2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

D C B

X Y C N M

A B O D C B A

2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2016年6月5日上午8:3011:00--

一、填空题（每小题7分，共56分）

1、若()22016log 65y x ax =-+的值域为R +，那么a 的取值范围是 ．

2、四面体ABCD 中，ABC ?是一个正三角形，2AD BD ==，AD BD ⊥， AD CD ⊥，则D 到面ABC 的距离为 ．

3、若对于所有的正数,x y x y a x y ≤+，则实数a 的最小值是 ．

4、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记,APC BPD αβ∠=∠=，则22tan tan αβ+= ．

5、等差数列2,5,8,,2015和4,9,14,,2014的公共项（具有相同数值的项）的个数是 ．

6、设x 为锐角，则函数sin sin 2y x x =的最大值是 ．

7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33?方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是

8、把从1到n (1)n >这n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n 的最小值是 ．

二、解答题（共64分） 9、（14分）如图，CD 是椭圆22221x y a b +=的一条直径， 过椭圆长轴的左顶点A 作CD 的平行线，交椭圆于 另一点N ，交椭圆短轴所在直线于M ， 证明：AM AN CO CD ?=?．

10、

（15分）如图，D 是ABC ?的旁心，点A 关于直线DC 的对称点为E ．证明： (1)、,,B C E 三点共线；(2)、,,,A B D E 四点共圆．

11、（15分）设,,x y z 为正数，满足：1xy yz zx ++=，证明：22()()()(1)(1)(xyz x y y z x z x y +++≥--21-z )

12、（20分）设集合{}1,2,,2016A =，

对于A 的任一个1008元子集X ，若存在,x y X ∈，满足,x y x y <，则称X 为“好集”，求最大的正整数a ，（a A ∈），使得任一个含a 的1008元子集

为“好集”． 1.答案：1616a -<<．

解：由值域y R +∈，2651x ax ∴-+>，2

640x ax ?-+> 24640a ∴?=-?<，∴1616a -<<.

2.答案：233．解：如图，据题意得，2222AB AD BD =+= 于是22BC CA AB ===222CD AC AD =-=，

因222BC BD CD =+，得BD CD ⊥，从而以D

O

X Y P A B D C 98

765432

1为顶点的三面角是三直三面角， 四面体体积1433BCD V AD S ?=

?=，而2323ABC S AB ?== 若设D 到面ABC 的距离为h ，则1233ABC V h S ?=?=，2343

=，得到23h = 3.2． 解：由221y x x y x y +=++2y x x y x y ≤++ 当x =时取等号． 4.答案：8．

解：如图建立直角坐标系，设圆方程为222x y r +=，

则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)A r r B r r C r r D r r ----，

若点P 的坐标为(cos ,sin )P r r θθ，于是直线,,,PA PB PC PD 的斜率分别为

1sin 1sin ,1cos 1cos PA PB k k θθθθ++==-+-，1sin 1sin ,1cos 1cos PC PD k k θθθθ

--==--+， 所以222tan 4(cos sin )1PC PA PA PC k k k k αθθ??-==- ?+??

，

222tan 4(cos sin )1PD PB PB PD k k k k βθθ??-==+ ?+??

，由此立得22tan tan 8αβ+=． 解2：取特例，P 在坐标轴上，则αβ=，

这时，2tan cot 2tan 1

αγβ====，2222tan tan 228αβ∴+=+= 5.答案：134． 解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016和等差数列

5,10,15,,2015的公共项个数；

前者是{}1,2,3,,2016M =中的全体能被3整除的数，

后者是M 中的全体能被5整除的数，故公共项是M 中的全体能被15整除的数，这种数有201613415??=????

个． 6.答案：439

． 解：由22sin cos y x x =，得2422224sin cos 2(1cos )(1cos )2cos y x x x x x ==--? 33222(1cos )(1cos )2cos 216223327x x x ??-+-+??≤=?= ? ?????， 所以39y ≤．当21cos 3x =时取得等号． 7.如右图

8.答案：15．

例如，排出的一个数列为

(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．

解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作． 记这n 个连续正整数的集合为{}1,2,,M n =，由于1n >，

则M 中必有2，而279+=，所以7n ≥，当7n =时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：

(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即10n ≥，而之前的数若和8,9,10邻接，只有819,9716,+=+=10616+=，这三段扩充为

(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15，则15n ≥，而当{}1,2,

,15M =时，可排出上面

的情形： (8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．

9.证1：椭圆方程为cos ,sin x a y b θθ==，

点,A N 的坐标为(,0),(cos ,sin )A a N a b θθ-，则直线AN 方程为

cos sin x a t y t θθ=-+??=?

， ……3' 代入椭圆方程得到222222(cos sin )2cos 0b a t ab t θθθ+-=，

222222cos cos sin ab AN t b a θθθ==+，()cos 2

a AM πθθ=≠，……6' 因此22

22222cos sin a b AM AN b a θθ

?=+，……9' 又据AN ∥CD ，则点,C D 坐标为：(cos ,sin )C OD OD θθ--，

(cos ,sin )D OD OD θθ，……12'

因为,C D 在椭圆上，则22

2

2222cos sin a b CO b a θθ

=+，而，222222222cos sin a b CO CD CO b a θθ?==+，因此AM AN CO CD ?=?．……14' 证2：

易知CD 的斜率k 存在，不妨令:CD y kx =，和椭圆方程联系， 解得222

222222222C D b a k b a k b a k b a k ?

??? ++++?、 ……3' ()()222222222222141k a b

k a b CO CD b a k b a k

++∴==++()22222221k a b CO CD b a k +∴?=+…6'

AN 方程为： ),0,y k x a M ka =+∴.

将AN 方程和椭圆方程联立，得()

222232222220b a k x a k x k a a b +++-= 32232

222222

2,A N N a k ab a k x x x b a k b a k -∴+=-∴=++ ……9' 2

22222,1N kab y AM k b a k

=∴=++ ……12' ()2

23222422

2222222421ab a k k a b ab k AN a b a k b a k ??-+=++= ?+??+， 22222221a b k AM AN CO CD b a k

+∴?==?+ …14'

10.证：1、延长DC 到M ，延长AC 到N ,连CE ，D 为旁心，CD ∴平分BCN ∠…2' 又A E 、关于DC 对称，CM ∴平分ACE ∠DCN ACM ∴∠=∠,BCD MCE ?∠=∠ BCN ACE ∴∠=∠,B ∴、C 、E 三点共线。……5'

2、过C 作//CI AE 交AD 于I ，则IC DC ⊥ ……7'

I ∴为ABC 内心。连BI ,则BI 平分ABC ∠,……10'

∴90IBD ?∠=,B ∴、D 、C 、I 四点共圆，……12'

CBD CID EAD ∴∠=∠=∠,

A ∴、

B 、D 、E 四点共圆。……15'

11.证：据条件，即要证 22(1)(1)(x y ≥--2xyz(x+y+z-xyz)1-z ) ①

也即22222222)()y z x y y z x z ≥+++++2xyz(x+y+z)1-(x ② ……3'

将此式各项齐次化，因为22222221()2()xy yz xz x y y z x z xyz x y z =++=+++++ 6'

222222()()x y z x y z xy yz xz ++=++++=

333()()()()x y z y x z z x y xyz x y z ++++++++代入②，

只要证()xyz x y z ++≥

2222223332()()()()()x y y z x z x y z y x z z x y xyz x y z ++-++++++++即

333222222()()()2()0x y z y x z z x y x y y z x z +++++-++≥……12'

也即222()()()0xy x y yz y z xz x z -+-+-≥。

此为显然，故命题得证．…15'

证2：由题设得： ()()()1,1,1y x z zx x y z yz z x y xy +=-+=-+=-，

三式相乘，故原不等式等价于证明：

()()()()()()222111111zx yz xy x y z ---≥---……3'

上式两边展开并化简得：

()222x y z xy yz zx ++-++≥()222222222x y y z z x x yz xy z xyz ++-++ ……6' 配方得：()()()()()()222222

x y y z z x xy xz yz xy yz zx -+-+-≥-+-+- ()()()222

222x y z y z x z x y =-+-+- ……9'

即()()()()()()2222221110z x y x y z y z x --+--+--≥()*……12'

2220,,1,10,10,10,x y z x y z <<∴->->->()∴*显然成立. ……15'

12.解：因任何正整数n 可以表为2n t α

=形式，其中N α∈，t 为正奇数，于是集合A 可划分为以下1008个子集： {}2(21),,12016j A m m j N m αα==-∈≤≤，1,2,,1008j =……4'

对于集合A 的任一个1008元子集X ，只要集X 中含有某一个j A 中的至少两个元素,,()x y x y <，因122(21),2(21)k k x j y j =-=-，12k k <，则x y ；此时X 为好集； 以下证明正整数a 的最大值为671： ……8'

若671a =时，对于A 的任一个1008元子集X ，如果X 中含有某个j A 中的至少两个元素，则X 便是好集；如果{}

j A 中的1008个集合，每个集合中恰有一个元素在X 中，那么1007A 也有一个元素在X 中，但{}10072013A =为单元素集，于是2013X ∈，而2013a ，(201367133)a =?=，这说明X 仍是好集，因此671a =合于要求． ……12' 下面说明当672a ≥时，存在含a 的集X 不是好集；分两种情况：

(1)、若1009a ≥，取1008元集{}01009,1010,,2016X =，则0a X ∈，

因0X 中任两个不同元素x y <，均有x y ，故0X 不为好集，这种a 不合要求．……15'

(2)、若6721008a ≤≤，记{}16720,1,,336X j j =+=，

{}20\2(672)0,1,,336X X j j =+=，令12X X X =，则1008X =，且1a X ∈， 若X 中存在,x y x y <，因672x ≥，2016y ≤，则3y x ≤；

若672x =，如果,x y x y <，只有2y x =或者3y x =，此时y 的取值只能是：

26721344y =?=，或者36722016y =?=；13442(6720),20162(672336)=+=+，

这说明，这两个数已被挖去，不在集合X 中； ……18'

若672x >，假若x y ，只有2y x =，这种数y 也已悉数被挖去，即y X ?，因此X 不是好集，这种a 也不合要求．

综上所述，a 的最大值为671． ……20'