张量分析总结

一、知识总结

1 张量概念

1.1 指标记法

哑标和自由指标的定义及性质

自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。

性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。

哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。

性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。

例：

33323213123232221211

313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1)

式(1.1)可简单的表示为下式：

i j ij B x A =

(1.2)

其中：i 为自由指标，j 为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。 1.2 Kronecker 符号

定义ij δ为：

?≠==j

i j

i ij ,0,1δ

(1.3)

ij δ的矩阵形式为：

?????=100010001ij δ (1.4)

可知3ij ij ii jj δδδδ===。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：

ij jk ik

ij jk kl il

δδδδδδδ==

(1.5)

ij δ的作用：更换指标、选择求和。

1.3 Ricci 符号

为了运算的方便，定义Ricci 符号或称置换符号：

??-=其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1k j i k j i l ijk

(1.6)

图1.1 i,j,k 排列图

ijk l 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。Ricci 符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。

1.4 坐标转换

图1.2 坐标转换

如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。有''i j i j ij e e e e δ==

'i e 在i e 下进行分解：''11'22'33'i i i i i j j e e e e e ββββ=++=

j e 在'i e 下进行分解：'''

'1'12'2

3'3'j j j j i j i e e e e e ββββ=++= 其中，''''cos(,)i j i j i j j i e e e e e e β==?=? 为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P 在新老坐标系矢径：

??'

+='?='?'='0r r r e x r e x r j j i i (1.7)

其中'

0r 为上图中坐标原点的位移矢量。

将'r 向新坐标轴上投影的矢量的分量：

''''''''

''''''''0000()()()()i k k i k ki i i k k i j j i k ki j i j i j i j

r e x e e x x r r e x e e x e e x x x x δδββ?=?==+?=?+?=+=+即

由此得新坐标用老坐标表示的公式：

ij j i i x x x β+'='0)(

(1.8)

类似地，将i 向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：

''0()j j i ij x x x β=+ (1.9)

特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时'

0()0i x =，

上两式的矩阵形式为：

{}[]{}

{}[]{}[]{}

x x x x x βββ-===

(1.10)

由上可知，[][][]T

I ββ= ，[]β是正交矩阵，则'1i j β=。综合以上可知：

''''''''''''

''''

i j l k lk i l j k i l j k i k j k i k j k i j i j i j e e e e e e ββββδββββδδ??=?==?

?=??=??

(1.11)

同理，可推出：''ij k i k j ββδ=

将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，''

()i i j x x x =；将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，'

()j j i x x x =

i i

j j x dx dx x ?=?，其中'i j x x ??为常数，称'

i j

x J x ?=?为雅克比行列式。若J 处处不为

0，则说明存在相应的逆变化，即：'''

i i j j i x x x x β??=

=?? 1.5 张量的分量坐标转换规律 1.5.1 一阶张量

一阶张量在新老坐标系中的分解为：

j j i i e a e a a =''=

(1.12)

其中：

i j i j e e '='β (1.13)

则：

i j i j i i e a e a a '=''='β (1.14)

得到：

j i j i a a '='β (1.15)

同理：

j j i i e e '='β (1.16)

得：

i j i j a a '='β

(1.17)

矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。 1.5.2 二阶张量

定义j i e e 为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式：

???'=='''i j i j

j i i e e e e ββ (1.18)

可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：

???''==''''''j i n j m i n

m n

m n j m i j i e e e e e e e e ββββ (1.19)

又：

j j i i j j i i e b e a e b e a ab ''''==

(1.20)

记：

j i ij b a B =，j i ij

b a B ''=' (1.21)

则：

j i ij

j i ij e e B e e B ab '''== (1.22)

该式表示 a 与 b 并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：

j i ij

j i ij e e B e e B B '''== (1.23)

将式(1.13)代入上式可得：

???'='='''''ij n j m i mn

mn n j m i ij

B B B B ββββ (1.24)

此分量转换可进一步推广到高阶张量。

张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。

2 张量的代数运算

2.1 张量的加减

假如A 、B 为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差），记为)(B A B A -+，例如：

ij ij B A B A ±=±

(2.1)

显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。 2.2 标量与张量的积

张量A ，标量λ，若A B λ=，则：

ij ij A B λ=

(2.2)

2.3 张量的并积

两个同维不同阶（同阶）张量A 、B 的并积C 是一个阶数为A 、B 阶数之和的高阶张量。 k j i ijk e e e A A =

(2.3) m l lm e e B B = (2.4)

m l k j i ijklm e e e e e C B A C ==

(2.5)

式(1.10)中：

lm ijk ijklm B A C =

(2.6)

2.4 张量的缩并

若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。

ijk i j k ijk ik j iji j j j A A e e e A e A e B e δ====，有iji j A B =。取不同基矢量点积，缩并结果

不同。