初中数学压轴题-动点问题

通常动点的运动场所将从以下选出：

1、在直角三角形的边上运动

2、在梯形的边上运动

3、在坐标轴上运动

4、在抛物线上运动如果设时间为t,一般情况将从以下12 个问题中选出

（1）求某条线段的长度

（2）求某个三角形的面积s 与时间t 的函数关系式

（3）求两个图形重叠部分或动点所带的射线扫某个图形部分的面积s 与时间t 的函数关系式并求面积的最大值

（4）t 取何值时两直线平行

（5）t 取何值时两直线垂直？

（6）t 取何值时某三角形为等腰三角形三角形？

（7）t 取何值时某三角形为直角三角形？

（8）t 取何值时某四边形为特殊四边形？

（9）t 取何值时两个三角形全等或相似

（10）当动点所带的射线把某个中心对称图形的面积二等分时求t.

（11）点在运动的过程中，某个图形的面积或角度是否发生变化，若不变，求出这个面积或角的度数，若变化，说明怎样变？

（12）当抛物线等分某些特殊点的数量时求t的取值范围

1、如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，

AD=4，DC=3，点P从点A出发沿折线段AD—DC—CB以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动，同时，点Q从点A出发沿射线AB 方向以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P与点B重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P，Q 的运动时间是t秒（t>0）。

⑴线段BC的长为______

⑵设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式；⑶当点P在

BC上，t为何值时，PQ∥DB？

本题分析（1）过点C作CE⊥AB于E,则AE=DC=3, ∴BE=3,由勾股定理求出

BC=5

（2）当点P在AD上时，S= ×2t×3t=3t2

当点P在DC上时, S= 1×2t×4=4t

当点P在BC上时如图2，用三角函数求出PE= 4（12-3t），所以

12 48 5

S=- t2 + t

（3）当点P在BC上且PQ∥BD时如图2,

此时∠BPQ= ∠ DBC，因为DC∥ AQ 所以，

∠BCD = ∠ PBQ，所以，△PBQ∽ △BCD

BQ BP2t - 6 12-3t

DC=B C即3=5

2、如图所示，在平面直角坐标系X0Y中，正方形OABC的边长为2cm，点A、

C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y = ax2+bx+c经过点A、

B和D（4，-）

（1）求抛物线3的表达式.

（2）如果点P由点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从

B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S= P Q2（cm2）

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取4 时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M 到D、A的距离之差最大，求出点M

66 t=19

图1图2

P （1,-2） ,Q （2, - ）,分三种情况讨论：当R 在AB 下方时，

过点P 作PR 1∥BQ ，交抛物线于R1,则 PR 1= ,不符合条件。当R 在CB 右侧时，过Q 作QR 2 ∥AB，分别交抛物线于R 2、R 3当x=-3 时，求得R 2、R 3的横坐标分别为3和-1，所以QR 2=1=PB ， 2

QR 3=3,所以符合条件的只有 R 2, R 2（3，- 3 ）M 应该是直线DB 与对称轴的交点，直线BD

的解析式为y= 2 x-10 ,把x=1带入解析式，2M （ 1 ，- 8）

3 3 3

3、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，

∠B=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P 从B

点出发，沿线段BC 向点C 做匀速运动，速度每秒

1个单位长度；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向

点A 做匀速运动，速度每秒1个单位长度，过点Q

作 QN ⊥BC 交AC 于点M ，交BC 于点N ，P 、Q

两点同时出发，当Q 点运动到A 点时，点P 也随

之停止运动，设运动的时间为t 秒。

（1）当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边

形? （2）求△PMC 的面积S 与时间t 的函数关系

式

本题分析 ②当S= 5 ，通过解方程求出t= 1 ，此时可求出：

42 3）t 为何值时，△PMC 为等腰三角形?

（1）当四边形PCDQ 为平行四边形时， PC=DQ ，即

4-t=t ，所以， t=2

（2）过点D 作DE ⊥BC 于E ，则DQ=NE=t ，

AD=BE=3, 所以, EC=4-3=1，所以，NC=t+1

AB MN 3 因为 =

=tan ∠ MCN ，即 MN = 3 ， NC BC

t +1 4 3 1 3 9 3 所以，MN= （ t+1 ），所以，S= PC ×MN= - t 2 + t+ 42

（3）分三种情况讨论：当MC=PC 时，当MP=MC 时，当PC=PM 时，

EC BC

4、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ‖BC ，∠B=90°， BC=6，AD=3， ∠DCB=30°点E 、F 同时从点B 出发，沿射线BC 方向移动，已知点F 移动的速度是点E 移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ，设点E 移动的距离为 x （ 0﹤x ﹤6）。

（1）当x=2时，△EFG 的边长为 _________

（2）设△EFG 与梯形ABCD 重叠部分的面积y ，

求y 与x 之间的函数关系式

（3） △EFG 的边长为多少时，

△EFG 与梯形ABCD 重叠部分的面积最大

A D

本题分析

11 （ t+1 ） = 4-t ，所以 t= 11

4 1 1 9 2 NC= PC 即 t+1 = 1（ 4-t ）所以，t=

2 2

3 如图，利用三线合一加三角函数构造方程 103 PC = A C =COS ∠ACB ，可求出t= 57 M E

N P A

本题分析

图1 △EFG 与梯形ABCD 重叠部分的面积就是△EFG

的面积，y= 3

4 当 2

所示 y=S △ EFG - S △ GHK 根据题意可求得

FC=FH=6-2x ， GH=FG-FH= x-（6-2x ）=3x-6，用三角函数求出GH 、GK ，求出

△GHK 的面积，最后求出y 的值

当 3

ABCD 重叠部分是直角三角形ECM 。根据

题意可知EC=6-x ，用三角函数求出 ME 和

MC 的长度，再用面积公式求出y 。

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ② 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③ 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，

之后利用相似来列方程求解。

明确运动路径，运动速度，起始点，终点，从而确定自变量的取值范围，画出相应的图形。找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来。（1）当x=2时， △EFG 的边长为2

（2）分三种情况讨论：当 0

时，