椭圆讲义学生版
椭圆讲义
1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质： 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210x y a b a b +=>> ()22
2210y x a b a b
+=>> 范围
a x a -≤≤且
b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤
顶点
()1,0a A -、()2,0a A
()10,b B -、()20,b B
()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B
轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距 ()222122F F c c a b ==-
对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称
离心率
)2
2101c b e e a a
==-<<
准线方程 2
a x c
=±
2
a y c
=±
3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则
12
12F F e d d M M ==． 四、常考类型
类型一：椭圆的基本量
1．指出椭圆36492
2
=+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率.
举一反三：【变式1】椭圆
116
252
2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________
【变式2】椭圆
125
162
2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ?的周长1ABF C ?=___________.
【变式3】已知椭圆的方程为11622
2=+m
y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。 A ．－4≤m ≤4且m ≠0 B ．－4＜m ＜4且m ≠0 C ．m ＞4或m ＜－4 D ．0＜m ＜4 【变式4】已知椭圆mx 2
+3y 2
－6m=0的一个焦点为（0，2），求m 的值。
类型二：椭圆的标准方程
2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点???
?
?2523-，。
举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，，且椭圆经过点）（0,5。
【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14
92
2=+y x 有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。
3．求经过点P （－3，0）、Q （0，2）的椭圆的标准方程。
举一反三：【变式】已知椭圆经过点P （2，0）和点)2
3
3,1(Q ，求椭圆的标准方程。
4．求与椭圆4x 2
+9y 2
=36有相同的焦距，且离心率为5
5
的椭圆的标准方程。
【变式1】在椭圆的标准方程中
，
，则椭圆的标准方程是（ ）
A ．
1353622=+y x B ．135
362
2=+x y C ．13622=+y x D ．以上都不对 【变式2】椭圆过（3，0）点，离心率3
6
=e ，求椭圆的标准方程。
【变式3】长轴长等于20，离心率等于5
3
，求椭圆的标准方程。
【变式4】已知椭圆的中心在原点，经过点P （3，0）且a=3b ，求椭圆的标准方程。
类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
5．已知椭圆一条准线为4+=x y ，相应焦点为），（1-1，长轴的一个顶点为原点O ，求其离心率的取值。
举一反三：【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A.
63 B.33 C.2
3 D. 不确定 【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）
【变式3】椭圆122
22=+b
y a x 上一点到两焦点的距离分别为
，焦距为
，若
成等差数列，
则椭圆的离心率为__________。
【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。
6．已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3
221π
=∠PF F ，
求其离心率的取值范围。
举一反三： 【变式1】 已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭
圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ，求椭圆离心率的取值范围。
【变式2】已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ），以，，为系数的关于的方程
无
实根，求其离心率的取值范围。
类型四：椭圆定义的应用 7．若一个动点P （x ，y ）到两个定点A （－1，0）、A ＇（1，0）的距离的和为定值m （m>0），试求P 点的轨迹方程。
举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆
B ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段
C ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线
D ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段
【变式2】已知A （0，－1）、B （0，1）两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【变式3】已知圆，圆A 内一定点B （2，0），圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心
P 的轨迹方程。
类型五：坐标法的应用 9．△ABC 的两个顶点坐标分别是B （0，6）和C （0，－6），另两边AB 、AC 的斜率的乘积是9
4
-，求顶点A 的轨迹方程。
举一反三：【变式1】已知A 、B 两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为9
4-，则M 的轨迹方程是（ ）
A ．19
100
252
2=+y x B ．）（5191002522±≠=+x y x C ．
125422522=+y x D ．1254
2252
2=+y x （0≠x ） 【变式2】△ABC 两顶点的坐标分别是B （6，0）和C （－6，0），另两边AB 、AC 的斜率的积是9
4
-，则顶点的轨迹方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【变式3】已知A 、B 两点的坐标分别是（－1，0）、（1，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为m （m ＜0），求点M 的轨迹方程并判断轨迹形状。
五、典型例题
例1 已知椭圆0632
2
=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，
P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．
例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．
例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3
5
2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
例5 已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，
θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）．
例6 已知动圆P 过定点()03，
-A ，且在定圆()64322
=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
例7 以椭圆
13
1222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．
例8 已知方程
1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆，求k 的取值范围．
例9 已知1cos sin 2
2
=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．
例10 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．
例11 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．
例12 椭圆
19
252
2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．
2
3
例13 在面积为1的PMN ?中，2
1
tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．