【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第17讲 差倍问题(教师版)

第17讲差倍问题

掌握差倍问题的基本解法以及相关的年龄等应用题.

熟练应用通过图示来表示数量关系．

差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。

解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量

差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－1)=1倍数(较小数)

1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数

解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．

年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。

例1、李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？

【解析】引导学生画图，但是一定要强调差所对应的份数，

这样我们就可以求一份量（一倍量），从而解决题目．

与18只相对应，这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数，

求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求出来了．

鸭与鹅只数的倍数差是312

-=（倍），

鹅有1829

÷=(只)，鸭有9327

?=(只).

例2、箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球．每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了几次之后，乒乓球恰好没有了，羽毛球还有6个，则一共取了__________次，原来有乒乓球和羽毛球各__________个．典例分析

知识梳理

教学目标

【解析】共取了6(53)3

?=(个)，

÷-=(次)，原有乒乓球5315

所以原有羽毛球也是15个．

取3次，羽毛球15个，乒乓球15个

例3、甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同．若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相当于甲自学1天的时间．问：甲、乙原定每天自学的时间是多少？

【解析】改变后，甲每天比乙多自学1小时，即60分钟．

它是乙现在五天自学的时间，

即乙现在每天自学：60(61)12

÷-=（分），

原来每天自学的时间是：123042

+=（分）．

例4、思考乐学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，思考乐学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？

【解析】这不是一道典型的“差倍问题”，但我们可以通过适当的变形，将其作为一个典型的“差倍问题”来解决．见上图。

由于白笔比彩笔的4倍多3箱，故把彩笔看做1倍数，(白笔－3)就相当于彩笔的4倍，

即彩笔比(白笔－3)少3倍，注意此时白笔比彩笔多15312

-=（箱）．

彩色粉笔的箱数1234

÷=(箱)，白色粉笔的箱数：4+15=19(箱)．

例5、有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍，两根铁丝各剩下多少米？

【解析】用去同样长的一段后，两段长度18108

-=差为：（米），

且第一根比第二根多：312

-=（倍），

则第二根剩下：824

÷=（米），

第一根剩下：4312

?=（米）．

例6、某养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的6倍，后来公鸡、母鸡各增加60只，母鸡的只数变为公鸡只数的4倍，则养鸡场原来一共养了___________只鸡。

【解析】要保持母鸡是公鸡的6倍，母鸡增加60，公鸡就要增加360，

所以360－60＝300就是差的2倍，

现在有150只母鸡，原来有90只母鸡，一共养了630只鸡。

例7、为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。回校后，小明补给小光28元。小明、小光各带了______ 元，每本书价______ 元。

【解析】小明比小光多拿26-18=8本书，同时小明多掏了28×2=56元钱，

所以一本书，56÷8=7元，他们各自带了18×7-28=154元钱

例8、爸爸今年38岁，佳佳今年2岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的5倍？

【解析】父女年龄差是：38236

-=（岁），这个数量是不会变化的，这一点很关键.

当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁，

这36岁是父亲比女儿多的514

-=倍所对应的年龄.

-=（年），

-÷-=（岁），927

(382)(51)9

即7年后，父亲的年龄是佳佳的5倍

例9、姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，几年后姐弟俩岁数和是40岁？姐姐到时多少岁了？

【解析】由题意，姐弟俩今年的年龄和是13922

+=（岁），

用几年后姐弟俩的岁数和40岁减去今年姐弟俩的年龄和22岁，

就得到姐弟俩经过的年数和，即为402218

-=（年），最后再除以2，

就求出姐弟俩每人经过的年数.经过的年数都是：1829

÷=（年）．

可以求出姐姐的年龄是13922

+=

用线段图显示数量关系.姐弟俩的年龄差总是1394

-=（岁），

不管经过多少年，姐弟年龄的差仍是4岁，

由图可见，如果从40岁中减去姐弟年龄的差，再除以2就得到所求的弟弟的年龄，

也就可以求出姐姐的年龄了.

弟弟的年龄：(404)218

-÷=（岁），

姐姐的年龄：18422

+=（岁）．

例10、红星学校花坛放有红黄蓝三种颜色的花，已知蓝花比红花多20盆；黄花比红花的4倍多30盆，又是蓝花数量的3倍，则有________盆黄花。

【解析】设红花是3份，黄花是12份多30，是蓝花的3倍，

所以蓝花就是4份多10，蓝花比红花多20，那么1份就是10，

红花30盆，黄花150盆，蓝花50盆。

例11、小丸子家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只，白鸡的只数是黄鸡2倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共多少只？

【解析】以黄鸡的只数为标准，画图如下：

白鸡的只数是黄鸡的2倍，所以黄鸡：18÷（2－1）＝18（只），白鸡：18×2＝36（只），

黑鸡：18－13＝5（只），三种鸡共有：18+36+5＝59（只）

例12、小明、小红、小玲共有73块糖．如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍．问小红有多少块糖？

【解析】如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多，

说明小玲比小红多3块；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍，

即小明的糖加2是小红的糖减2后的2倍，

说明小明的糖是小红的糖的2倍少2226

?+=块．

所以，小红有(7336)(112)19

-+÷++=块糖。

实战演练

?课堂狙击

1、甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

【解析】乙班的本数：80÷（3-1）=40（本）

甲班的本数：40×3=120（本）或40＋80=120（本）。

2、两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的5倍，甲书架比乙书架存书多120本，则乙书架存书多少本？

【解析】多的120本相当于乙书架的4倍，则乙书架的书为：120430

÷=（本）．

3、某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加室内、室外活动的共有多少人?

【解析】原来室外、室内活动人数相差480人，现把室内的50人改为室外活动，

这样室外活动人数比室内人数多480502580

+?=(人)，

这时室外活动人数正好是室内人数的5倍，580人相当于现在室内活动人数的514

-=(倍)，这样可先求出现在室内活动人数为5804145

÷=，

再求出室内、外人数之和：145(51)870

?+=人．

4、小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍.问：原来两人各有多少本书？

【解析】小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍.这个“倍数”是变化后的，所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图).“差”是20＋5＋11＝36(本).，

小云现有书：(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)；

小云原来有书18＋5＝23(本)，

小雨原来有书23＋20＝43(本).

5、思考乐学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？

【解析】把彩笔看做1倍数，(白笔＋3)就相当于彩笔的4倍，

即彩笔比(白笔－3)少3倍，

注意此时白笔比彩笔多15+3=18箱．

彩色粉笔的箱数：1836

÷=(箱)，

白色粉笔的箱数：61521

+=(箱)

6、有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度是短纸带剩下的3倍，问剪下的一段有多长？

【解析】长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长：21138

-=（厘米），

短纸带剩下：8(31)4

÷-=（厘米），

剪下：1349

-=（厘米）．

7、两根绳，第一根长64米，第二根长52米，剪去同样长后，第一根是第二根的3倍，求每根绳减去几米？【解析】剪去同样长后，第一根比第二根长(6452)

-米，

因此，第二根剩下的长为(6452)(31)6

-÷-=米，

从而剪去的长度为52646

-=米．

?课后反击

1、两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？

【解析】已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出：

第二块布比第一块布多剩多少米？31-19＝12（米），

第一块布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米）

第一块布原有多少米？4+31=35（米）（两块布原有长度相等），

综合列式：（31-19）÷（4-1）+31=12÷3+31=4＋31=35（米）

2、甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍．甲桶原来有油多少千克？

【解析】后来乙比甲多141630

+=千克油，

所以这时甲桶油的重量是：30(41)10

÷-=(千克)，

甲桶原来有油101626

+=(千克) ．

3、食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？【解析】因每天用掉的面粉和大米数量相等，

不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是：138-94=44（千克）。

我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份，

则几天后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。

用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，

可以得出所求的天数：（94-22）÷9=8（天）。

4、兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去300元，妹妹用去40元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等．哥哥带了元钱，妹妹带了元钱．

【解析】哥哥用去300元，妹妹用去40元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等．

可以得到妹妹带了30040260

-=元）钱，

那么哥哥带了260260520

+=（元）钱．

5、两个筐中各有苹果若干千克，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从第一个筐中取出26千克苹果，从第二个筐中取出2千克苹果，则两筐苹果的重量相等．这两个筐中原来各有苹果多少千克?

【解析】从图中可以看出

第一个筐中的苹果是第二筐的4倍，则第二筐的苹果数是一倍数．

如果第二筐中少取出2千克，剩下的重量就正好相当于1倍，

那么两筐苹果的相差数26－2＝24(千克)，相当于第二筐原来重量的3倍．

两筐苹果的差和倍差都知道了，就可以求出两筐苹果原来的重量．

两筐苹果的倍数差是4－1＝3（倍），

两筐苹果相差26－2＝24(千克)，

第二筐原来有苹果重量24÷3＝8(千克)，

第一筐原来有苹果重量8×4＝32（千克）.

6、小新家有大小两个书架，大书架上的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架上取走150本放到小

书架上，那么两个书架上的书一样多，大小书架上原来各有多少本书?

【解析】根据从大书架上取出150本书放人小书架，两个架上的书的本数相等，

知大书架比小书架多150×2＝300本．

这样就可以作为一道典型的“差倍问题”来进行解答了．

由于大书架上的书是小书架的3倍，把小书架上书的本数看做1倍量，

大书架比小书架多300本对应于小书架的(3－1)倍量．

大书架比小书架多的书数：150×2＝300(本)，

两个书架相差几倍：3－1＝2倍，

小书架原有书：300÷2＝150(本)，

大书架原有书：150×3＝450(本)．

7、爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；六年后，爸爸比妈妈大4岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？

【解析】六年后，爸比妈大4岁，即爸妈的年龄差是4岁.它是一个不变量.

所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是4岁.

这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是4岁，求二人各是几岁”

的和差问题．

爸爸年龄：(724)238

+÷=（岁），妈妈的年龄：38434

-=（岁）

1、为了过冬，小白兔和小黑兔都储藏了一些胡萝卜。已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3倍。它们各吃了5个胡萝卜后，小白兔剩下的胡萝卜数量是小黑兔剩下数量的4倍。那么它们剩下的胡萝卜共有个。

【解析】小黑兔剩下胡萝卜的数量是3×5-5=10个，

它们剩下的胡萝卜共有10+10×4=50个。

2、由图知，小芳原来有球个。

【解析】根据题意，如果首先我们把小华给小芳1个球后小华的球的个数看作1倍量，

那么此时小芳的球的个数就是2倍量。

然后，小芳再给小华10个球，小华应该是小芳的3倍，

即就是1倍量加10等于2倍量减10的3倍，

也就是1倍量加10等于6倍量减30.

所以（30+10）÷（6-1）=8（个）为1倍量，

故小芳原来的球的个数就是8×2-1=15（个）。

解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．

年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。

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