的位置。

二、基本概念和公式

在日常生活中，做某一件工作，制造某种产品，完成某项工程等等，都要涉及到工作效率、工作时间和工作量这三个量，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。它们之间的基本数量关系：工作效率×工作时间＝工作量。最基本的工程问题为： 一个施工队要修长度为１５００米的隧道，每天可以修５０米，问多少天修完？

什么叫工作量？就是拿到一个工程项目以后，这个项目工作的多少，比如上题中的“１５００米的隧道”。工作效率呢，就是你完成项目的快慢程度，换而言之，就是你单位时间完成的工作量，比如上题的“每天修５０米”。工作时间就更简单了，是指你完成项目所花的时间。

这三个量存在这么一个关系，大家要好好注意这个关系：

工作效率＝工作量÷工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率

工作量＝工作效率×工作时间

出现在合作问题的时候，多人的工作效率＝他们各自的工作效率之和。

【误区点拨】需要注意的是，在多人合作的时候，有时候他们各自的工作效率会受到其他人的影响而变快或者变慢，这时候需要按照他们的实际工作效率来求总的工作效率。 在一个工程问题里面，我们首先就要找到工作量、工作效率和工作时间这三个量，看看哪些量已经已知，需要求的又是哪些量，然后根据已知量和对应公式求出未知的量。

三、解题方法

（一）设“１”法

设“１”法是工程问题中的王牌方法，掌握了设“１”法，就能解决９０％以上的工程问题，非常有效。

我们现在来解释一下什么是设“１”法。在很多工程问题里面，他们不告诉你具体的工作量是多少，只说需要多少多少天完成一项工作。这个时候，我们通常把总的工作量设为“１”，然后再代入计算。这个就叫设“１”法。

为什么要这么设呢？大家可以看看，如果５天完成一项工作，那么工作效率就是51；如果１０天完成一项工作，那么工作效率就是10

1。是不是很方便？下面我们来看一道题： 例题１：一项工作，甲单独做需要10天完成，乙单独做15天完成。问两人合作3天完成工作的几分之几？

A.21

B.31

C.51

D.6

1 【答案详解】设总工作量为1，则甲每天完成101，乙每天完成15

1。所以两人合作3天完成工作的（101+151）×3=2

1。

【误区点拨】大家需要注意，当完成多项工程时，需要区分不同的“１”。

（二）方程法

方程法适合那些未知量较多的题目。在多人合作问题中，如果题目中没有给出任何一个人的工作效率而只是给出他们之间的关系，这时候优先考虑使用方程法。当然，方程法一般都是与设“１”法结合使用的。

例题２：有一工程，甲、乙合作48天可以完成，若甲先单独做60天，则乙再单独做30天完成全部工程，若甲先单独做40天，问乙还需要单独做多少天才能完成？

A.40

B.50

C.60

D.80

【答案详解】设甲单独完成需要x 天，则甲、乙的工作效率分别为：x 1、481-x

1，依题意，有60×x 1+30×（481-x 1）=1，解得x=80。可得乙的工作效率为481-801=1201。甲单独做40天后完成40×801=21，乙还需单独做（1-21）÷120

1=60天才能完成。 四、题型精讲

（一）单人完成工作问题

这是工程问题里面最简单的情况。对于这类题目，只要找到工作量、工作效率和工作时间之间的关系就可以了。

例题３：一项工作，小李原计划20天完成。实际工作时，他的工作效率比原计划提高了25%，则可以提前几天完成？

A ．2 B.4 C.6 D.8

【答案详解】原来的效率为201，效率提高后，工作效率为201×（1+25%）=161，则工作1÷16

1=16天即可完成。提前了20-16=4天。 （二）两人完全合作问题

例题４：打印一份稿件，小张５小时可以打完这份稿件的3

1，小李３小时可以打完这份稿件的4

1，如果两人合打多少小时可以完成？ Ａ．６ Ｂ．320 C ．７ Ｄ．3

22 【答案详解】小张每小时完成全部稿件的3

1÷５＝151，小李每小时完成全部稿件的是41÷３＝121，则两人合作需要１÷（151＋121）＝3

20小时，选择Ｂ。 （三）合作＋休息问题

例题５：一件工作，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要30天完成。两人合作，期间甲休息了2天，乙休息了8天（不在同一天休息），从开始到完工共用了多少天？

A ．11

B ．15

C ．16

D ．20

【答案详解】甲休息时乙单独工作，完成了全部工作的301×2=15

1，乙休息时甲单独

工作，完成了全部工作的101×8=54，其余的两队合做，用了（1－151－54）÷（101+301）=1天，故一共用了2+8+1=11天。

（四）合作效率变化问题

例题6：有一工程，若由甲、乙单独做，分别需要12天和18天完成。若两人合做，因配合不默契，甲的工作效率比原来降低31，乙的工作效率比原来降低4

1，现在要求11天完成该工程，问两人至少需要合做多少天？

A ．3 B.4 C.5 D.6

【答案详解】总天数已定，要使两人合做的天数在总天数中占的尽量少，只能由工作效率较高的甲单独做一部分，所以该问题实为鸡兔同笼问题，甲、乙两人合做每天可完成工程的121×（1-31）+181×（1-41）=181+241=72

7。 按鸡兔同笼问题解，设整个工程为1，则甲、乙二人合作的最少天数为（1-121×11）÷（727-12

1）=6天。 （五）轮流工作问题

下面介绍一个最近经常考的题型，大家注意一下。

例题7：规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做1个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那么乙单独做这个工程需要多少小时？

A ．8

B ．7.8

C ．7.3

D ．7

【答案详解】依题意可知甲、乙轮流做一个工程时，甲工作了5小时，乙工作了4.8小时；乙、甲轮流工作时，乙工作了5小时，甲工作了4.6小时。由此可知甲工作0.4小时相当于乙工作0.2小时，则甲工作5小时相当于乙工作2.5小时，乙单独做此工程需2.5+4.8=7.3小时。

（六）多人合作问题

多人合作的话，情况会更加复杂。

例题8：如果单独完成某项工作，甲需24天，乙需36天，丙需48天。现在甲先做，乙后做，最后由丙完成。甲、乙工作的天数比为1∶2，乙、丙工作的天数比为3∶5。则完成这项工作共用了多少天？

A ．30

B ．38

C ．32

D ．40

【答案详解】先求出甲、乙、丙工作时间之比，再利用比例关系求解。

因为1∶2=3∶6，3∶5=6∶10，所以甲、乙、丙工作天数之比为3∶6∶10。如果甲、乙、丙分别工作3、6、10天，可完成这项工作的243+366+4810=2

1，故甲、乙、丙分别工作了6、12、20天，共用了6+12+20=38天。

（七）水管问题

下面我们来介绍一类特殊的工程问题，它的工作对象是水管，我们有时候也称之为水管问题。在这类问题里，水池的注水或者排水相当于一项工程，注水量或者排水量相当于工作量，每个水管的注水或者排水效率就相当于工作效率。

唯一不同的是水管问题有可能出现同时注水和排水的情况，也就是说可能出现负的工作

效率。我们先来看看这几道题。

例题9：打开A 、B 、C 每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽。当三个阀门都打开时，注满水槽需要1小时；只打开A 、C 两个阀门，需要1.5小时；只打开B 、C 两个阀门，需要2小时。若只打开A 、B 两个阀门时，需要多少小时注满水槽？

A ．1.1小时

B ．1.15小时

C ．1.2小时

D ．1.25小时

【答案详解】设水槽总量为1，则A 、C 两个阀门1个小时可注满5.11=3

2；B 、C 两个阀门1个小时可注满21；单独开C 阀门1个小时可注满32+21-1=6

1。故只打开A 、B 两个阀门1个小时可注满1-61=65，共需1÷6

5=1.2小时注满水槽，选择C 。 例题10：一空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管。单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池。如果单开排水管需6分钟将整池水排尽。某次池中没有水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管，又过了同样长的时间，水池的4

1注了水。如果继续注满水池，前后一共要花多少分钟? A ．3 B.3.5 C.4 D.4.5

【答案详解】设水池的容量为1。则甲、乙每分钟分别注入51、10

1，排水管每分钟排水61。设排水管打开的时间为x 分钟，则有（51-61）x+（51+101）x=41，解得x=43。 注满水池，还需要（1-41）÷（51+101）=4

10分钟。 则前后一共花了43×2+4

10=4分钟。 五、核心要点

工程问题：工作量=工作效率×工作时间

工程问题一般采用赋值法解题。赋值法有2种应用情况，第一种是题干中已知每个人完成工作的时间，这时我们假设工作量为工作时间的最小公倍数，进而得到每个人的工作效率，从而快速求解；第二种是题干中已知的是每个人工作效率的等量关系，这时我们通过直接赋效率为具体值进行快速求解。

方阵问题

一、考情分析

通过近几年的国考来看，方阵问题虽然并不像行程问题、利润问题那样年年都会考查。但是作为公务员考试的一个常考知识点，大家还是应该对其引起重视，尤其近两年常会碰到的方阵的转换及变形，以及空心方阵问题都有一定难度，需要大家熟记方阵问题的公式。

二、基础知识

1.题型简介

方阵问题是数学运算中一类常见的数学问题，是许多人或物按一定的条件排成正方形（简称方阵），再根据排成的方阵，找出规律，寻求解决问题的方案。

2.概念区分

行：排队时，横着排叫做行。

列：排队时，竖着排叫做列。

实心方阵：中心区域没有空缺，叫实心方阵。

如图1是实心方阵。

奇数型实心方阵：如图2方阵每行每列都为奇数，叫奇数型实心方阵，其几何中心恰好存在一个元素。

偶数型实心方阵：如图3方阵每行每列都为偶数，叫偶数型实心方阵，其几何中心不存在元素，其中心区域由4个元素构成。

空心方阵：中心区域有空缺，叫空心方阵。

如图4是一层的空心方阵，图5是二层的空心方阵。

3.方阵问题的基本概念

（1）方阵不管在哪一层，每边人的数量都相同，每向里面一层，每边的数就减少2。

（2）方阵每相邻两层之间的总人数都相差8。

4.解题思路

在解决方阵问题时，首先应该准确判断方阵的类型，要搞清方阵中的一些量（如层数、最外层人数、最里层人数、总人数）之间的关系。解题时要开动脑筋，运用相关公式，用多种方法来解题。

三、方阵问题考点精讲

（一）实心方阵

（1）方阵总人数=方阵最外层每边人数的平方

（2）方阵每层总人数=方阵每层每边人数×4-4

（3）方阵每层每边人数=（方阵每层总人数+4）÷4

（4）奇数型实心方阵的最外层每边人数=2×层数-1

偶数型实心方阵的最外层每边人数=2×层数

例题1：在一次阅兵式上，某军排成了30人一行的正方形方阵接受检阅。最外两层共有多少人？

A.900

B.224

C.300

D.216

【答案详解】根据题意可知，阅兵方阵为实心方阵。

最外层每边30人，则最外层总人数为30×4-4=116人；

根据相邻两层相差为8人可知，次外层总人数为116-8=108人；

最外两层共有116＋108=224人。

提示：（1）在方阵中若去掉一行一列，去掉的人数=原来每行人数×2-1；

（2）在方阵中若去掉二行二列，去掉的人数=原来每行人数×4-2×2。

（二）空心方阵

根据“相邻两层的人数相差为8”，即以方阵最外层人数为首项，依次向里，组成一个公差为-8 的等差数列，利用等差数列求和公式可得：

方阵总人数=层数×最外层总人数-（层数-1）×层数÷2×8=层数×最外层总人数-（层数-1）×层数×4

方阵总人数=层数×最内层总人数+（层数-1）×层数÷2×8=层数×最内层总人数+（层数-1）×层数×4

公式不需要直接记忆，只要记住每一层的人数能够组成一个公差为-8的等差数列就可以了。

例题2：有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有60人，中间一层共44人，则该方阵士兵的总人数是：

A．156人B．210人C．220人D．280人【答案详解】方法一，根据“相邻两层人数相差为8”，结合“外层人数共有60人，中间一层共44人”，可知这个方阵从外到内每层人数依次是60、52、44、36、28，所以该方阵士兵的总人数是60+52+44+36+28=220人。

方法二，最外层到中间一层相差（60-44）÷8=2层，即中间一层是第3层，一共有5层，则总人数是5×44=220人。

（三）方阵人数增减

例题3：体育课学生排成一个方阵，最外层的人数为60人，如要在方阵最外层增加一层，则增加后最外层每边有多少人？

A.15

B.16

C.18

D.20

【答案详解】增加前最外层人数为60人，则最外边每边人数为（60+4）÷4=16，增加一层后最外层每边人数为16+2=18人。

（四）方阵重排

例题4：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵最外层每边的人数为8。如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人？

A.200

B.236

C.260

D.288

【答案详解】空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数，若丙方阵为实心的，那么实心的丙方阵人数=2×甲方阵人数+乙方阵人数，即实心丙方阵比乙方阵多8×8×2=128人。丙方阵最外层每边比乙方阵多4人，则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4×4=16人，即多了16÷8=2层。这两层的人数即实心丙方阵比乙方阵多的128人，则丙方阵最外层人数为（128+8）÷2=68人，则丙方阵最外层每边人数为（68+4）÷4=18人。那么，共有18×18-8×8=260人。

（五）方阵问题与其他问题相结合

例题5：某部队战士排成了一个6行、8列的长方阵。现在要求各行从左至右１，２，１，２，１，２，１，２报数，再各列从前到后１，２，３，１，２，３报数。问在两次报数中，所报数字不同的战士有：

A.18个

B.24个

C.32个

D.36个

【答案详解】此题可画出直观图进行解答。当从左至右报1时，从前至后报2的有8人，报3的也有8人；当从左至右报2时，同理可得，从前至后报1的有8人，报3的也有8人，即所报数字不同的战士有32人。故选C。

四、核心要点

1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）

2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1

3．方阵外一层总人数比内一层总人数多2

4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1

牛吃草

一、考情分析

牛吃草问题虽然现在出现的频率没有那么高了，但是在近几年的国家公务员考试中还是偶有出现，因此大家仍然不可以忽略这种题型。牛吃草问题本身难度就很大，近期考查中又出现了多种变形，因此需要考生更加细致地去掌握这些知识。

二、题型概述

牛吃草问题跟鸡兔同笼问题一样，也是一个比较古老的问题，但它是由国外提出来的。17世纪，英国的科学家牛顿提出了这个牛吃草问题，这个牛顿，也就是那个被苹果砸到头然后发现万有引力的那位哥们儿，大家可以学习一下这位全能的人。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的总量随牛吃的天数不断地变化。

牛吃草问题存在两个不变量：草地最初的总草量和每天生长出来的草量。

标准的牛吃草问题为：

有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？三、常用方法

我们现在介绍三种方法来解决这道题。

（一）推导法

大家注意看好我的推导过程，这个方法很好用的，而且是最基础的方法，大家来跟着我一起推导看看。

设1头牛1天吃的草量为1，那么10头牛20天吃的草量为10×20=200，15头牛10天吃的草量为15×10=150。这下问题就来了，两种情况总草量居然相差了50份，这相差的50份草量是从哪里来的呢？原来啊，这草它是天天都在长的，这多出的50份草就是20-10=10天所长出来的，因此草地每天生长的草量为50÷10=5，最初的草量为150-5×10=100。25头牛1天吃25份草，我们可以把这25头牛分成两拨，一拨专门吃新长的草，也就是需要5头牛去吃，剩下的这20头牛，就让它们专心去吃原来的100份草，因此25头牛可以吃100÷20=5天。

由上面的推导过程，我们可以得出推导法的步骤：

①假设1头牛1天吃的草量为1，根据不同头数的牛所吃草的天数不同，计算出草地每

天长草的量；

②计算草地原有的草量；

③计算所求的牛吃草的天数。

（二）公式法

根据上面的推导过程，我们可以得出以下几个公式：

其中（2）为核心公式。

我们来把题目中的数据代入上述式子：

草地每天新长的草量= 102015101020--x x =5

原有的草量=（10-5）×20=100

牛吃草的天数= 5

25100-=5。 记住公式以后是不是很简单？

四、题型精讲

（一）标准牛吃草问题

这种题型刚刚讲过了，大家可以拿这道题再练练笔。

例题1：有一个牧场，每天都生长相同数量的草，若放50头牛，则9天吃完牧场的草；若放40头牛，则12天吃完。问若放30头牛，则多少天吃完？

A ．15

B ．18

C ．20

D ．24

【答案详解】设每头牛每天吃的草量为1，则每天长的草量为（40×12-50×9）÷（12-9）=10，最初的草量为（50-10）×9=360。若放30头牛，则360÷（30-10）=18天吃完。

（二）草量持续减少的牛吃草问题

一般情况下草每天都会长的，但是也有草每天都枯萎的情况。比如下面这道题：

例题2：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不增长，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

A ．4

B ．5

C ．6

D ．8

【答案详解】此题的主要特点是每天草量没有增加，反而减少，即每天的长草量为负值，可直接根据标准问题的解法来解答。

假设每头牛每天所吃的草量为1，则每天的长草量为（15×6-20×5）÷（6-5）=-10，

故牧场原有的草量为[20-（-10）]×5=150。

故可以供150÷10-10=5头牛吃10天。

事实上，对于这种情况，我们只需要把草地每天新长的草量看成负数就可以了。（三）多种动物吃草问题

有时候题目给定的吃草动物不止一种，比如出现了牛和羊一起吃草的情况，这时候又该怎么办呢？

例题3：牧场有一片青草，每天生长速度相同。现在这片牧场可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天的吃草量等于４只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊—起吃可以吃多少天？

Ａ.７Ｂ.８Ｃ.１２Ｄ.１５【答案详解】题干中存在两种动物，计算时很不方便，根据“一头牛一天吃草量等于４只羊一天的吃草量”，将所有动物转化为牛，从而将原问题转化为标准问题：“牧场有一片青草，每天生成速度相同。现在这片牧场可供16头牛吃20天，或者供20头牛吃12天，那么25头牛一起吃可以吃多少天？”

设每头牛每天的吃草量为1，则每天的长草量为（16×20-20×12）÷（20-12）=10，原有的草量为（16-10）×20=120，故可供25头牛吃120÷（25-10）=8天。

对于此类问题，一般都会给出两种动物吃草量的关系，我们可以通过这类关系，将两种动物或者多种动物都转化成一种动物，从而继续按照标准型的解法来解决问题。

（四）多种草地问题

如果牛不在同一片草地上吃草，我们又该怎么解决问题呢？

例题4：有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块草地可供多少头牛吃80天？

A．42 B．60 C．54 D．72 【答案详解】草地的面积不同，因此每天的长草量和最初的草量都不一样。为了方便计算，应该把草地单位化，计算每一亩草地牛吃草的情况。可将原问题化为标准问题：

“一亩草地可以供10÷5=2头牛吃30天，（28÷15）头牛吃45天，那么可以供多少头牛吃80天？”

设每头牛每天吃的草量为1，则一亩草地每天的长草量为（28÷15×45-10÷5×30）÷（45-30）=1.6，一亩草地最初的草量为（2-1.6）×30=12，因此可以供12÷80+1.6=1.75头牛吃80天。24亩草地可以供1.75×24=42头牛吃80天。

可以看出，只需要把不同面积的草地转化为相同面积即可。

（五）草地吃不完问题

如果要求牧草永远吃不完，那么能放牧多少头牛？我们来看看这类题目。

例题5：有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，21头牛8天可以将草吃完，要使牧草永远吃不完，至多可以放牧多少头牛？

A．8 B．10 C．12 D．14 【答案详解】要使牧草永远吃不完，那么牛最多只能吃完每天所长的草量。

设每头牛每天吃的草量为1，则每天新长的草量为（21×8-24×6）÷（8-6）=12，可最多供12头牛吃1天，因此要使牧草永远吃不完，至多可放牧12头牛。

其实这类题目最简单，只需要求出草地每天的长草量就可以了。

（六）牛吃草问题变形

这一类问题看着没有牛也没有草，但它们实际上还是牛吃草问题。

例题6：一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12万人20年的用水量。在

该市新迁入3万人之后，该水库只够维持15年的用水量。市政府号召节约用水，希望能将水库的使用寿命提高到30年。那么，该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标？

A ．52

B ．72

C ．31

D ．4

1 【答案详解】这是一道不同背景的“牛吃草”问题。年降水量相当于“每天新长的草量”，人数相当于“牛的头数”，水库最初的水量相当于“最初的草量”。

假设每万人每年所用的水量为1，迁入3万人以后该市有15万人，则每年的降水量为（12×20-15×15）÷（20-15）=3，故水库最初的水量为（12-3）×20=180。

要使寿命提高到30年，则每年的用水量为180÷30+3=9，需要节约（15-9）÷15=52。 大家注意找到潜在的“牛”和“草地”就ok 了。

五、核心要点

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

这类问题的基本数量关系是：

1．（牛的头数×吃草较多的天数－牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃的较少的天数）=草地每天新长草的量。

2．牛的头数×吃草天数－每天新长量×吃草天数=草地原有的草。