电磁场计算题
电磁场计算题
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重要习题例题归纳
第二章 静电场和恒定电场
一、例题：
1、例2.2.4（38P ）半径为0r 的无限长导体柱面，单位长度上均匀分布的电荷密度为l ρ。试计算空间中各点的电场强度。 解：作一与导体柱面同轴、半径为r 、长为l 的闭合面S ，应用高斯定律计算电场强度的通量。
当0r r <时，由于导体内无电荷，因此有0=??→
→S
S d E ，故有0=→
E ，导体内无电场。 当0r r
>
时，由于电场只在r 方向有分量，电场在两个底面无通量，因此
2ερπl rl E dS E dS a a E S d E l r S
r r S
r r r r S
=
?=?=?=????→
→
→
→
则有：
r E l r 02περ=
2、例2.2.6（39P ）圆柱坐标系中，在m r
2=与m r 4=之间的体积内均匀分布有电荷，其电荷密度为3/-?m C ρ。利用高
斯定律求各区域的电场强度。
解：由于电荷分布具有轴对称性，因此电场分布也关于z 轴对称，即电场强度在半径为r 的同轴圆柱面上，其值相等，方向在r 方向上。现作一半径为r ，长度为L 的同轴圆柱面。
当m r
20≤≤时，有02=?=??→
→
rL E S d E r S
π，即0=r E ；
当m r
m 42≤≤时，有)4(1220-=?=??→
→r L rL E S d E r S
πρεπ，因此，)4(220-=r r
E r ερ；
当m r 4≥时，有L rL E S d E r S
πρεπ0
122=?=??→
→，即r E r 06ερ=。
3、例2.3.1（41P ）真空中，电荷按体密度)1(220a
r -=ρρ分布在半径为a 的球形区域内，其中0
ρ为常数。试计算球内、
外的电场强度和电位函数。
解：（1）求场强：
当a r >时，由高斯定律得
2224επQ E r S d E S
=
=??
→
→
而Q 为球面S 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。
300
242
00
2
15
8
)(44)(a dr a r r dr r r Q a
a
πρπρπρ=-==?
?
因此
2
0302152r a a E r
ερ→
→
=
当a r <时
)
53(44)(1
42530002
012
1a r r dr r r E r S d E r
S -===???→
→
επρπρεπ
因此
)
33(2
3001a r r a E r -=→
→
ερ
（2）球电位；
当a r >时，取无穷远的电位为零，得球外的电位分布为
r
a r d E r r
03022152)(ερ=
?=Φ?∞→
→
当a r =时，即球面上的电位为
20152ερa S =
Φ 当a r <时
)
1032(2)(2
4220011a r r a r d E r a r
S +-=?+Φ=Φ?
→
→
ερ
4、例2.4.1（48P ）圆心在原点，半径为R 的介质球，其极化强度)0(≥=→
→m r a P m r 。试求此介质球束缚体电荷密度和球表面束缚面电荷密度。
解：在球坐标系中，由于极化强度中与有关，具有球对称性，故
当R r <时，122
)2()(1-→
+-=??-
=?-?=m m
p
r m r r r
r P ρ
当R r
=时，m m r r pS R R a a P n =?=?=→
→→→ρ。
5、例2.4.2（49P ）有一介质同轴传输线，内导体半径为cm r 11=，外导体半径cm r 8.13=。两导体间充满两层均匀介质，
它们分界面的半径为cm r 5.12
=，已知内、外两层介质的介电常数为02017,4εεεε==；击穿电场强度分别为
./k 100,/k 12021cm V E cm V E m m ==问：
（1）内、外导体间的电压U 逐渐升高时，哪层介质被先击穿？（2）此传输线能耐的最高电压是多少伏？
解：当内、外导体上加上电压U ，则内外导体上将分布l ρ+和l ρ-的电荷密度。由于电场分布具有轴对称性，在与传输线同轴的半径为r 的柱面上，场的大小相等，方向在→
r a 方向。选同轴的柱面作为高斯面，根据高斯定律可得
当1r r
<时，000==r r D E ；
当21r r r <<时，r D l r πρ21=或r
r E l l r
01182περπερ==；
当32r r r <<时，r D l r
πρ22=或
r
r E l l r 022142περπερ== 。 可以看出，两层介质中电场都在内表面上最强，且在分界面上不连续，这是在分界面上存在束缚电荷的缘故。在介质1中，1r r =处场强最大为
1
011182r r E l
l r m περπερ=
=
，
在介质2中，2r r =处场强最大为
2
0222142r r E l l r m περπερ=
=
由于12
r r >，显然r r E E 12>，在两种介质中最大场强的差值为：
)147(141481
220201021-=-=
-r r r r r E E l l l r m r m περπερπερ
代入1r 和2r 的值得
r m r m r m r m E r r E E E 21
2221625.1)147(
=-=-
当介质2内表面上达到cm V /k 100的电场强度时，介质1内表面已达到cm V /k 5.162的电场强度，因此，介质1在介质2被击穿前早已被击穿。而当介质1内表面上达到击穿电场强度时
cm V r r E l
l r m /k 120821
0111===
περπερ
即
1012042r l
?=περ 因此，介质1和介质2内的电场分布为
cm V r
r r r E l l r /k 120821
011===
περπερ
cm V r
r r r E l l r /k 712041421022?===
περπερ
故，传输线上的最大电压不能超过
V r r r r r r dr
r r dr r r dr E dr E U r r r r r r r r r r m k 16.61ln 7480
ln
12074801202
311211
121322
1
3
2
2
1
=+=+=+=??
??
6、例2.7.1（59P ）半径为R 的导体球上带电量为Q ，试计算空间中的电场分布、电位分布和静电能量。 解：当R r <时，对于导体球，球内无电场，球面为等位面。
当R r ≥时，利用高斯定律，电场强度为
2
04r
Q E r πε=
电位分布为
r
Q ?
=
Φ0
41πε 球面上的电位为
R
Q R ?
=
Φ0
41πε 此导电球储存的静电能为
R
Q Q W R e 208121?
=Φ=πε 而空间任一点的能量密度为
J r
Q E w e 4
022203221επε== 静电场储存的静电能为
J R
Q dr w r W
R R
e e
022
84πεπ=
=?∞
二、习题
2.20 （本题与例2.
3.1同类型）半径为a 的带点球，其体电荷密度为)0(0≥=n r n ρρ，0ρ为常数，求球内外各处的电位和
电场强度。
解：（1）求场强，利用高斯定律 当a r <时，
1214επQ E r S d E S
=
=??
→
→
而Q 为球面S 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。
30)3(4επρτρτ
+=
=+?n r d Q n 因此， 0
1
01)3(ερ+=+→
→
n r a E n r
当a r
>时，
3020
2
00
22
2
)3(4sin 1
1
4επρ?θρθετρεππ
π
τ+=
==
=?+→
→?
?
???n a d r r d dr d E r
S d E n n a S
所以，
2
0302)3(r n a a E n r
ερ+=+→
→
（2）求电位，取无穷远处的电位为零，则 当a r ≤时
)2
()3(22
200
211+++∞
∞++-+=+==Φ?
??n n n a
a r
r
a n r a n dr E dr E Edr ερ
当a r >时
r
n a dr E n r
03
022)3(ερ+=
=Φ+∞?
2.23 如图所示，内导体球半径为a ，外导体球壳内半径为b ，外半径为c ，如果内导体球带电量为Q ，外导体球壳不带电。
求：（1）两导体上的电荷分布；（2）导体内外各处的电场强度；（3）导体内外各处的电位分布。 解：（1）内导体球带电量为Q ，由于静电感应，所以外导体球壳内表面带电量为Q -，外表面带电量为Q +。 内导体球的电荷体密度为
3
31433
4a Q
a Q
Q ππτρ=
==；外导体球壳的内表面电荷面密度
为：2
24b
Q πρ-=；外导体球壳外表面电荷面密度为：2
34c Q πρ=
。
（2）求场强，利用高斯定律， 当a r <时，球内无电场，即01=→
E ；
当b r a <<时，
2
020
22
2
44r
Q a E Q
E r
S d E r
S
πεεπ→
→→
→
=?=
=??
当c r b <<时，无电场，即03=→
E ；
当c r >时，
2
040
42444r
Q a E Q
E r S d E r
S
πεεπ→
→
→
→=?=
=??
（3）求电位，取无穷远处得电位为零， 当a r <时，
题2.23图
a
Q
c
b
)111(4043211c
b a Q
dr E dr E dr E dr E c
c b
b a
a r
+-=
+++=????∞
πε? 当b r a <<时，
)111(404322c
b r Q
dr E dr E dr E c
c b
b r
+-=
++=???∞
πε? 当c r b <<时，
c
Q dr E dr E c
c r
04334πε?=
+=??∞
当c r >时，
r
Q dr E r
0444πε?=
=?∞
2.30 一圆心在原点，半径为a 的介质球，其极化强度)0(≥=→
→
n ar a P n r 。试求 （1）此介质球束缚体电荷密度和球表面束缚面电荷密度。 （2）求球内外各点的电位。 解：（1）介质球内束缚电荷体密度为：
122
)2()(1-→
+-=??-
=?-?=m n
p ar n ar r r
r P ρ 束缚电荷面密度为：
1+→
→
→
→=??=?=n n r r pS a a a a a P n ρ
（2）先求介质球内自由电荷的体密度：
1
00)2()(-→
→→→
→→→→?-+=
??=???+??=??+??=+??=??=n r
n a D P D P E P E D εεερε
εεερ 然后求球内外各点的场强：
当a r <时，由于→
→
→
+=P E D 10ε且→
→
=1E D ε，所以，0
1εε-=→→n
r
ar a E
当a r ≥时，由高斯定律有：
2224επQ E r S d E S
=
=??
→
→
而
30
20
2104sin )2(εεπε?θθεεετρπ
π
τ
-=??-+==+-?
??
?n a
n a d drd r r n Q d Q ，所以：2
0032)(r a a E n r εεεε-=+→
→ 再求球内外各点的电位：
当a r <时，
)
())(1()(002011211εεεεεε?-+
-+-=
+=+++∞
??n n n a
a r
a n r a a dr E dr E
当a r ≥时，
r
a dr E n r ?-=
=+∞
?)(003
21εεεε? 2.31（略） 第四章 恒定磁场
一、例题
1、例4.2.1（105P ）计算真空中半径为R 的长直圆柱形载流铜导线的磁场。 解：由真空中安培环路定律， 在R r <处，有
202
2
22R
Ir B I R r rB l d B C
πμππμπ??=?==??→
→ 在R r >处，有
r
I B I rB l d B C
πμμπ??2200=
?==??→
→
2、例4.2.2（106P ）在无限长柱形区域m r m 31<<中，沿纵向流动的电流，其电流密度为r z e a J
25-→
→
=，其他地方电流密
度0=→
J 。求各区域中的磁感应强度。 解：利用安培环路定律，有：
I rB l d B C
02μπ?==??→
→（其中I 为回路C 围成的面积上穿过的电流强度） 当m r 1<时，0=I ，则0=→
B
当m r m 31<<时，
A e e r S d J I r r 2220
1
215)21(5--→→
++-=?=?
?
πππ
， T
e r
e r r I r B r 20200415)12(452--++-==μμπμ? 当m r 3≥时，
A e e S d J I 2620312
15235--→
→
+-
=?=?
?πππ
，T e r e r I r B 206004154352--+-==μμπμ?
3、例4.5.1（P 117）同轴线的内导体半径为a ，外导体的半径为b ，外导体的厚度忽略不计。并设导体的磁导率是0
μ，内、外
导体间充满磁导率为
μ的均匀介质，内、外导体分别通以大小都等于I 但方向相反的电流，求各处的→
H 和→
B 。
解：由安培环路定律：?
?
→
→→
→?=?S
l
S d J l d H 可知
当a r ≤≤0时，
52，即
r a I H 2
2π?=
和
r a
I B 202πμ?=。 当b r a ≤≤时，
I
r H l d H l
==??→
→
π?2，即
r I H π?2=
和r
I B πμ?2=
当b r
>时，
,
02==??→
→
r H l d H l
π?由对称性可知，.0==
→
→
H B
4、例4.5.2（P 117）无限长铁质圆管中通过电流I ，管的内、外半径分别为a 和b 。已知铁的磁导率为
μ，求管壁中和管内、
外中的→
B ，并计算铁中的磁化强度→
M 和磁化电流分布。 解：（1）求→
B ： 当b r a ≤≤时，
)()
(2222
2
a r a b
I
r H l d H l
-?-==??→
→πππ? 则有：
r I a b a r a H π?
22222?--=→
→和r
I a b a r a H B πμμ?
22222?--==→→→
当∞≤≤r b 时，
I
r H l d H l
==??→
→
π?2
则有：
r I a H π?
2→
→=和r
I a H B πμμ?20
0→→→
== 当a r ≤≤0时，,
02==??→
→r H l d H l
π?由对称性可知，.0==→
→
H B
（2）求铁中的磁化强度：
在b r a ≤≤的管壁空间内有磁化强度为 r
I a b a r a H B
a M r πμμμ??2)1(
)(
22220
?--?-=-=→
→→
→
→
故管壁内的磁化体电流为
)
()1(
220a b I
a M J z m --=??=→
→
→
πμμ 在分界面a r =时b r =处的磁化面电流为
在a r =处：0)(=-?=→
→
→
r ms a M J 在b r
=处：
b
I a a M J z r ms πμμ2)1(
0--=?=→
→→→
5、例4.6.1（P 120）如图4.6.3所示，铁芯环的内半径为a ，轴半径0r ，环的横截面半径为矩形，且尺寸为h d ?。已知h
a >>和铁心的磁导率0μμ
>>，磁环上绕有N 匝线圈，通以电流为I 。试计算环中的→
B 、→
H 和Φ。
（a ）
（b ）
图4.6.3
μ
0r
0r
a
b
d
I
N
h
t
N
I
解：在忽略环外漏磁的条件下，环内→
H 的环积分为
00
2,22r NI H B r NI H NI r
H l d H l
πμμππ????===
?==??→
→
铁心环内的磁通为
S r NI dh r NI ?==
Φ0
022πμπμ
当磁环上开一很小切口，即在磁路上有一个小空气隙时，根据磁通连续性方程，我们近似地认为磁感应线穿过空气隙时仍均匀分布在截面上。由磁场边界条件可知：铁心内的磁感应强度与空气中的磁感应强度相等，即→
→
=0B B ,当两个区域中的磁场强度
不同，于是
NI t H t r H l d H l
=+-=??→
→00)2(??π
这里t
为空气隙的宽度，且02r t π<<，在磁环内，μ
→→=B H ，在空气隙中，0
0μ→
→=
B H ，代入上式得
NI t B t r B =+
-0
0)2(μπμ
?
?
将上式中左边分子分母同乘以面积S ，则上式又可改写为
1
00002)2(-???
? ??+-=Φ?=+-ΦS t S t r NI NI S t S t r μμπμμπ
铁心和空气隙中的磁感应强度为
1
002-???? ?
?+-=Φ
=μμπt t r NI S B 而磁路中?
H 和0?H 分别为 []
10000)(2--+==
μμμπμμ
?
?t r NI B H
[]10000
)(2--+==μμμπμμ??t r NI B H 二、习题
4.10 一根通有电流I 的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中，求出→
H 、→
B 、→
M 及磁化电流分布。 解：利用安培环路定律：
r
I a H I l d H C
π?
2→
→→→=?=?? 所以： r
I a
H B πμμ?
2→
→→== r
I a H H H B
M 00002)(πμμμμμμ?
-==-=→→→
→
→
→
所以磁化电流密度：
00
1=??????=
??=→
→
→
→→?
??M z r a a r a r M J z
r
m r
I a n M J z
m 002)(πμμμ--=?=→
→
→
→
4.11（略）
4.17 本题与例4.6.1解法完全相同，故省略。
第五章 时变电磁场
一、例题
1、例题5.4.1（P 140） 已知自由空间中)sin(0z t E a E y βω-=→
→
，求时变电磁场的磁场分量→H ，并说明场→E 和→
H 构成了一个沿z 方向传播的行波。
解：由麦克斯韦方程t
B E ??-=??→
→
可得
t B E z y x a a a y
z
y x ??-=??????→→
→
→
即 t
B z t E a x ??-=-→
→
)cos(0
βωβ 对时间积分可得
)sin(0
z t E a B x
βωω
β--=→
→ 这里积分常数忽略不计，于是
)sin(00z t E a H x
βωω
μβ--=→
→
由此可见，场→
E 和→
H 相互垂直，它们随时间和空间是按正弦波的方式传播的，它是一个行波。
2、例5.5.1（P 144）在两导体平板（d z z ==,0）限定的空气中传播的电磁波，已知波的电场分量为
)cos()cos(0x k t d
z
E a E x x -=→→ωπ式中，x k 为常数。
（1）试求波的磁场分量；（2）验证波的各场分量满足边界条件；（3）求两导体表面上的面电荷和面电流密度。 解：（1）由麦克斯韦第二方程
t
H E ??-=??→
→
μ可得
)sin()cos(100
0x k t d z E k a x E a y E a t H x x y z
y z x -=???? ?
???-??-=??→→→→
ωπμμ
于是
)cos()cos()sin()cos(0000x k t d
z
E k a dt x k t d
z
E k a H x x
y
x x y --=-=→→
→
?ωπωμωπμ （2）由导体与空气的边界条件可知，在0=z 和d z =的导体表面上应该有电场强度的切向分量→
t E 和磁感应强度的法向分
量0=n
B 。而当0=z 和d z =时，0===t y x E E E 和0==n z B B ，可见电磁波的场分量自然满足边界条件。
（3）由导体与空气的边界条件可知，在导体的表面上有
n S E 0ερ=和→
→
→
?=H n J S
在0=z 的表面上，→
→
=z a n 。于是
)cos(000
0x k t E E x z z
S -===ωεερ
)
cos()cos()
(00000
x k t E k a x k t E k a a H
a J x x
x
x x
y z z z S -=--?=?=→
→
→
=→
→
→
ωω
μωω
μ
在d z =的表面上，→
→-=z a n 。于是
)cos(000x k t E E x d
z z
S --===ωεερ
)
cos()cos()()(0000x k t E k a x k t E k a a H
a J x x
x
x x
y
z d
z z S -=-?-=?-=→
→
→
=→
→
→
ωω
μωω
μ
二、习题
5.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场)(cos 5mT t a B z ω→
→
=，滑片的位置由
[])cos 1(35.0t x ω-=确定，轨道终端接有电阻Ω=2.0R ，试求i 。
解：磁通量为：
→
→?=ΦS B
)7.0(2.0cos 5x t -??=ω
)]cos 1(35.07.0[cos t t ωω--?= )cos 1(cos 35.0t t ωω+=
所以，感应电动势为：
dt
d u Φ-
= 故：
)cos (cos 75.112t t dt
d
dt d R R u i ωω+-=Φ-==
))(cos 21(sin 75.1mA t t ωωω+=
5.2（略）。 5.15（略）。
5.16 本题与例5.5.1解答过程完全相同，故略。 5.17（略）。
5.22 在1=r μ和50=r ε的均匀区域中，有
T
e H a B m V e
a E z t j m y z t j z )(0)
(,/20βωβωμπ-→
→-→
→==
如果波长为m 78.1=λ
，求ω和m H 。
解：由由麦克斯韦方程t
B E ??-=??→
→
可得
t B E z y
x a a a z
z
y x ??-=??????→→
→
→
即
?=???-=??-??→
→→
m z y z x H t
B x E a y E a （自己求哈）
?
278.1222==?====με
λπ
ωπβπμεωπλk （自己求哈）
第六章 平面电磁波
例题6.2.1 频率为100MHz 的正弦均匀平面电磁波在各向同性的均匀理想介质中沿)(z +方向传播，介质的特性参数为4=r ε，
1=r
μ。设电场只有x 方向的分量，即x x E a E
→
→
=；当m z t 8
1,0==时，电场等于其振幅m V /104-，试求：
（1）该正弦电磁波的),(t z E →
和),(t z H →
； （2）该正弦电磁波的传播速度；
（3）该正弦电磁波的平均坡印廷矢量。
解：各向同性的均匀理想介质中沿)(z +方向传播的正弦均匀平面电磁波可由标准的余弦函数来表示，即 )cos(),(φβω+-=→
→
z t E t z E m
而波的电场分量是沿x 方向的，因此，波的电场分量可写成
)cos(),(x m x z t E a t z E φβω+-=→
→
式中m V E m /104-=。
而
m rad f k /3
44200π
εμπμεωβ=
=== 再由m z t 81,0==时，
m V E E m x /10)0,8
1(4-==得
0=+-x z t φβω
故
6
8164ππβφ=?=
=z x
则
（1）)/)(6
34102cos(10),(84m V z t a t z E x π
ππ+-
?=-→
→
)/)(6
34102cos(10601),(84m A z t a E a H a t z H y
x
y
y y ππππη
+-?===-→
→
→
→
（2）波的传播速度为
s m /105.1411
80
0?==
=
εμμε
ν
（3）波的电场和磁场分量的复矢量可写成
)6
34(
410π
π---→
→
=z j x e
a E ，
)6
34(
46010πππ
---→
→
=z j y e
a H
故波的平均坡印廷矢量为
2
8)6
34(4)634(4*/120106010)10Re(21
)Re(21m W a e a e a H E S z
j y z j x π
π
πππ
π
-→
--→---→→→→
=?=?=
习题部分；由于本章习题与上题解法基本相似，故不再赘述。
1. 真空中，有一导线上电荷均匀分布且电荷密度为ρl ，形状为半圆、半径为a ，求在圆心处电场的大小和方向。
建立坐标系统，半圆轴线为x ，半圆中间为y
则E =?
π
φ?περ?
2
0)(14
ad e a l e r y
=-φφ+φπερ?
π
d l
e a
y
)cos (sin 0
=-
y a e l πφ-περ00)cos (4=-a
y l e 02περ
2.在自由空间中，沿+y 方向传播的平面波，它的磁场强度为
H =y e ·4×10-6cos(107πt-ky+4
π)(A/m)
求：(1)波数k (2) E
的大小和方向。
(1)k=ω/c=
8
710310?π
=π/30 (rad/m)
(2)E =－?η?x e
4)4
y 30t 10cos(1076
π+π-π?-
=-)4
y 30t 10cos(10508.1e 73
x π+π-π?-
1.
半径为R 的无限长直圆柱体内均匀带电、电荷的体密度ρ，求场强分布，并画出E －r 曲线。(示意图)
2.在自由空间中，已知电场 (z,t)= (9π×108t －kz) (V/m) 求：(1)波数 (2) 磁场强度。