高中数学竞赛资料收集
目录
书目34及时间安排 (1)
1．必读书目 (1)
2．时间安排 (2)
柳智宇我在数学竞赛学习中的一些经验 (3)
杨默涵数学竞赛经验 (7)
数学教师暑假阅读参考书目 (10)
教练感言 (13)
熊斌教授 (13)
选手历程 (16)
何斯迈第33 届IMO金牌 (16)
罗炜第32/33 届IMO金牌 (16)
王烜第44届IMO金牌 (16)
方家聪第44届IMO金牌 (16)
张敏第51届IMO金牌 (18)
肖伊康第51届IMO金牌 (19)
赖力第51届IMO金牌 (19)
I
书目34及时间安排
1．必读书目
开始阶段（专题）：20
*《几何变换与几何证题》（萧政纲）
《近代欧氏几何学》（R.A.Johnson）单墫译通俗数学名著译丛
《平面几何中的小花》（单墫）
*《组合几何》（单墫）
*《几何不等式》（单墫的同名著作，早先的一本是八十年代上海教育出版社所出的，在九十年代初他又译了荷兰几何学家O.Bottema的一本书，这是一本字典式的书，是专门收集几何不等式方面的内容，其中证明的内容并不多；美国新数学丛书，几何不等式，N.D.卡扎里诺夫）
*《柯西不等式与排序不等式》（南山）
*《函数方程》
*《怎样证明三角恒等式》朱尧辰
*《抽屉原则与涂色问题》（周士潘等）
*《覆盖》（单墫）
*《集合及其子集》（单墫）
《趣味的图论问题》（单墫）
*《数学竞赛中的图论方法》
*《初等数论》（三册）陈景润
《数论妙趣》（通俗数学名著译丛）
*《基础数论典型题解300例》（王元等）
*《计数》
*《组合数学理论与题解》
《组合计数方法及其应用》
《组合分析的原理方法技巧》
复习阶段（综合，针对思想方法）：6
*《从特殊性看问题》（苏淳）
《组合恒等式》（史济怀）
《解析几何的技巧》（单墫）
*《算两次》（单墫）
*《构造法解题》（余红兵严镇军）
*《漫话数学归纳法》（苏淳）
上面那些书（基本都是数学家写的）应该要学完（特别是打*的）。虽然有点多，但这些书实在太好了，把很多问题都讲得很透彻。
然后，该看些竞赛书了，当然，这个时候看起来会很轻松的。1
1
《第一届数学奥林匹克国家集训队资料》是一本很好的资料。
再推荐一些非常有用的课外读物：7
《通俗数学名著译丛数学游戏与欣赏》（鲍尔）
《通俗数学名著译丛数学娱乐问题》（J·A·H·亨特J·S·玛达其）
《通俗数学名著译丛圆锥曲线的几何性质》（科克肖特沃尔特斯）
《圆与球》（W·伯拉须凯）
《棋盘上的组合数学》（冯跃峰）
《几何》（笛卡尔）
《几何的有名定理》（矢野健太郎）
对于竞赛教练，我认为以上所有的书都应该熟读，这样一个直接的好处就是了解题目的背景。当然，数学水平也会上升一个档次。
2．时间安排
要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础很重要，1试占了150分，不可小视。然后就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略了。这时候，对老师就要求很高了。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。
对于参加竞赛的，也提出了极高的要求，要在短时间内学完这么多书。如果时间安排得好的话，看完了这些书（或者已经基本看完了），联赛也马上就开始了，这时是高二开学后1个月左右（有些省设了初赛，可能还要早些）。即使考得不理想，我想拿个二等问题不大，不必灰心，更不必太悲观，因为还有高三一次机会，还有足足一年的时间精心准备，等到一年之后，收获之时到矣。
2
柳智宇我在数学竞赛学习中的一些经验
第一,只是个人想法,还很不成熟.
第二,某些说法也许不好理解,但所谓学习方法本来就是只能大致说说的.我希望对数学有自己的思考的同学看了这些文字之后能受到一些启发.
数学竞赛经验谈
柳智宇(华中师大一附中，第47届国际数学奥赛金牌)
一、几何
1.平面几何
①基本欧氏几何知识结构
基本的辅助线，点，圆，相似形的应用
推荐：《奥数教程-初三》各地中考题及模拟题
②对几何结构的把握，对称性，各种近代欧氏几何框架，几何变换。
推荐：《近代欧氏几何学》，建议使用软件几何画板并参与与之相关的网上讨论。缺少一本习题集，可使用《几何变换》及叶中豪的习题。《数学竞赛中的平面几何问题》(一本俄罗斯的书,此书组合几何部分也很好)中几何变换及反演射影几何。
【《中学数学奥林匹克平面几何问题及其解答》(俄)波拉索洛夫着_周春荔等译；2009年《俄罗斯平面几何问题集》第6版】
2.解析几何
①基本知识：已知与未知的互化，元的设置，设计计算路线。
②每一步计算的几何意义，计算中的对称性，代数结构。
以下基本观点：
几何中关系到达一定的复杂度后，代数的使用是自然而且必须的。不应一味地强调使用解析法盲目运算（解析法能解决问题，但不能很好地揭示问题的内部结构），也不应一味地强调使用纯平几。这两者都易忽略问题的实质，一切以自然为上。
我们熟知的几何计算方法大体有：
①欧氏几何公理中直接使用未知量计算
②解析法
③复数法
④向量法
⑤利用定理AC⊥BD AB2＋CD2＝AD2＋BC2
⑥三角法
但实际上每道题都有自己的结构，也有一套独特的最简洁的代数表示，它是一题一法。以上六种方法的使用也是因题而异，使用的过程中有诸多技巧，绝不可盲目计算。
推荐：《解析几何的方法与技巧》《圆锥曲线的几何性质》《三角与几何》【解析几何的技巧，单墫，数学奥林匹克辅导丛书；《数学奥林匹克小丛书高中卷三角与几何》田廷彦；:（苏）别列尔基娜（А.Н.Переп
елкина），《几何与三角》；】
3
3.立体几何
推荐：《数学竞赛研究教程》中立体几何部分
《奥数教程》系列中向量部分。
《几何不等式》
二、代数
基本观点：元的理解和使用（代数变形），注意对称。
1.多项式：理解“不定元”
三个基本视角：系数，根，值
推荐：《奥数教程》高三【单墫】
2.函数方程：注意函数的定义；一种二元关系。
方法：逐层递推，巧妙代元。
0，1，零点，不动点，单射，满射，单调，奇偶……
推荐：《题典.代数卷》
【《世界数学奥林匹克解题大辞典－代数卷》】
3.不等式：另见笔记
较易的不等式可以组合成较复杂的不等式。
推荐：《小丛书》两本，《湖南.代数卷》
【《初等数学小丛书系列几何不等式》单墫；《初等数学小丛书系列柯西不等式与排序不等式》南山；《奥赛经典.代数卷》湖南师大出版社】
三、数论
注意整个理论体系，数论的体系性很强，同时基本理论中也包括了最基本的思想方法。任何一道数论题也都有相应的一串问题及明显的背景。但掌握体系必须符合人正常的思维规律。体系是从大量事实中抽象出来的，应先让学习者纯凭直觉做一些数论题，在适当的时候引导他自己发现更基本的规律，或给他点明不必强行追求“返璞归真”高级的理论自然是有用才会提出，如果它能揭示问题的本质就可大胆使用，而且应该使用。
不定方程是竞赛的重点，注意代数变形在数论中的应用。
推荐：《初等数论》《数论讲义》
【《初等数论》陈景润；《数论讲义》，柯召】
四、组合
组合无体系，是纯直觉的。
推荐：《华南师大附中习题集》，环球城市竞赛题，俄罗斯赛题，《组合卷》（题典，湖南）
【环球城市数学竞赛(International Mathematics Tournament of the Towns)；莫斯科数学竞赛；《奥赛经典.组合》湖南师大出版社】
书目评论：
4
《华南师大附中习题集》：经典，特别是组合部分，题题经典，将灵巧流畅的解题及思维方式发挥到极致。
《叶军教程》：研究性很强,适合由老师认真研读后讲解。
《数学竞赛研究教程》：风格独特，有思想性，在时间充裕的情况下建议全书阅读。
《走向IMO》：好题不少，但难度太大，可用于少数选手在专题训练时配合使用。
数学竞赛经验
1.对几个基本概念的诠释
●本质:”本质”并不是什么高深神秘之物,我们说一种说法是本质的,其实只
是说这种说法最为简单,能揭示更多的相关问题,更具有启发性等等.我们
初做题时,看到证明过程中的方法技巧觉得很巧妙就有兴趣,但做到一定
程度之后,就不会满足于简单地做出题来,而要追求最简单和最新颖的思
维方式,以及将各种不同的题目分类,统一.这实际上就是对本质的追求.
●结构:一个结论单独存在没有意义,如果它能解决某一类问题,就显得有意
义.如果有许多结论互相关联,或是许多事物互相影响协同变化,特别是当
我们可以感觉到其中有某种我们还不知道的内在联系时,我们就会对它产
生兴趣.所谓结构就是指这一类而言.比如群的结构,图的结构,或是数论中
各定理组成的逻辑结构,或是几何中点线圆相似形组成的几何结构.结构
中往往有某种对称性.对结构的领悟可以培养深层的数学直觉.
●思维:人的思维的基本方式是归纳,即从自己的生活,以前的经历中获取经
验,提出规律.比如数的概念最初就是人类在日常生活中提炼出来的.比如
我们初学电学的时候,可能对“电压”, “电流”等概念完全无法理解,更
不能应用自如,但学了一段时间之后,做了不少习题,就自然而然地对这些
概念有了理解,能够应用,甚至能够提出一些更深刻的问题或是概念.我们
学习数学时,见过的技巧也不能保证立刻就会应用,而是必先经历一段对
技巧的内部结构的把握和理解的过程.也许要将一个技巧重复见上多次,
也许要接触更深刻的东西才能理解这个技巧.所以,做过的题不会做很正
常,因为对这个题还没有真正理解.
●关注思维:学习一个概念或是一种技巧,都需按人正常的思维方式进行,最
好是让它由学习者在学习了一些相关内容之后自己提炼出来,也可以在学
习者遇到困难纠缠不清时有教师点破迷雾.比如数论的理论体系和组合的
直觉就可以长期少量地进行培养,先让学习者自己做一些题目,他也许不
十分了解数论中的各种定理,但凭借直觉他就可以自己解决一部分问题.
控制题目的难度和知识点,可以引导学习者自己把那些基本定理悟出来.
等时机成熟的时候再引导学习者将所有的经验总结归纳,补充不足,形成
完整的知识结构.也可以按正常的课本授课,讲述一些基本知识,让学习者
用它们解决问题,但需给他们时间,慢慢悟出其中奥妙.
●思维模式:学习者在接触了一些问题之后,不但会形成应对某种特殊问题
的特殊方法,而且会形成一种可以用来应对新问题的普遍措施,即思维模
式.要解决一个问题,解法往往很多,每一种解法都包含了许多不同步骤,从
任何一个步骤入手都有办法得到整个解法.通常的思维模式有:
◆归纳:从具体事例中得到启发,如先考虑特殊情况.
5
◆划归:把问题的解决转化为它的具有本质特性的一部分的解决.
◆猜想:为解决问题,先猜想出一些可能的中间步骤或结论.这往往需要
较强的数学直觉。
◆等价变换:把问题换一种语言叙述,从不同的角度不同的背景看问题.
如反证法是从反面看问题,同一法是交换问题的条件和结论.再如一
个不减的整数列An无上界也就等价于有无限多个n使A(n+1)>An.
有时可以重组问题的条件和结论，分析定与动的关系。比如几何变
换及不等式中的调整。
初学者以自己知道的方法技巧来套题目，没有思维模式可言；高手的竞
争往往是思维模式的竞争；对于数学直觉更强的学习者，也许可以超越
思维模式的限制，任凭直觉自由发展，但这已远远超越数学竞赛的范畴。
数学竞赛的培训的目的是培养面对更多新问题的思维模式。每种思维模
式都有自身的限制，需要学习者不断突破，海纳百川。
2.解题的原则：追求本质，自然为上，把题目当朋友。
3.综合数学能力的培养
1)过程训练：写过程以自然的反应思维为上，关键处要注明，详简看
情况而定。要把写过程当作整理思维的方法，尝试用最朴素最有启
发性的语言来叙述。写过程之前先要逐步推敲每一步思维，直到自
己觉得每一步都非如此不可。同一题的过程可写多遍，如此训练，
对思维大有好处。
2)计算训练：计算能力和心态有很大关系，需要心平气和，把握节奏。
不要把计算当做一件很枯燥的工作，要观察发现计算结果的对称性。
有时题目的内在规律就隐藏在其中。计算就向跑步，虽不象打球那
样有趣，但欣赏周围的风景，感觉到自己的呼吸，也会觉得欣喜。
3)心态训练：心态本说有就有说无就无，考场上的心态大体是长时间
人生状态的反映，所以平时就要快乐起来。心中有了问题就要认真
思考进行回答，但不可以把自己囚禁在那一种状态之中。人对世界
的理解是归纳的过程，其中常有错误，许多问题本来是不存在的，
甚至许多概念也都是归纳中的错误。当人沉浸在一种状态之中的时
候，往往会戴上有色眼镜，看不到世界的丰富多彩，但只要一走出
来立刻会发现曾经的想法是多么荒唐。要多接触各方面的思想，特
别是文学和哲学著作，完善自己的人格，要做题，先作人。做题的
最好状态是自由联想，自然而然，在考场上要把最灵活的思维调出
来。在遇到难题没有思路时，下面的方法也许有用：列出已有的所
有想法并回顾每种想法，如果有一点新思维的火花就马上抓住，进
行下去。
-----------------------------------==========================------------------------ 环球城市数学竞赛(International Mathematics Tournament of the Towns)
6
杨默涵数学竞赛经验
在数学竞赛方面我一直很失败，虽然花了很多精力，但是结果并不理想。在这里，我只是将自己学习数学的一些经验和感触写出来，供其他学习数学的新手参考。
数学竞赛的体系数学竞赛的知识主要是4个方面——代数，几何，数论和组合。虽然这四个方面在内容上相差很大，但是在实际应用中是互相联系的，毕竟纯粹的某一方面的题目要么就是太简单，要么就是太难，故而这两种题目出现的几率都不大。
·代数
代数的基础是计算，需要有扎实的算功和细密的思维，这个可以通过做一定数量的函数、数列和复数的题目练习。当有了比较好的代数功底后，在处理各种繁难的问题时也会感到游刃有余。参考《华南师大附中习题集》代数部分
函数在基础部分函数主要起铺垫作用，这部分的题目一般不难，主要就是基本的代数变形和讨论。入门竞赛书上的这部分内容都差不多，参考《奥数教程》高一分册。函数部分的难点是函数方程和高斯函数。
●函数方程这个部分的题目在大赛中经常出现，Cauchy方法是解决此类问
题最一般也是最为重要的方法，同时要注意考察0点，不动点和特殊值，并注意常用的代换。在函数方程的学习过程中可以适当参考微分方程的
解法，对于一些很难看出原函数的题目往往可以先假定函数可微，利用
微分方程求出原函数，再根据原函数的特点给出初等方法的证明。【牛人】参考《函数方程》，《题典·代数卷》
●高斯函数重要的数论函数，在数论中用处很多，数量掌握其变形技巧
对于简化解题过程有很大的帮助。同时注意，在处理高斯函数的时候的
代换技巧。参考《奥林匹克数学研究教程》中高斯函数部分，2005年国
家队选拔赛试题
数列数列是高中学习的一个重点部分，它的题目可以和代数中任何部分联系起来，因而备受命题者青睐。这部分的学习需要熟练掌握各种常见数列的通项求法和不动点的相关理论，注意计算能力的培养。参考《奥数教程》高一分册，《奥林匹克数学研究教程》中数列部分
复数复数部分主要是注意数形结合，习惯复数问题几何化，代数问题几何化的思想。注意经典题目的思想，这部分的题目涉及到数学中很多重要的方法，简单题目要仔细研究。参考《奥林匹克数学研究教程》中复数部分
不等式不等式是数学竞赛中必考题型，而且每次出现新题能够解出的人都寥寥无几。此部分的题目方法很多，代数技巧非常强，但是大部分都只是A-G不等式和Cauchy不等式的变形使用。因而在解题的时候思维一定要清晰，不要陷入式子的海洋而迷失了方向，千万不要胡乱套用高等不等式。当然，对于Jensen不等式等高等数学中的不等式也必须了解。在解题的时候要充分利用取等号的条件寻求解题的线索，书写时也要主要写出取等号的条件。参考《奥林匹克数学研究教程》中不等式部分，《题典·代数卷》，历届大赛题目
多项式多项式是数学竞赛中思想方法偏向于高等数学的一个部分，解题时主要考察一个式子的两种表示形式即并且注意特殊值的考察。注意到这里的7
一般是复数，故而会涉及到复数的处理技巧，特别是Chebyshev多项式。同时熟练掌握Lagrange和Newton两个插值公式。参考《奥林匹克数学研究教程》中多项式部分，《题典·代数卷》，《数学奥赛丛书》中不等式和科西不等式两册，历届大赛题目
·几何
高中部分的几何包括平面几何，解析几何和立体几何。一般来说后两种只会在一试中出现，而且难度不大，主要考察基本知识点的掌握和计算的熟练程度；而平面几何则是竞赛必考题型之一，考察选手对于图形的把握和思维的活跃程度。
平面几何基础知识在每一本竞赛书中都会提到，要熟练掌握Menelaus定理，Ceva定理，Simson定理，Euler定理和Ptolemy定理。对于几何中的常见结论要非常熟悉，并且熟悉各种几何变换，包括平移，旋转，位似，配极和反演。这部分的知识点不多，主要就是选手对于图形结构的把握。在处理题目的时候要注意灵活选取多种方法，不要以为追求纯平几证明，适当引入三角，解析几何，向量和复数对于证明题目是相当有益的。参考《近代欧氏几何学》，《湖南·几何卷》，《华南师大附中习题集》几何部分
几何不等式这个部分题目难度很大，比常规平几题目难与下手，参加高层次竞赛的选手需要加强训练。参考《几何不等式》
解析几何这部分的题目一般都会涉及到大量的计算，重点就是对于计算能力的训练。在刚开始的时候不要追求最简做法，只要保证计算正确性就可以。
在达到了一定的水品后，对于做法的简洁性的思考会自然显现，要注意思维的自然性和方法的对称性。参考《奥数教程》高二分册，《解析几何的技巧》单尊著
立体几何这部分是对空间想象能力的训练，一般题目都很简单，故而即使空间想象能力不强的人也可以通过解析几何求解大部分的题目。注意作图的美观和计算的准确性。参考《奥数教程》高一分册，《奥林匹克数学研究教程》中立体几何部分
·数论
数论是竞赛中非常优美的部分，其中涉及到初等数论中很多古典的技巧。通过这部分的学习，可以掌握定义一个新的体系的过程和方法，故而一定要注意这部分内容是一个体系，是密不可分的。学习数论一定要仔细研读《初等数论》，部分讲述不详细的可以参考华罗庚教授的《数论导引》，熟练掌握基本的思想和方法，很多难题都是以很简单的题目的方法编制而成。参考《初等数论》，《数论导引》，《华南师大附中习题集》数论部分，《题典·数论卷》
经典不定方程这个部分是经典部分，基本的技巧就是不停地取模，因式分解和代数变形，题目一般不会很难，只要注意特殊情况就行了。
Pell方程这个部分是近几年命题的热点，它的多种形式的通解公式和推导都需要掌握。掌握这部分知识需要学习Legendre符号，Gauss二次互反律，Jacobi 符号，连分数，无理数的有理逼近等知识。
指数和原根这个部分在竞赛中虽然不会明确被提出，但是很多思想其实就是使用的这部分知识，因此熟练掌握非常有益。
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·组合
这个部分是真正的大杂烩，在前面提到的三个方面的知识在这里都会得到应用，同时它还有自己的一些方法。每道题都会有不同的方法，因而思维需要高度的发散。一般来说，除了经典类型的题目可以用一些万能方法求解外，剩下的题目求解完全是一种数学直觉的体现，需要大量的训练和不断的总结，修正自己思维在解题时的偏差。参考《题典·组合卷》，《华南师大附中习题集》组合部分，《奥林匹克数学研究教程》组合部分
数学竞赛选手的培养数学竞赛是非常枯燥的，如果没有兴趣，那么搞数学竞赛纯粹是浪费时间。因而，对于一个竞赛选手来说首要的是对数学的兴趣。
接下来是自信，在刚开始学习的时候会遇到很多困难，哪怕是等你的水平已经比较高的时候你又会进入一个很长的高原期，这些时候自信是你继续学习的动力，是你突破障碍的利器。对于要参加大赛的选手来说，如果缺乏自信，往往在考场上显得底气不足，解题时会出现焦躁等不良情绪，严重影响发挥，因此自信更是他们取等成功的必要条件。
在拥有良好的心态之后才是学习习惯的培养。首先是要有长期和短期的计划，并不断对照计划敦促自己完成计划。学习的时候要踏实，对于基本问题一定要搞清楚，不能因为不好意思而隐藏问题。对于繁琐的计算和书写一定要认真完成，这样在考场上才不会因为紧张而增加失分。
当水平到达一个新的高度时，要开始经常作总结，比如把最近做的比较好的题目和解答某一类问题的方法写下来。这样经过一段时间就会有一套自己整理的学习资料，在大考前复习这些资料效果最好。平时也要常常翻阅自己的总结，把每个问题吃透。
还要有意识的去关注最新的资料，在一些数学爱好者的网站上有最新的竞赛试题，比如Mathlinks（http://www.mathlinks.ro/Forum/portal.php）。
对于层次较高的选手，思维模式的培养非常重要，要训练自己的第一感觉，尽量使自己能够一看到题目就知道题目的入手方向，这样即使做不出来还是会有一些过程分的。当然这个不是说说就可以做到的，需要相当长时间的训练和极高的数学天赋。
我的失败之处我们这一届种子选手一共三个——我，叶之林和柳智宇。三个人中，叶之林凭借联赛一等奖保送至浙江大学，柳智宇则进入了国家队，获得了IMO满分金牌，而我参加了高考进入上海交通大学。三个人平时在一起学习，水平相差不大，但是结果却相去甚远。在准备高考的日子里，我常常思考这个问题，希望对高考有所帮助。虽然一直说是心态问题，但我一直不觉得是这样。及至参加过高考，我才明白原来真的是这样。我花了两年半的时间搞竞赛，等到发现自己拿了4个二等奖的时候才不得不回班准备高考。6个月的时间补完高中的全部课程或许真的很恐怖，但我还是做到了，并且还考到了上海交通大学，而其他很多平时考试都比我高、准备高考时间比我长的人却比我考的低，这是为什么？因为这个时候我的目标只是华中科技大学，我相信自己一定能够做到，充满了自信使我在学习和考试时没有任何的包袱，高考中也得以正常发挥，而其他的人或许背着太重的负担去考试吧……想想自己联赛的时候，考前真的想得太多太多，以至于缺乏了自信，虽然感觉不错，其实心态很差，故而考试一再失误。希望以后的竞赛选手能够吸取这个教训，以最好的心态迎接每一次竞赛，取得最好的成绩！
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数学教师暑假阅读参考书目
六、数学竞赛
6.1叶军，数学奥林匹克教程，湘师大，98
[书中许多问题是作者的研究成果，由此入径，必登堂奥。三次共印2万余册。本书有76万字。知识性的难题常可从本书中查到]
6.2单墫熊斌总主编，奥数教程（高中三册），华东师大，00
[三册共计95万字，少量题目系高考难度，也可为教学所借鉴]
6.3黄宣国，数学奥林匹克大集·1994，沪教，97
[欲攻数学奥林匹克难题者，可看本书，本书有79万字]
1994年全国数学冬令营1000多页的资料，包括集训队的12次测试与解答，专题讲座精选等。
6.4罗增儒，数学竞赛导论，陕师大，00
[其中有关国内数学竞赛的史料为它书所不备]
6.5常庚哲，初中数学竞赛妙题巧解，沪科技,87
6.6苏淳，从特殊性看问题，中科大，01
[系科大教授们写的"数学奥林匹克辅导丛书"之一，另有：组合恒等式，解析几何的技巧，算两次，构造法解题，漫谈数学归纳法]
6.7裘宗沪主编，历届全国高中数学联赛试题详解，开明社，99年修订版
6.8希望杯全国数学邀请赛试题、培训题及解答，气象社
[该赛1994年至今已有十二届，书分高中、初中，有多册]
6.9刘裔宏等译，普特南数学竞赛（1938~1980），湘科技，83
[虽系大学生数学竞赛，但其中一些内容已渗透到中学数学竞赛中]
6.10中国科协青少年部，角逐学科奥林匹克，中国少年儿童，98
[系获奖学生和教练写的体会文章]
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安徽培训
1.先搞完《数学竞赛研究教程》，然后一块一块加强：不等式,数论,组合.,几何..
2.组合,如果你有时间,看看Tomescu的《组合学引论》，不过这书有点难，需
要一点大学数学的知识才行.
3.平几肯定是《近代欧氏几何学》了. 不过看书有一点,就是要先做后看.包括
定理公式当然了,题目更加是；其实美国新数学丛书也是很好的一套书. 特别是《几何变换》；
4.数论的话,你先看冯克勤的《整数与多项式》，这个应该很快可以看好.然后
10
潘承洞那本《初等数论》，这本书指出了竞赛重点的章节，而且后面选出了历届IMO的数论题。如果有时间,建议看一本简单的大学数学专业的高等代数和抽象代数书，这样对数论会有帮助。当然只有其它准备的差不多了才能考虑这个。
四五月份的时候可以注意一下安徽省数学会的网页，夏天科大一般有竞赛培训班，一般那几位原来的国家队教练都会去的，像苏淳老师,单墫老师。
https://www.360docs.net/doc/fa4341310.html,/ahmath/elemath.htm
-----------------------------------==========================------------------------网络TIPS柳静云—
现在高一下，数学必修和选修都读完了。有参加竞赛辅导班。
高中竞赛的教材买什么好？可以自学的。（学竞赛老师指导以外，我觉得最重要还是靠自己学习吧，不然那么多人一起去听，这么就没都得奖呀。）
关于定理的问题，平面几何和代数里面涉及的定理比较多一些。我分开列举：1.平几：湖南师大出版社《奥赛经典。几何卷》，里面介绍了所有常用的定理，和大量例题，习题。哈尔滨工业大学出版社《平面几何证明方法全书》（沈文选著）提供了更多的定理和结论，看看很有好处。
2.代数：湖南师大出版社《数学奥林匹克高级教程》（叶军著）。这是几乎最好的代数书，里面的定理，结论很全。作为补充的话可以看湖南师大出版社《奥赛经典。代数卷》。
3.组合：这一块需要的定理其实不是很多。湖南师大出版社《奥赛经典。组合卷》（张垚教授著）是非常好的一本组合书，包含很全面的定理，结论和问题。我不认为在定理的全面性上还需要看其他的组合书。
4.数论：余红兵老师的《数学竞赛中的数论问题》是极好的入门书，由浅入深，很讲究思想。定理，结论什么的也和全。然后可以看数学竞赛命题人讲座里面的一本数论书（一位姓冯的老师写的），那本更难一些。如果你对自己要求较高，或者对数论有特殊兴趣，推荐《初等数论》（潘承栋，潘承彪教授著），这本书学3/4可以秒杀90%的老师。
//数学竞赛中的数论问题/数学奥林匹克小丛书(高中卷)
至于看什么参考书，上面已经推荐了不少，下面在介绍一些：
1.一试： 5.3.对就是5.3，一试高分神器。浙大出版社《数学竞赛培优教程（一试）》（李胜宏教授），这两本书刷完一试就差不多了。当然还要做一些模拟题。
2.二试：
1）几何。《三角与几何》（田廷彦）很难很难，不用全看，看前四章就很好了。看懂后功力大进。《几何变换》（肖振刚教授）很好的书，位似变换，凡演变换变换讲的非常好，可以先看这两部分。
//三角与几何(高中卷8)数学奥林匹克小丛书/田廷彦/华东师范大学出版社，找不到电子版
2）代数如果你能做完我前面推荐的书你就已经很厉害了。关于一些专题，
1】不等式：数学竞赛命题人讲座系列《代数不等式》（陈计教授）一本专著，关于舒尔分拆和更强的米尔黑德都有介绍。有两本蓝皮书也不错，可以看看。
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2】多项式：余红兵老师写过一本关于多项式的书，我记不住名字，但是非常好，可以去找一下。叶军老师的书（我前面提过）在这一块讲的也很好。
3】组合恒等式：史济怀教授《组很恒等式》。
3）组合：冯越峰老师《组合极值。论证与构造》，余红兵老师《组合几何》4）数论：可以看湖南师大出版社《奥赛经典。代数卷》作为补充。
说明：
1）如果你水平足够高就去看单遵教授的《数学竞赛研究教程》，极其经典，在冷岗松教授的建议下我当年做了两遍，收益颇多。
2）可以买《走向IMO》刷里面的国家队级别的题，但是建议由较好基础在开始做。
3）天津师范大学主办的《中等数学》是非常好的刊物，建议订购。我当年看了4年的。
4）数学竞赛命题人讲座是一套很好的书，我参加竞赛那会只处了几本。现在出的应该很多了，建议关注一下，强烈建议！
5）多关注一下外国竞赛题，中国的出题水平不是最高的，俄罗斯，美国，越南的数学竞赛题很有参考价值。
6）多做模拟题，李伟固教授曾经对我说过要做完80套模拟题。其实还不够，我们当时做了120套题。当然，真题也很重要的。
以上就是我的一些经验了。学习数学竞赛没有捷径，只有多练，多想，多体会，多尝试才能有进步。
我曾经是省第3名，现在在国外读理论数学，希望我的建议对你有用，祝你竞赛成功！
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《数学奥林匹克命题人讲座》是上海科教出版社最新出版的一套丛书，还没有全部出齐。我认为是最好的丛书了。作者中有名的有单樽，熊斌，冯志刚，还有平时出书不多的陈计，叶中豪。叶的书还没出，（叫《重心坐标与平面几何》，用重心坐标解平几题很少见，《俄罗斯平面几何问题集》中倒有这么一章）陈的不等式很有水平。还有陆洪文，施咸亮是老一辈的数学大师，在数学竞赛上也许不专业，但数学素养高。其它作者(如田廷彦，刘培杰，唐立华也很厉害）。这是一套能与上世纪上海教育出版社的中学生文库比肩的丛书。题目难，原创性强，极好。
《奥赛经典》是湖南师大出的，同学中使用率高。叶军的《高级教程》出的早，最具特色，代数部分很好。新出的《几何》，《代数》，《数论》，《组合》是湖南当地最强的沈文选，冷钢松，张垚写的，《组合》最好，是张垚写的。《真题分析》不好，别买。
《高中数学竞赛专题讲座》，浙大出的奥数书太多太杂，感觉在骗钱，我都没读过。
《数学奥林匹克小丛书》是指华东师大的蓝皮丛书吗？出的较早，都很好，中规中矩，硬要说缺点就是有点简单。
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教练感言
熊斌教授
攀登数学之巅感受非常之美
——记国际数学奥林匹克竞赛中国代表队领队熊斌教授2010年07月24日《解放日报》第6版，记者徐瑞哲
每年7月，100多个国家和地区的数百名选手，都会到一个国家参赛，争夺40多枚金牌以及团体冠军。比赛不靠身体，只靠脑子；不做运动，只做卷子；不凭项目，只凭数字——这就是数学的奥运会。
本届第51届国际数学奥林匹克竞赛刚刚在哈萨克斯坦落幕。由6名高中生组成的中国国家代表队，不仅人手一块金牌，还以197分的总成绩，领先俄、美两国近30分，获团体总分第一。他们的领队，是带教国家集训队20多年的华东师范大学数学系教授熊斌。他几乎见证了中国队迄今15次夺冠，见证了孩子们对数学的真爱与追求，也见证了关于“奥数”的成败是非。
学生：以难为乐不事功利
2010年7月初，熊斌就飞到了哈国的阿拉木图市（mathoe注：应为阿斯塔纳市），与其他各国数学家一起参与投票，从今年的约200道奥赛试题中选定6题，作为正式试题。比赛日为两天，所有学生每天只解3题，时长为4个半小时。题面都很简洁，但每道题的解答少则用两三页纸、多则十几页纸，草稿纸更是无限量供应。考场布置很像高考，只不过桌子上备有点心和巧克力。显然，在如此高强度的脑力活动中，孩子们会饿。
数学是客观公正的，领队老师与阅卷专家组一起批卷子，熊斌往往为求证一道题而验算两三小时，以判定学生解题过程的合理性。他们把各选手的成绩从高到低排序，只有进入前1/12行列的40多个孩子才能拿到金牌，最终中国6人6金，俄罗斯4金，美国3金。熊斌平和地说，国际数学奥林匹克已举办51届，中国人1986年才正式组队参赛，至今已获113枚金牌，平均每届获4～7枚金牌，居各国之首。这届赛事，只有一个学生解出全部6题得到满分，他就是上海中学学生聂子佩。
1988年，熊斌25岁时便进入数学奥赛国家集训队当教练，国内外各级各类数学竞赛工作基本都参与过。一位中国乒坛名宿曾对熊斌说，拿到3个世界冠军并不难，比这更难的是他拿过3个全国冠军，而最最难的是他还拿过国家队队内比赛的3个冠军。熊斌很理解他的感受，“每年各省份几十万学生参加高中数学联赛，其中200人进入全国数学奥赛，再决出30多人进入国家集训队，最终通过两周8次考试，才选出6个队员，可谓‘十万挑一’。”
事实上，有机会入选国家队的孩子早已获得保送一流名校的资格，他们在比赛中乐此不疲，做着“思维的体操”，全然只求战胜难题的快感，这就与“更快、更高、更强”的奥林匹克精神相通。在本届奥赛的一道几何难题中，中国队6人用了6种不同方法解出正确答案，极富挑战性和创造性。
熊斌理解他们的性情和志趣，他甚至不得不劝孩子稍微“功利”一点。这届国家队中有个唐山一中的孩子，解题常有跳跃式思维，在卷面表达上喜欢“跳步
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骤”。熊斌为了他专程去唐山，拿着前几年奥赛卷面让他学习，谁知孩子说：“我做得出来不就行了，我又不是要拿给别人看，那样太功利了吧？”对孩子的那份“纯动机”，熊斌只能这样开导：“就算不是比赛，将来你写科研论文，也得步步推理论证，获得学术承认。”孩子总算听了进去，这次赛出了前十名的好成绩。
自己：角色互换薪火相传
这帮孩子常令熊斌见到几十年前自己的影子。他不会忘记，在暑假大热天里，家中电风扇也不舍得开，十多岁的他趴在桌上做算术，两三个小时下来终于解出一道难题，“真是比多吃几块肉还高兴”。
熊斌的父母既非教师，也非学者。他的小学在“文革”中度过，差不多整天在玩。因身材较高，篮球不错，小学毕业时被选进市级少年队，但母亲还是让他走读书的路。1978年，我国数学竞赛恢复，没想到小熊斌在竞赛中展露出天赋。他所在的储能中学发现了这个“三好学生”，树起了典型，结果熊斌初中只读了两年，高中只读了一年，就升入华东师范大学数学系。
想当年，这个小神童备受华东师大数学竞赛教练的指教提携，而他如今的工作正是一种“角色互换”。作为华东师大国际数学奥林匹克研究中心主任，熊教授坦言，他目前接触的奥赛孩子已远远胜过当年的自己，甚至超越了教练的水平。他还是喜欢用乒乓球来比方：上海中学的乒乓队是少年组的世界冠军，但无论如何他们也打不过成年队；但这些参加数学奥赛的孩子却“打”得过大学生，甚至研究生。“他们的数学知识触及大学，而数学能力不亚于博士。”
熊斌翻开一本厚厚的《国际数学奥林匹克研究》，在中国选手参加奥赛的历年成绩表上，他的手指停留在上世纪80年代末，他刚刚带教国家队时教过的高中生，如今已是各大高校的数学教授；接着，90年代中期的一批奥赛金牌学生，也已在美国等地成名，有人已经获得著名的克莱数学奖，有人常回国回母校做学术交流。近年来，大部分奥赛国家队成员，都在麻省理工、斯坦福等世界名校深造，并集中于数学本行，或相关的计算机科学。
青出于蓝而胜于蓝。这些学生凭借数学天赋，加以系统训练，并接触学科前沿，“在不远的将来，就是数学界的顶梁柱”。熊斌认为，中国数学在上世纪二三十年代最接近国际顶尖水平，此后几代中国人都在努力追赶、互为支撑，再次接近甚至齐平的机会就将靠这些奥赛学生去创造。而数学，又是一切自然科学的万能语言、创新之源。
在熊斌看来，假如把参加各级各类数学奥赛作为加分择校的途径，这目标太低。因为奥赛要寻找和培养的人，不是靠数学保送的考生，而是靠数学立世的大家。
儿子：因材施教因势利导
放暑假了，熊斌往往挺忙。他常受邀去本地、外地中学培训师生，而他始终坚持一个观点：奥数只适合学有余力、有数学特长的学生，这种学生一般仅占5%，因此一窝蜂搞奥数实在没必要、也不可行。他直言不讳，又拿乒乓球来比方：几乎每个中国人都多少会打打乒乓，我也喜欢打乒乓，但让我练乒乓，就算练得不睡觉，也练不出个冠军。
熊斌甚至已把自己儿子排除在5%之外。尽管熊斌爱人是学中文的，但儿子还是继承了老爸的数学基因。不过，熊斌从来没有对儿子“先入为主”，而是一直观察他是否真的具备学习奥数的特质，是不是那块料。儿子小时候，熊斌爱跟
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他下象棋，或者更简单的飞行棋，反正只要能动脑筋就行。他认为，有人3岁开始就教孩子两位数、甚至三位数加法，死记硬背其实毫无意义，因为孩子到了六七岁自然而然会使用加法。后来，熊斌给儿子看一些稍稍超前于课堂的数学书，作为课外提高之用。在初中时，儿子开始参加全国数学竞赛，大约达到全市前十几名的水平。
然而，熊斌慢慢发现，儿子并不像自己那样“坐得住”。他外向合群，爱交际，似乎不太可能花个一天半日，来研究纯数学问题。既然儿子身上没有数学家的“基本功”，就得尊重他自己的兴趣和志愿。眼下，小熊正在清华大学经管学院读大一。
数学非常美，奥数本无罪。学奥数的本意是用来激发孩子对数学学科的兴趣，而现今不少“被奥数”的孩子反而因此失去了数学兴趣，甚至憎恶学习。作为研究数学奥林匹克教育的学者，熊斌很不愿看到奥数被异化为“小升初”的敲门砖。其实小学阶段孩子关于数学的天赋并不明显，不顾他们兴趣和能力的强弱，盲目加入“奥数热”，不仅可能偏废了真正的特长，甚至可能过早葬送一个天才，这总是很让熊斌痛心。而真正适合奥数的人，都会觉得奥数好玩。正像熊斌和他的奥赛孩子们，在攀登数学之巅的长途中，享受着头脑风暴。
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选手历程
何斯迈第33 届IMO金牌
我(小学)那时主要超前学习了一些初中的数学课程，做了大量的题目（包括许多逻辑判断题和趣味智力题）。在这一段时间，我解题的基本技巧与思维方式都打下了比较扎实的基础。当然，每天学习两到三个小时的数学也消耗了我许多精力。进入高中后，我在胡佩佩老师指导下阅读了大量的资料，尤其是《第一届集训队资料》一类系统性较强的书籍。
罗炜第32/33 届IMO金牌
在上小学的时候，有一个同班同学，他也喜欢小制作一类的东西，我们经常在一起玩。有一天，我在他家看见一本书——《趣味数学三百题》，刚刚翻了几页，就被吸引住了。这本书中大多数是一些智力题，可是都是通过巧妙的数学计算得出结果的。从这本书中，我第一次体会到了数学的广泛的适用性，以及它的严格性、完美性。我当即要求借这本书回去看，那个同学居然爽快地答应了，不过我从书的崭新程度看，他确实没有读过这本书。说好一周后还给他，可是到了时间，我还没有看完，出于无奈，我还是还给了他。
在接下来的几天里，我一直想着那本书，终于有一天忍不住，又去把那本书借来看了个够。从这本书里，我懂得了好多新的方法，如“抽屈原则”、“染色”、“逻辑推理”等。这里每一种方法都有广阔的数学背景，又有广泛的应用，特别是不少内容能应用于数学竞赛中。就这样，我不知不觉地踏入了数学竞赛的大门。
王烜第44届IMO金牌
王烜现在最崇拜的偶像是澳大利亚的华裔数学家陶哲轩（2007年08月02日）。陶哲轩是国际数学奥林匹克最年轻的参赛者，还没到13岁已经赢得了金牌。31岁就获得了世界数学界的最高奖菲尔兹奖。
国际奥林匹克数学竞赛金牌奖获得者在日后成为这个星球上顶级数学家的，大有人在！佩雷尔曼、陶哲轩、吴宝珠便是代表！
---------------------------===========================------------------------------- 方家聪第44届IMO金牌
方家聪告诉记者，他父亲是工程师，母亲是一所小学的校长。在很小的时候，他就对数字很敏感，父母发现后，便有意识的让他接触数学，同时循循善诱让他逐渐明白读书是自己的事，想方设法营造良好的学习氛围，让他体验学习的快乐。数学是门抽象的学科，方家聪接触伊始，父母便根据儿童的认知特点和规律，结合其生活经验，编一些有趣的数字游戏跟他一起玩耍，带他进入了数学王国。从
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此，方家聪对数学产生了浓厚的兴趣。
浓厚的兴趣使他更加勤奋地学习数学知识。从小学一年级开始，他就自觉地找数学书看，到三年级时，他已经自学完六年级的数学教程，这时，“吃不饱”的他便开始接触一些奥数入门的书籍，然后是奥数提高、竞赛篇等。这大大拓宽了他的视野，也为以后进一步发展奠定了坚实的基础。
方家聪的母亲对儿子取得今天的成绩感到骄傲，“严格、指点、赏识、尊重”是方母概括出来的家教感悟。方母介绍说：“我们从小就严格要求儿子，按老师的各项要求督促孩子。儿子小时好玩好动好奇，自然会做一些自己也意识不到的错事，我们就全面深入了解详情，共同教育。对儿子做出的成绩，我们多赏识，多肯定，让孩子不断体验成功的喜悦，不断进步。”“儿子读幼儿园时，正兴起学乐器之风，当时，我也想儿子也学一样乐器以增加生活乐趣，可与儿子提及时，他却无动于衷，我只好就此放弃了，强扭的瓜不甜，尊重儿子的意愿和选择也许没错。”
五年级时，方家聪看的课外书越来越多，除了喜欢的数学、文学书外，他也开始接触一些政治、经济、哲学等书籍，进一步拓宽了他的视野。数学毕竟是他的强项，父母为了更好的挖掘方家聪在数学方面的潜能，便送他去教师进修学校的一个数学兴趣班接受了两年系统的培训。这两年的培训是方家聪数学生命的一个重要转折点，也是方家聪参加各类比赛的起点。在教育这些数学苗子的方法上，进修学校的秦老师采取了对他们进行较为系统的重点训练法。培训课程结合小学数学的课程，适当超前，知识面丰富，并有一定的难度和灵活性，对智力开发、思维能力的培训特别有效。有意识的精选一些更具综合性的课外练习题给他练习，并将自己长期积累的一些数学资料和习题集借给方家聪。方家聪也表现得特别出色，老师布置一个假期的作业，他通常1至2个月就完成了。并且啃完了秦老师多年积累的小学数学竞赛资料，做了大量的习题，并进行了归纳、整理。与此同时，秦老师有意识的培养方家聪的自学能力，激发他自己去学习。秦老师还印发一些练习讲义，改编一些中学数学竞赛题，让这些孩子先自学，再评讲，师生互相交流，这样有利于找出适合苗子们知识水平的学习资料，扩大对多方面数学知识的理解。
自己：认定了方向
培训班的辛勤耕耘终于得到了回报。六年级时，方家聪参加了全国第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛，经过一番拼搏，获得了一等奖的好成绩，并在随后的决赛中，取得了银牌，也从此揭开了他征战数学竞赛的序幕。
初中进入华师大附中学习后，方家聪陆续参加了一系列的数学竞赛，先后二十余次获得国内外大奖。可以说，整个中学阶段，他都是在紧张的竞赛中度过的，当然，为此他也失去了许多与同学交流、玩耍的时间。“我不后悔，因为有得必有失嘛，什么事情都很难两全其美的。有人问我不间断的参加比赛，不烦吗？我不觉的啊，比赛也是种动力，它可以激励我继续努力学习啊！”
此次参加国际中学生奥林匹克数学竞赛，对方家聪来说，不仅是智力的考验，更是心理的考验。中国代表对有24人参加了集训，但最后能去比赛只有6人。这6人的选拔过程极其艰辛，他们要在一个月的时间里，经过大小10次考试，根据这个成绩，最终确定参赛人选。方家聪入选了，在赛场上，他也没有令教练和父母以及关心他的人失望，他用一枚国际金牌回报所有关心他的人。
方家聪在回顾他的数学学习和竞赛历程后说，父母望子成龙固然好，但是一17
定要循序渐进，打好基础是前提，培养兴趣是基础，要循循善诱，才能水到渠成，如果“赶鸭子上架”，“我们肯定不愿学，更说不上学好！”
张敏第51届IMO金牌
2010年7月16日，华中师大一附中理科实验班应届毕业生张敏从哈萨克斯坦载誉归来，她是第51届国际数学奥林匹克竞赛最小的参赛选手，也是我国6名参赛选手中唯一的女生。“我从小就对数学有兴趣，这得益于他*的发现和培养。”张敏说，小学四年级时，妈妈觉得她爱挑战自己，便送她学习奥数，没想到自己一学便钻进去了，“数学有很神奇的地方，比如有趣的结构、简洁性、精确性。而且，每次攻克下一个难题，我都特别有成就感。”
小学六年级上学期时，张敏基本上把小学所有课程自学完了。在老师的建议下，她直接跳级到初中。在初中的第一次考试中，她仅考了全班倒数第一，但在老师帮助补习一个多月后，她立刻升至全班第一。由于自学能力强，她又直接跳过初三到华师一附中就读。
数学教练叶新年介绍，张敏坐得住、有毅力，而且很阳光，不是“死读书”的那种学生。她喜欢跟别人交流，还有一手不多见的好字，“由于年龄小，她也爱哭鼻子，特别是在考完后觉得发挥不理想的时候，哭一哭能发泄考试的压力……”
说起女儿，张敏的母亲朱爱民特别自豪，“她不仅数学好，还特别爱读书。小学时，家离学校比较远，在公交车上，她又经常抱着《史记》啃读。放学时，我们不能按时去接她，她就泡在学校附近的书店里。”她称自己对女儿较为严格，“取得好成绩时，我常常提醒她戒骄戒躁，从不过分表扬，但当她遇到挫折，我就鼓励她认真分析得失，不批评。”
“我非常庆幸能参加这次比赛，它不仅让我获得了自信，还认识了不少国家的朋友，像法国、俄罗斯、英国等国家的选手，我们都留下了对方的联系方式。”张敏说。
“学数学是种享受”
“兴趣是最好的老师。”张敏小学三四年级就对数学产生了浓厚的兴趣，“那时发现自己数学成绩很好，愈学愈有信心，开始喜欢数学了。”
对于张敏来说，学习数学“是种享受”，“数学的美妙无法形容，锻炼逻辑思维能力，还能有美的享受，有的结论十分神奇……”
“她很有数学天分。”指导老师叶新年说，很多时候老师提出的难题，只有张敏能回答得出。
小学初中曾连跳两级
由于学习成绩好，学习接受能力强，张敏在小学六年级和初中三年纪连续跳级。不过，跳级升到初一后，一向成绩优异的张敏考了个全班倒数第一。“因为我没有学科学这门课，初一考试时就考了个倒数第一。”说起那个唯一的倒数第一，张敏记忆犹新。“当时我很沮丧，但也知道自己是因为没有学过才考得差。”
张敏今年刚满16岁，是今年年龄最小的国际数学奥赛金牌得主。她还曾获得第七、八届女子数学奥林匹克竞赛金牌，已于去年10月份获得北大保送生的资格。
◆人物
她是喜欢泡书店的“书虫”
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平时除了学习，张敏课余时间最喜欢看书。张敏的妈妈朱爱民说，刚上小学的张敏在公共汽车上就捧着一本《史记》，看得津津有味，旁边的乘客看到都不禁称奇。
“我喜欢泡在书店里，等妈妈来接我。”张敏笑着说，读小学时，每天下午放学，别的家长都在校门口等孩子，自己的妈妈总是到书店才找得到她。“她有时候一看就是几个小时，我也不用担心，书店就是她的第二个家。”张妈妈也笑了起来。
高中以后，学习紧张，看课外书的时间也减少了，但张敏一有空闲时间就会翻出几本书来看。“我平时养成了习惯，睡觉之前也要看书，不看的话就很难睡着。”张敏说。谈到最喜欢的作家，她脱口而出说是三毛。“我最欣赏她的独立和坚强，还有她对生活的热爱。”张敏笑着说，“因为我也是个开朗乐观的女生。”
肖伊康第51届IMO金牌
据了解，肖伊康对数学有着特别的爱好。初中时，他就自学了高中和大学的部分课程，初三时答高三的数学、物理试卷就可以拿到满分。但肖伊康的中考成绩却无缘一中，唐山一中刘长锁校长了解后，将肖伊康叫到校长办公室，和他长谈了一个多小时，最后破格批示肖伊康来唐山一中就读，并指示“特殊人才，特殊培养”。安排了适合肖伊康全面发展的班级，配备最好的师资。刘校长“不拘一格降人才”的举措，让肖伊康同学向梦想迈出了关键的一步。
同时，唐山一中针对肖伊康的具体情况，系统地制定了培养计划。根据肖伊康思维基础好但竞赛基础有所欠缺的特点，肖伊康的辅导教师张建强老师为他制定了详细的阶梯性的培养计划，并为他创造各种训练比赛的机会，帮助他在短时间内获得质的飞跃。
赖力第51届IMO金牌
赖力出生在巴南区南泉镇，父母都是下岗职工，父亲赖小维初中学历，母亲何祥荣也只读过高中。但是小赖力的数学天赋在他两三岁的时候就表现出来。
“他从小就对数字很敏感，两岁多时能将九九乘法表倒背如流。”母亲何祥荣说，那时儿子还没有上幼儿园，这让一家人惊讶了半天。
父母忙于生计，对赖力的早教任务都落在退休的爷爷身上。赖力的爷爷喜欢打麻将，于是麻将成为赖力的数学启蒙教育工具。何祥荣说，爷爷没事儿时就在牌桌上教孙子认麻将，这个是二万，那个是九条……用麻将牌生动地将数字的概念输入小赖力的脑子里。
同时，爷爷不会唱什么儿歌，他就开始教赖力念九九乘法表，像背儿歌一样背得滚瓜烂熟。
南泉镇上数学“神童”
到幼儿园大班时，赖力已是南泉镇上小有名气的“神童”了。
何祥荣说，那时儿子能非常熟练地进行三位数的加减乘除，三位数的四则运算都难不倒他，在镇上一时传为奇谈，一些街坊邻居不相信，还专门跑到家里来考他。
小学三年级时，在数学老师推荐下，赖力开始接触奥数。由于住在相对偏僻的南泉镇，赖力没有机会参加专业的奥数班培训，父母便从新华书店买了奥数书，
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喜讯传来：我院学子在2014亚太地区数学建模竞赛中获奖居榜首
喜讯传来：我院学子在2014亚太地区数学建模竞赛中获奖居榜首 2014年1月20日- 2月20日，我院16个代表队的46名同学受邀参加了由环球竞赛网、MATHOR校苑数学建模网、APUMCM亚太数学建模网、中国教育网共同主办的2014年第三届APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛。 今日，喜讯传来，我院学子在中国、新加坡、澳大利亚等亚太地区的参赛队中脱颖而出，获得一等奖3项，二等奖4项，三等奖9项，取得囊括32%全部奖项的瞩目成绩，在澳大利亚昆士兰理工大学、新加坡国立大学、新加坡南洋理工大学、北京大学、国防科技大学、东北大学、上海交通大学、武汉大学、山东大学、中国矿业大学、南京邮电大学、对外经济贸易大学、北京理工大学、华北水利水电大学等70多所参赛高校中，我院的获奖数量和质量均名列榜首。 MCM/ICM国际建模竞赛、教育部高教社杯数学建模竞赛、APMCM亚太杯数学建模竞赛、MathorCup全球数模竞赛被公认为数模领域四大赛事。其中APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛旨在为全球热爱数学建模的莘莘学子提供更好的学习资源和竞赛平台；旨在进一步普及数学建模知识，强化学生应用数学解决社会，自然的相关问题，并增强计算机的理论和编程能力,为亚太乃至全球的学生提供良好的数学建模家园，并为学生创造更多参加数学建模竞赛的机会。 多年来，院领导对数学建模教育高度重视，教务部、教学保障部、学工处、团委、知行书院等部门将数学建模教育的改革成果向全院推广，作为学院实施竞赛教育植入教育体系的重要平台，提升了轻院学子的创新、创造能力，提升了轻院学子的综合素质，为我院的品牌假设做出了重要贡献，特别是本次竞赛的突出成绩，在有力证明我院实施竞赛教育、推行品牌建设等人才培养理念成效的同时，也进一步提高了我院的知名度和影响力。 2014年第三届APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛获奖名单
高一数学竞赛培训讲义：最大公约数和最小公倍数(学生)
第三节 最大公约数 定义1 整数a 1, a 2, , a k 的公共约数称为a 1, a 2, , a k 的公约数．不全为零的整数a 1, a 2, , a k 的公约数中最大的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最大公约数（或最大公因数），记为(a 1, a 2, , a k )． 由于每个非零整数的约数的个数是有限的，所以最大公约数是存在的，并且是正整数． 如果(a 1, a 2, , a k ) = 1，则称a 1, a 2, , a k 是互素的（或互质的）；如果 (a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j ， 则称a 1, a 2, , a k 是两两互素的（或两两互质的）． 显然，a 1, a 2, , a k 两两互素可以推出(a 1, a 2, , a k ) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2． 定理1 下面的等式成立： (ⅰ) (a 1, a 2, , a k ) = (|a 1|, |a 2|, , |a k |)； (ⅱ) (a , 1) = 1，(a , 0) = |a |，(a , a ) = |a |； (ⅲ) (a , b ) = (b , a )； (ⅳ) 若p 是素数，a 是整数，则(p , a ) = 1或p ∣a ； (ⅴ) 若a = bq + r ，则(a , b ) = (b , r )． 由定理1可知，在讨论(a 1, a 2, , a n )时，不妨假设a 1, a 2, , a n 是正整数，以后我们就维持这一假设． 定理2 设a 1, a 2, , a k ∈Z ，记 A = { y ；y =∑=k i i i x a 1，x i ∈Z ，1 ≤ i ≤ k }． 如果y 0是集合A 中最小的正数，则y 0 = (a 1, a 2, , a k )．
高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形
第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+=
河北农业大学团情快讯130期
团情快讯 第130期 主办：河北农业大学团委 2013年4月22日本期目录： ◇农学院团委开展宿舍安全卫生系列教育活动 ◇动物科技学院团委举办卡拉OK大赛 ◇经济贸易学院团委举办百科知识竞赛 ◇艺术学院团委师生参加金钟奖大赛 ◇植物保护学院团委举行学生会换届仪式 ◇外国语学院团委举办职业生涯规划设计大赛 ◇动物科技学院团委考察并洽谈校企合作事宜 ◇现代科技学院团委学生会举办礼仪风采大赛 ◇信息科学与技术学院团委举办IT好声音活动 ◇理学院团委举办驻保高校师资礼仪大赛 ◇动物科技学院团委学生参加全国主题征文活动 ◇食品科技学院团委召开部署安全教育工作会议 ◇外国语学院团委学生参加大学生日语演讲比赛 ◇资环国土学院团委举办世界地球日活动 ◇信息科学与技术学院团委举办职业生涯规划大赛 ◇动物科技学院团委举办职业规划设计大赛 ◇现代科技学院团委社团联合会举办相声社汇报演出 ◇植物保护学院团委召开公寓安全隐患及卫生检查大会
农学院团委开展宿舍安全卫生系列教育活动4月份以来，农学院团委对全院学生宿舍进行了全方位检查，在检查中发现部分宿舍存在卫生较差现象，时值春季火灾和传染病高发季节，为消除学生公寓存在的各种安全隐患，建设良好的公寓生活环境，确保学校安全稳定，农学院团委决定对学生公寓进行安全隐患排查，对全院学生进行安全教育。正式启动“防止安全隐患保证宿舍安全”系列教育活动。 此次宿舍安全教育紧贴当前学校“安全纪律教育月”活动，对全院学生进行安全知识普及教育，教育活动把重点放在宣传公寓防火常识、预防春季流行性疾病、传染性疾病、安全用电和公寓卫生保持等几个方面。同学们不仅积极响应，更是从日常生活等方面做起，认真贯彻落实学院相关教育活动内容。 本次宿舍安全教育活动有利于提高同学们安全防范意识，为消除安全隐患，创造和谐宿舍环境奠定了基础，同时也推动了学院宿舍安全活动深入开展。（农学院团委供稿） 动物科技学院团委举办卡拉OK大赛 4月14日，由动物科技学院团委学生会主办的“唱响青春，畅想未来”主题的卡拉OK大赛在图书馆2104成功举办。 经过紧张的初赛后，10名选手脱颖而出进入决赛。决赛过程中，选手们个个精神焕发、洒脱大方，用优美的歌声积极展现当代大学生的良好风貌。古典老歌情深意浓，现代流行音乐激情四射，令在场的评委和同学们连连拍手称赞。中场时分，我院学生会、科协、就业创业协会主席的助阵演唱更是将比赛再次推向高潮。经过个人表演、听伴奏猜歌名、及两人PK三个环节的激烈角逐，动药1201班米佳飞以深厚的唱功打动了评委和在座的同学，一举夺冠。 此次比赛不仅丰富了我院学生的课余文化生活，更是给了那些喜欢唱歌表演的同学们提供了一个展示自我的舞台，同时也彰显了我院学子向上、青春、自信、乐观的精神风貌。（动物科技学院团委供稿）
初中数学竞赛专题辅导因式分解一
因式分解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2． 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5)
高中数学竞赛_数列【讲义】
第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,
高中数学竞赛教案讲义(17)整数问题
第十七章 整数问题 一、常用定义定理 1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。b 不能被a 整除，记作a b. 2 带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,01且n 为整数，则k a k a a p p p n 2121 ，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。 6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。 7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。 8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p ≡a(modp). 9．若(a,m)=1，则)(m a ≡1(modm), (m)称欧拉函数。 10．（欧拉函数值的计算公式）若k a k a a p p p m 2121 ，则 (m)=.)11(1 k i i p m 11．（孙子定理）设m 1,m 2,…,m k 是k 个两两互质的正整数，则同余组： x ≡b 1(modm 1),x ≡b 2(modm 2),…,x ≡b k (modm k )有唯一解， x ≡'1M M 1b 1+'2M M 2b 2+…+'k M M k b k (modM)， 其中M=m 1m 2m k ；i M =i m M ，i=1,2,…,k ；i i M M '≡1(modm i ),i=1,2,…,k. 二、方法与例题 1．奇偶分析法。 例1 有n 个整数，它们的和为0，乘积为n ，（n>1），求证：4|n 。 2．不等分析法。 例2 试求所有的正整数n ，使方程x 3+y 3+z 3=nx 2y 2z 2有正整数解。
全国大学生数学竞赛试题及答案
河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。
【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1．添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc ①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) 例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1 ①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里 16是完全平方数） ②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4) =x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5) ③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1 =a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1) 2．运用因式定理和待定系数法 定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x3－5x2+9x－6②2x3－13x2+3 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1) 第六章 不等式 第一教时 教材：不等式、不等式的综合性质 目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。 过程： 一、引入新课 1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。 2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题 二、几个与不等式有关的名称 （例略） 1．“同向不等式与异向不等式” 2．“绝对不等式与矛盾不等式” 三、不等式的一个等价关系（充要条件） 1．从实数与数轴上的点一一对应谈起 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?x 从而2 2)1(+x >124++x x 小结：步骤：作差—变形—判断—结论 例三 比较大小1． 2 31-和10 解：∵ 232 31+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴ 2 31-<10 2． a b 和m a m b ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差） a b m a m b ++) () (m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时 a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b 2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案 一、填空题（每小题8分，共64分） 1.已知函数( )) ()ln 10f x ax a =+>，则()1l n l n f a f a ?? += ??? ． 答案：2 提示： ()( ) )) ()2222ln ln 2ln 12 2. f x f x ax ax a x a x +-=++=+-+= 2.设A 、B 两点分别在抛物线26y x =和圆()2 2 :21C x y -+=上，则AB 的取值范围 是 ． 答案：[)1,+∞ 提示：由于1AB AC ≥-，则只需要考虑AC 的范围．而 ()()()222 22 2 2262413, AC x y x x x x x =-+=-+=++=++ 又0x ≥，故min 2AC =，故AB 的取值范围为[)1,.+∞ 3.若tan 3tan 02παββα?? =<≤< ?? ? ，则αβ-的最大值为 ． 答案： 6 π． 提示： ( )2tan tan 2tan tan 1tan tan 13tan 2 1 3tan tan tan .36αββ αβαββ β β π--= = ++= +≤ = 因为02πβα<≤<，所以0.2π αβ≤-< 所以6παβ-≤，即αβ-的最大值为.6 π 4.已知△ABC 为等腰直角三角形，其中C ∠为直角，1AC BC ==，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得1DB =，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小 值为 ． 提示：由题意可知，,4 CDB π ∠=且BDA ∠与CDA ∠之和为 .2 π 如图，将侧面BDA 和侧面 CDB 分别折起至面1B DA 和2B DC ，且与侧面ADC 位于同一个平面上．则△BEF 周长的 最小值即面12AB DB C 上两点1B 、2B 之间的线段长． 由前面的分析可知， 1212 3.244 B DB B DA AD C CDB ππ π ∠=∠+∠+∠=+= 由余弦定理可得， 12B B === 所以，△BEF 5.已知函数()3 3f x x x =+，对任意的[]2,2,m ∈-()() 820x f mx f -+<恒成立， 则正实数x 的取值范围为 ． 答案：0 2.x << 提示：由于()3 3f x x x =+为奇函数且为增函数，所以()() 820x f mx f -+<等价于 第1讲：因式分解 一．因式分解的定义： 二．因式分解的方法： 1.提取公因式法：提取所有项的公共的因式，将多项式化成两个多项式的乘积的形式 例1：分解因式4121315242+-+---+-n n n n n n y x y x y x 例2：试说明139792781--能被45整除 例3：已知01234=++++x x x x ，求1200820092010+++++x x x x 2.运用公式法：运用公式法进行因式分解的关键是利用各公式的特点，建立运用公式的模型，以下公式都应该熟记. 例4：分解因式xyz z y x 68333--- 例5：分解因式：abc c b a 3333-++ 例6：分解因式：12131415++++++x x x x x 3.分组分解法：关键是如何分组，原则是：①各组能分解或部分组能分解，②组间能继续分解，从而达到分解的目的.常用的分组思路有，按系数分组，按符号分组，安某一字母一次或二次分组，联想公式分组，按项的次数分组等，对多项式分组的方法往往不唯一，但最终的结果是一致的。 例7：分解因式2105ax ay by bx -+- 例8：分解因式2222428x xy y z ++- 4.十字相乘法：对二次三项式分解的重要方法，即：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++，其中a a a =21，c c c =21， b c a c a =+1221。十字相乘法通常借助画“十”字来分解系数。 例9：分解因式（1）2524x x +-；（2）226x xy y +-；（3）222 ()8()12x x x x +-++ 例10：分解因式（1）22y 8x y 6x 5-+；（2）22 5681812x xy y x y +++++ 例11：已知：,,a b c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+= 求证：2b a c =+ 5.求根公式法：一般适合于对二次三项式的因式分解，如要对c bx ax ++2进行因式分解，可令02=++c bx ax ，若0≥?，则方程有两个实数根，可用一元二次方程的求根公式求出，设为21,x x ，则有()()212x x x x a c bx ax --=++ 例12：分解因式： 222(1)616 (2)44x x x xy y +-+- 例13：分解因式：422x +x +2ax+1-a 6.拆项、添项法：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即 第66讲 覆盖 本节主要内容是图形覆盖与嵌入． 一、图形覆盖的定义： 平面闭图形指的是由平面上一条简单闭曲线及其围成的平面部分组成的图形．所谓简单闭曲线，就是自身不相交的封闭曲线．它作为图形的边界，而它围成的平面部分(不包括闭曲线本身)称为平面图形的内部． 定义1 设M 和N 是两个平面图形，若M ?N 或M 经过运动变成M'，而M'?N ，则称图形M 可以覆盖图形N ，或N 能被M 覆盖，也说N 嵌入M ． 设M 1，M 2，…，M n 是一组平面图形，若M 1?M 2?…?M n ?N ，或M 1，M 2，…，M n 各自经过运动(施于每一个图形的运动不一定相同)分别变为M 1'，M 2'，…，M n '，而M 1'?M 2'?…?M n '?N ，则称图形M 1，M 2，…，M n 可以覆盖图形N ，或N 能被M 1，M 2，…，M n 覆盖． 二、图形覆盖的性质：覆盖的下述性质是十分明显的： ⑴ 图形G 覆盖自身； ⑵ 图形G 覆盖图形E ，图形E 覆盖图形F ，则图形G 覆盖图形F ． ⑶ 如果一条线段的两个端点都在一个凸图形内部，则此线段被此凸图形覆盖． 推论：一个凸图形如果盖住了一个凸多边形的所有顶点，则此凸多边形被此凸图形覆盖． 定义2设F 是一个平面闭图形，我们称F 的任意两点之间的距离的最大值为M 的直径，记为d(F)，即d(F)＝max{|AB|，A ，B ∈F}． 三、关于覆盖的三条原则：覆盖的以下三个原则是常用的： 原则1 若图形F 的面积大于图形G 的面积，则图形G 不能覆盖图形F ； 原则2 直径为d 的图形Ｆ不能被直径小于d 的图形G 所覆盖． 原则3 (重叠原理) n 个平面图形的面积分别为S 1，S 2，…，S n ，若它们被一个面积为A 的平面图形完全覆盖，又A 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性 定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、初中数学竞赛辅导资料之因式分解附答案
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