2018年考研数学二真题及答案解析
2018全国研究生入学考试考研数学二试题
本试卷满分150，考试时间180分钟
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.若1)(lim 2
1
2
=++→x bx ax e x
x ，则（）
（A ）1
,21-==
b a （B ）1,21
--==b a （C ）1,21==b a （D ）1
,2
1
-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是
（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）x
x f cos )(=（D ）x
x f cos
)(=3.设函数???≥-=010,1)(x x x f ，＜，??
?
??≥--≤-=0
,01,1
-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，
则
（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1
,3-==b a （D ）2
,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且
?
=1
0)(dx x f ，则
（A ）0)(＜x f '时，0
)21(＜f （B ）0)(＜x f ''时，0
)21(＜f （C ）0)(＞x f '时，0
)2
1
(＜f （D ）0)(＞x f ''时，0
)2
1
(＜f 5.设dx x x M ?-++=2222
1)1(π
π
，dx e x
N x ?-+=221ππ，dx x K ?-
+=22
)cos 1(ππ，则 （A ）K
N M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）N
M K ＞＞（D ）M
N K ＞＞6.
=
-+-??
?
?
----dy xy dx dy xy dx x x
x x
1
20
1
22
2
)1()1(
（A ）
35（B ）
65（C ）
3
7（D ）
6
77.下列矩阵中，与矩阵???
?? ??100110011相似的为
（A ）?????
??1001101-11
（B ）?????
??1001101-01
（C ）????
? ??1000101-11
（D ）????
? ??1000101-01
8.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)
() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{}
)(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)
() (T
T
B A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.
]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++∞
→=
。
10.曲线x x ln 2y 2
+=在其拐点处的切线方程是 。
11.
dx x x ?
+∞
+-5
2
3
41
= 。
12.曲线?????==t
y t
x 3
3
sin cos ，在4t π=对应点处的曲率为。
13.设函数),(z y x z =由方程xy e
z z =+-1
ln 确定，则
|)
21,2(z
x ??= 。
14.设A 为3阶矩阵，321ααα，，为线性无关的向量组，若
3233223211-22αααααααααα+=+=++=A A A ，，，则A 的实特征值
为
。
三、解答题：15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）求不定积分dx
e x x 1arctan
e 2-?
.
16.（本题满分10分）已知连续函数)(x f 满足2
)()(ax dt
t x tf dt t f x
x
=-+
??
（1）求)(x f .
（2）若)(x f 在区间[]1,0上的平均值为1，求a 的值.17.（本题满分10分）设平面区域D 由曲线()π2t 0c o s s i n ≤≤?
?
?-=-=t l y t
t x 与x 轴围成，计算二重积分
??+D
dxdy x )y 2(.
18.（本题满分10分）已知常数12ln k -≥，证明：0)1ln 2ln )(1-(2
≥-+-x k x x x . 19.（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值. 20.（本题满分11分）已知曲线)1,0()0,0()0(9
4y 2
A O x x L ，点，点：≥=
.设P 是L 上的动点，S 是直线OA 与直线AP 及曲线L 所围图形的面积，若P 运动到点（3,4）时沿χ轴正向的速度是4，求此时S 关于时间t 的变化率. 21.（本题满分11分）设数列{}n χ满足：01>x ，......)2,1(1e 1
n =-=+n e x n n x x ，
证明{}n x 收敛，并求n n lim x ∞
→. 22.（本小题11分）
设实二次型2
312
322
321321)()()(),,(x x x x x x x x x x f α+++++-=，其中α为是参数。（1）求0),,(321=x x x f 的解。 （2）求),,(321x x x f 的规范形。23.（本题满分11分）
已知a 是常数，且??????????-=a a A 7203121可经初等列变化为矩阵????
?
?????-=11111021a B 。 (1)求a ；
(2)求满足AP=B 的可逆矩阵P.
2018考研数学二参考答案
一、选择题
1.B
2.D
3.D
4. D
5.C
6.C
7.A
8.A
二、填空题
9.1
10.3
4-=x y 11.
2ln 21 12.3
213.
4
1
14.2 三、 解答题
15.解：
x
x x x de e dx e e 221arctan 211arctan -=-?
?
C e e e e C e e e e e d e e e e de e e e e dx e e e e dx e e e e e e x
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x +-----?=+???
? ??-+---?=--+---?=
-+---?=---?=-+-?--?=????12
1)1(611arctan 2112)1(32411arctan 21)1(1
1
1411arctan 21111411arctan 211
411arctan 21)1(112211arctan 2123
223
2222222
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2
0000
2
00
122000
'22200x x
x t u
x
x
x x
x x
x
dx dx x x f t dt tf x t dt ax tf x t dt
x u f u du
f t dt x f u du uf u du ax x f x f u du xf x xf x ax
f x f u du ax x f x f x f x a
f x e ae dx C e ae C f -=--+-=-=
-∴+-=++-=∴+===+=??????∴=+=+??????
=??????????对两边对求导有：，当时，两边再对求导有：()()()()()()()()()1
001
1
101
1
22221212122212=1
102
x
x C a
f x a ae x f x f u du ax f f t dt a f a ae f t dt ae f t dt ae
e a ---- ∴=-∴=-=+=+==-∴=
=∴-∴=
????当时，由得由又，
()()()
()()()()()()()()()()()()()()()()()20
22
00
22
22
0223
0222
3
00
22340022|sin 1cos 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin 4sin 1cos 2
4si y x D
y x x y dxdy dx x y dy
xy y dx xy x y x dx
t t t t t dt
t t t t dt
t t t dt t dt
t t t dt t dt t π
π
ππ
ππ
π
π
π+=+=+=+??=--+--????=--+-??=--+-=-+-=???
?
?
?????
?
?()22244600024560004626200
2
4
62
20
0n 4sin 2sin cos 8sin 2222216sin 16sin sin 16sin 22116sin 16sin |16sin 2628
16sin 0032sin 3
31163422t t t t t dt dt dt t t t tdt d tdt t tdt tdt
tdt tdt
πππππππ
π
π
πππ
π
πππ--+??
=-+ ???
=?
-?+=--+=+??????????25312
642235πππ
=+
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2220,1ln 2ln 12ln 2'100,11010
1ln 2ln 101ln 2ln 122ln '22ln 22'11,2,'0
2,,'02222l x f x x x k x x k
f x x x
f x f x f x x x x k x x f x x x k x k x x
f x x
g x k x x x g x x x
x g x x g x g x g k ∈=-+-=-+>∴∴<=-<∴--+-≥≥=-+-+-==+--=-
=∈<∈+∞>∴≥=+-①当时，令在上单调递增成立②当时，令再令当时当时()()()()()()()()2n 2ln 210'0,
1,1010
1ln 2ln 10k g x f x f x f x f x x x x k x ≥-∴≥∴≥∴+∞∴≥=-≥∴--+-≥在上单调递增此时成立综上，结论得证。
19解：
设圆的周长为x ，正三角周长为y ，正方形的周长为z ，由题设2=++z y x ，则目标函数：
163634)4()3(232122
22222z y x z y x S ++=+?+=πππ）（，故拉格朗日函数为
)2(16
3634,,,2
22-+++++=z y x z y x z y x L λπλ）（则：
02=+=
λπ
x
L x 036
32=+=
λy
L y 016
2=+=
λz
L z 0
2=-++=z y x L λ解得4
331
,4338,433364332++-=
++=++=++=
πλπππππz y x ，. 此时面积和有最小值4
331
++=
πS .
20.
02
020002
023
00
00200000041
49,,1
9414129(1)922712293,4
12410
2x x P x x AP y x x x S x x dx x x x dS dS dx dx x dt dx dt dt
dx x dt -??∴=+ ???-=+-=+??==+ ???==??
∴=+?= ???
?令点为直线为上式21.
证明：设则有,0,1)(>--=x x e x f x
11,0)(,01)('>->>-=x
e x
f e x f x x
因此，
从而;0,11
-21
12
>>=x x e e x x 猜想现用数学归纳法证明；
,01>x
成立；
时，,011>=x n 假设
;
0,111,0,......)2,1(11
>>-=+=>==++k e
x x k x x e e
k n x k k n k k 所以时有
则时，有因此有下界,0>n x .
又;1ln ln 1ln 1n
n n
n x n x x n x n n e
x e e x e x x -=--=-+设
.
0)('0,
1)(<-=--=>--=x x x x x x xe xe e e x g x xe e x g 时，22解：(1)由得0),,(321=x x x f ???
??=+=+=+-,
0,0,
031
32321ax x x x x x x 系数矩阵
,20011
020
101101111???
?
? ??-→????? ??-=∨a a A ;0,3)(2321====≠x x x A r a
方程组有唯一解：时， .
,112,2)(2R k k x A r a ∈???
?
?
??--===方程组有无穷解：时，(2)这是一个可逆变换，时，令???
??+=+=+-=≠,
,
,
2313
3223211ax x y x x y x x x y a 因此其规范形为;
2
32
22
1y y y ++.
,
2
)(3)23(262622)2()(),,(22
22123223223
1322
322212
312321321y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f a +++--=+-++=+++-==此时规范形为时，因此其规范形为;
2
32
22
1y y y ++
23解：
（1）A 与B 等价，则r(A)=r(B),
又2
,
023
1011
2
1
1
11110
21
00
93031217203
1211313==-=++-==--=a a a a r r a B a r r a
a A 所以(2)AP=B ，即解矩阵方程AX=B:
323213213213213232132132112121
246-46-36-0;
12121246-46-36-0000001112104436011112721100312212
21),(k k k k k k k k k k k k k k P k k P P k k k k k k k k k P r B A ≠???
?
? ??---+++=≠≠???
?? ??---+++=??
?
?? ??----????? ??--=为任意常数，且，，，其中最终，
，即可逆，所以又得