初三数学中考系列之材料阅读专题

初三数学中考系列之材料阅读专题

类型之一 考查掌握新知识能力的阅读理解题

命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查解题者自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力。

1.让我们轻松一下，做一个数字游戏：

第一步：取一个自然数n 1=5 ，计算n 12+1得a 1； 第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2； 第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，再计算n 32＋1得a 3； …………

依此类推，则a 2010=____________．

2.用“?”与“?”表示一种法则：（a ?b ）= -b ，（a ?b ）= -a ，如（2?3）= -3，

则()()2010201120092008???= ．

3.符号“

a b

c d

”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：

a b ad bc c d

=-，请你根据上述

规定求出下列等式中x 的值．

2

1

11111

x

x =--

补充题目

1 阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()12

1

+=n n n ，其中ｎ是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…()1+n n ＝？

观察下面三个特殊的等式：

()2103213

1

21??-??=

? ()3214323132??-??=?

()4325433

1

43??-??=

? 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝205433

1=???

读完这段材料，请你思考后回答：

⑴ =?++?+?1011003221Λ ；

⑵ ()()=++++??+??21432321n n n Λ ；

⑶ ()()=++++??+??21432321n n n Λ （只需写出结果，不必写中间的过程）

2 已知p 2-p -1=0,1-q -q 2

=0,且pq ≠1，求1pq q

+的值.

解：由p 2-p -1=0及1-q -q 2

=0,可知p ≠0,q ≠0 又∵pq ≠1,∴1

p q ≠ ∴1-q-q 2

=0

可变形为2

1110q q ????

--= ? ?????

的特征

所以p 与1

q 是方程x 2

- x -1=0的两个不相等的实数根则111,1pq p q

q

++=∴=

根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答. 已知：2m 2

-5m -1=0,215

20n n +-=,且m ≠n 求：11m

n

+的值.

类型之二 模仿型阅读理解题 4.阅读材料，解答下列问题．

例：当0a >时，如6a =则66a ==，故此时a 的绝对值是它本身 当0a =时，0a =，故此时a 的绝对值是零

当0a <时，如6a =-则66(6)a =-==--，故此时a 的绝对值是它的相反数

∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即

0000a a a a a a >??==??-

当当当

这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想．

问：（1

）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式 （2

）猜想a 的大小关系．

5.阅读理解：若m q p 、、为整数，且三次方程023=+++m qx px x 有整数解c ，则将c 代入方

程得：023=+++m qc pc c ,移项得：qc pc c m ---=2

3，即有：()q pc c c m ---?=2，

由于m c q pc c 及与---2都是整数，所以c 是m 的因数．

上述过程说明：整数系数方程023=+++m qx px x 的整数解只可能是m 的因数．

例如：方程023423=-++x x x 中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程

023423=-++x x x 进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．

解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程07523=+++x x x 的整数解只可能是哪几个整数？

（2）方程034223=+--x x x 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由

类型之三 操作型阅读理解题

操作型阅读理解题通常先提供图形变化的方法步骤．

7.阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2()a b -≥0， ∴2a ab b -+≥0，∴a b +≥2ab ，只有当a ＝b 时，等号成立．

结论：在a b +≥2ab （a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a+b ≥2p ，只有当a ＝

b 时，a+b 有最小值2p ． 根据上述内容，回答下列问题： 若m ＞0，只有当m ＝ 时，1

m m

+

有最小值 ． 思考验证：如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意一点（与点A 、B 不重合），过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝a ，DB ＝b ．

试根据图形验证a b +≥2ab ，并指出等号成立时的条件．

探索应用：如图2，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P 为双曲线x

y 12

=

（x ＞0）上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．

类型之四 找规律问题

初三数学中考系列之材料阅读专题答案

1.【解析】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律。由题目得，a 1=26；

n 2=8，a 2=65；n 3=11，a 3=122；看不出什么规律，那就继续：n 4=5，a 4=26；…；这样就发现规律：每三个为

一个循环，÷3=669……1；即a = a 1=26。答案为26。 【答案】26

2.【解析】本题是信息的使用,对给出的信息准确的分析,模仿使用即可.箭头所指数的相反数.注意运算顺序. ()()2010201120092008???=（-2011）?（-）=2011 【答案】2011

3.【解析】按照题目给出的转化方法将行列式转化为方程, 在解分式方程的时候要注意检验. 【答案】解：

21

11111

x

x =-- 整理得：2×

11-x －x -11＝1 12-x +1

1

-x ＝1 解之得：x=4 4.【解析】本题考查了二次根式的性质及数学的分类思想，可以模仿例题，当0a >时，令a=9,

9=，当0a =时，令a=0,

0=，当0a <时，如9a =-

9=，很容易得出答案。 【答案】（1）写出类似例的文字描述

0000a a a a a >??==??-

当当当

（2

a =

5.【答案】解：（1）由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1、－1、7、－7这四个数。（2）该方程有整数解。方程的整数解只可能是3的因数，即1、－1、3、－3，将它们分别代入方程034223=+--x x x 进行验证得：x=3是该方程的整数解。

6.【解析】这一类型题目关键是看懂题目,按照题目的要求去做即可. 【答案】模型拓展一：（1）1+5=6；（2）1+5×9=46；（3）1+5（n －1） 模型拓展二：（1）1＋m ；（2）1+m (n －1)

问题解决：（1）在不透明口袋中放入18种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各40个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？ （2）1+18×(10－1) =163

7.【解析】本题是一道阅读理解的问题，把不等式、反比例函数、面积等知识结合起来，考查了学生的阅

读理解、知识迁移和综合运用的能力。

【答案】解：阅读理解：m= 1 ，最小值为 2 ； 思考验证：∵AB 是的直径，

∴AC⊥BC,又∵CD⊥AB,∴∠CAD=∠BCD=90°-∠B, ∴Rt△CAD∽Rt△BCD, CD 2

=AD·DB, ab 若点D 与O 不重合，连OC ，在Rt△OCD 中，∵OC>CD, ∴2a b ab +

若点D 与O 重合时，OC=CD,∴,2

a b

ab + 综上所述，

,22

a b

ab a b ab ++≥即，当CD 等于半径时，等号成立. 探索应用：设12(,)P x x , 则12

(,0),(0,)C x D x ,

12

3,4CA x DB x

∴=+=+，

1112

(3)(4)22ABCD S CA DB x x

∴=?=+?+四边形，

化简得：9

2()12,S x x

=++ 999

0,026x x x x x x >>∴+≥?Q ，

只有当9

,3x x x

==即时，等号成立．

∴S≥2×6＋12＝24， ∴S 四边形ABCD 有最小值24.

此时，P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5,∴四边形ABCD 是菱形．