高中物理曲线运动专题训练答案

高中物理曲线运动专题训练答案

一、高中物理精讲专题测试曲线运动

1．有一水平放置的圆盘，上面放一劲度系数为k的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端系一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，开始时弹簧未发生形变，长度为l．设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力．求：

（1）盘的转速ω0多大时，物体A开始滑动？

（2）当转速缓慢增大到2ω0时，A仍随圆盘做匀速圆周运动，弹簧的伸长量△x是多少？

【答案】（1）

g

l

μ

（2）

3

4

mgl

kl mg

μ

μ

-

【解析】

【分析】

（1）物体A随圆盘转动的过程中，若圆盘转速较小，由静摩擦力提供向心力；当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．物体A刚开始滑动时，弹簧的弹力为零，静摩擦力达到最大值，由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求解角速度ω0．

（2）当角速度达到2ω0时，由弹力与摩擦力的合力提供向心力，由牛顿第二定律和胡克定律求解弹簧的伸长量△x．

【详解】

若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与静摩擦力的合力提供向心力．

（1）当圆盘转速为n0时，A即将开始滑动，此时它所受的最大静摩擦力提供向心力，则有：

μmg＝mlω02，

解得：ω0=

g l μ

即当ω0＝

g

l

μ

A开始滑动．

（2）当圆盘转速达到2ω0时，物体受到的最大静摩擦力已不足以提供向心力，需要弹簧的弹力来补充，即：μmg+k△x＝mrω12，

r=l+△x

解得：

3

4

mgl x

kl mg

μ

μ

-

V＝

【点睛】

当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件．本题关键是分析物体的受力情况．

2．如图所示，带有

1

4

光滑圆弧的小车A 的半径为R ，静止在光滑水平面上．滑块C 置于木板B 的右端，A 、B 、C 的质量均为m ，A 、B 底面厚度相同．现B 、C 以相同的速度向右匀速运动，B 与A 碰后即粘连在一起，C 恰好能沿A 的圆弧轨道滑到与圆心等高处．则：(已知重力加速度为g ) (1)B 、C 一起匀速运动的速度为多少？

(2)滑块C 返回到A 的底端时AB 整体和C 的速度为多少？

【答案】（1）023v gR =（2）123gR

v =253gR v =【解析】

本题考查动量守恒与机械能相结合的问题．

(1)设B 、C 的初速度为v 0，AB 相碰过程中动量守恒，设碰后AB 总体速度u ，由

02mv mu =，解得0

2

v u =

C 滑到最高点的过程： 023mv mu mu +='

2220111

23222

mv mu mu mgR +?=+'? 解得023v gR =

(2)C 从底端滑到顶端再从顶端滑到底部的过程中，满足水平方向动量守恒、机械能守恒，有01222mv mu mv mv +=+

22220121111222222

mv mu mv mv +?=+? 解得：123gR

v =

253gR v =

3．如图1所示是某游乐场的过山车，现将其简化为如图2所示的模型：倾角37θ=o 、长

60cm L =的直轨道AB 与半径10cm R =的光滑圆弧轨道BCDEF 在B 处平滑连接，

C 、F 为圆轨道最低点，

D 点与圆心等高，

E 为圆轨道最高点；圆轨道在

F 点与水平轨道F

G 平滑连接整条轨道宽度不计．现将一质量50g m =的滑块(可视为质点)从A 端由

静止释放．已知滑块与AB 段的动摩擦因数10.25μ=，与FG 段的动摩擦因数20.5μ=，

sin370.6=o ，cos370.8=o ．

（1）求滑块到达B 点时的动能1E ； （2）求滑块到达E 点时对轨道的压力N F ；

（3）若要滑块能在水平轨道FG 上停下，求FG 长度的最小值x ；

（4）若改变释放滑块的位置，使滑块第一次运动到D 点时速度刚好为零，求滑块从释放到它第5次返回轨道AB 上离B 点最远时，它在AB 轨道上运动的总路程s ．

【答案】（1）0.12J ；（2）0.1N ；（3）0.52m ；（4）0.58m 【解析】 【分析】 【详解】

（1）滑块由A 点到达B 点的过程中，重力做正功，摩擦力做负功，设B 点速度为B v ，且从A 端由静止释放，根据动能定理可得：

2

11sin cos 02

B mgL mgL mv θμθ-=

-……① 2

112

B E mv =

……② 由①②代入数据可解得：10.12J E =；

（2）滑块在BCDEF 光滑圆弧轨道上做圆周运动，从B 点到E 点，设到达E 点时速度为

E v ，根据动能定理可得：

22

111cos 22

E B mgR mv mv θ-+=-?（）③

且由轨道对滑块的弹力N 和重力提供向心力，则有：

2E

v N mg m R

+=……④

根据牛顿第三定律，轨道对滑块的弹力N 和滑块对轨道的压力N F 是一对相互作用力，则有：

N 0.1N F =……⑤

由③④⑤代入数据可解得：

N 0.1N F =；

（3）在BCDEF 圆弧轨道上只有重力做功，则从B 点到F 点，机械能守恒，则有：

1(1cos 0.13J F E E mgR =+-=）θ⑥

滑块在FG 轨道上由于摩擦力的作用做匀减速运动，且最终停下，根据动能定理可得：

20F mgx E μ-=-……⑦

由⑥⑦代入数据可解得：

0.52m x =

（4）该变释放滑块的位置，设此时距离B 点距离为1s ，此时滑块到达D 点时速度刚好为零，根据动能定理有：

111sin cos cos 0mgs mgs mgR θμθθ--=……⑧

设从D 点第一次返回到AB 轨道上离B 点最远时到B 点的距离为2s ，根据动能定理有：

122cos cos sin 0mgR mgs mgs θμθθ--=……⑨

设从CD 轨道第二次返回到AB 轨道上离B 点最远时到B 点的距离为3s ，根据动能定理有：

212133sin cos cos sin 0mgs mgs mgs mgs θμθμθθ---=……⑩

设从CD 轨道第三次返回到AB 轨道上离B 点最远时到B 点的距离为4s ，根据动能定理

有：313144sin cos cos sin 0mgs mgs mgs mgs θμθμθθ---=……?

设从CD 轨道第四次返回到AB 轨道上离B 点最远时到B 点的距离为5s ，根据动能定理

有：414155sin cos cos sin 0mgs mgs mgs mgs θμθμθθ---=……?

设从CD 轨道第五次返回到AB 轨道上离B 点最远时到B 点的距离为6s ，根据动能定理

有：515166sin cos cos sin 0mgs mgs mgs mgs θμθμθθ---=……?

滑块从释放到它第5次返回轨道AB 上离B 点最远时，它在AB 轨道上运动的总路程：

1234562222s s s s s s s =+++++……?

由⑧⑨⑩????代入数据可解得：

0.58m s ≈

4．如图所示，质量m =3kg 的小物块以初速度秽v 0=4m/s 水平向右抛出，恰好从A 点沿着圆弧的切线方向进入圆弧轨道。圆弧轨道的半径为R = 3.75m ，B 点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与水平轨道BD 平滑连接，A 与圆心D 的连线与竖直方向成37?角，MN 是一段粗糙的水平轨道，小物块与MN 间的动摩擦因数μ=0.1，轨道其他部分光滑。最右侧是一个半径为r =0.4m 的半圆弧轨道，C 点是圆弧轨道的最高点，半圆弧轨道与水平轨道BD 在D 点平滑连接。已知重力加速度g =10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求小物块经过B 点时对轨道的压力大小；

（2）若MN 的长度为L 0=6m ，求小物块通过C 点时对轨道的压力大小； （3）若小物块恰好能通过C 点，求MN 的长度L 。

【答案】（1）62N （2）60N （3）10m 【解析】 【详解】

（1）物块做平抛运动到A 点时，根据平抛运动的规律有：0cos37A v v ==? 解得：04

m /5m /cos370.8

A v v s s =

==?

小物块经过A 点运动到B 点，根据机械能守恒定律有：

()2211cos3722

A B mv mg R R mv +-?= 小物块经过B 点时，有：2

B

NB v F mg m R

-= 解得：()232cos3762N B

NB

v F mg m R

=-?+=

根据牛顿第三定律，小物块对轨道的压力大小是62N （2）小物块由B 点运动到C 点，根据动能定理有：

22011222

C B mgL mg r mv mv μ--?=

- 在C 点，由牛顿第二定律得：2

C

NC v F mg m r

+=

代入数据解得：60N NC F =

根据牛顿第三定律，小物块通过C 点时对轨道的压力大小是60N

（3）小物块刚好能通过C 点时，根据22C

v mg m r

=

解得：2100.4m /2m /C v gr s s =

=?=

小物块从B 点运动到C 点的过程，根据动能定理有：

22211222

C B mgL mg r mv mv μ--?=

- 代入数据解得：L =10m

5．如图甲所示，轻质弹簧原长为2L ，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L ．现将该弹簧水平放置，如图乙所示．一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接．AB 是长度为5L 的水平轨

道，B 端与半径为L 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 在竖直方向上．物块P 与AB 间的动摩擦因数0.5μ=，用外力推动物块P ，将弹簧压缩至长度为L 处，然后释放P ，P 开始沿轨道运动，重力加速度为g ．

（1）求当弹簧压缩至长度为L 时的弹性势能p E ；

（2）若P 的质量为m ，求物块离开圆轨道后落至AB 上的位置与B 点之间的距离； （3）为使物块P 滑上圆轨道后又能沿圆轨道滑回，求物块P 的质量取值范围．

【答案】(1)5P E mgL = (2) 22S L = (3)5

53

2

m M m ＃ 【解析】 【详解】

（1）由机械能守恒定律可知：弹簧长度为L 时的弹性势能为

（2）设P 到达B 点时的速度大小为

，由能量守恒定律得：

设P 到达D 点时的速度大小为，由机械能守恒定律得：

物体从D 点水平射出，设P 落回到轨道AB 所需的时间为

θ θ 22S L =

（3）设P 的质量为M ，为使P 能滑上圆轨道，它到达B 点的速度不能小于零 得54mgL MgL μ> 5

2

M m <

要使P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C ，得

21

2

B

Mv MgL '≤

21

42

p B

E Mv MgL μ=

'+

6．如图，AB 为倾角37θ=?的光滑斜面轨道，BP 为竖直光滑圆弧轨道，圆心角为

143?、半径0.4m R =，两轨道相切于B 点，P 、O 两点在同一竖直线上，轻弹资一端固

定在A 点另一自由端在斜面上C 点处，现有一质量0.2kg m =的小物块（可视为质点）在外力作用下将弹簧缓慢压缩到D 点后（不栓接）静止释放，恰能沿轨道到达P 点，已知

0.2m CD =、sin370.6?=、cos370.8?=，g 取210m/s ．求：

（1）物块经过P 点时的速度大小p v ；

（2）若 1.0m BC =，弹簧在D 点时的弹性势能P E ； （3）为保证物块沿原轨道返回，BC 的长度至少多大． 【答案】（1）2m/s (2)32.8J (3)2.0m 【解析】 【详解】

（1）物块恰好能到达最高点P ，由重力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：

mg=m 2

p v R

解得：

100.42m/s P v gR =?=

（2）物块从D 到P 的过程，由机械能守恒定律得：

E p =mg （s DC +s CB ）sin37°+mgR （1+cos37°）+

1

2

mv P 2． 代入数据解得：

E p =32.8J

（3）为保证物块沿原轨道返回，物块滑到与圆弧轨道圆心等高处时速度刚好为零，根据能量守恒定律得：

E p =mg （s DC +s ′CB ）sin37°+mgR （1+cos37°）

解得：

s ′CB =2.0m

点睛：本题综合考查了牛顿第二定律、机械能守恒定律的综合，关键是搞清物体运动的物理过程；知道圆周运动向心力的来源，即径向的合力提供向心力．

7．如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB 是一长为2R 的竖直细管，上半部BC 是半径为R 的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB 管内有一原长为R 、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R 后锁定，在弹簧上段放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m 的鱼饵到达管口C 时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g ．求： (1)质量为m 的鱼饵到达管口C 时的速度大小v 1; (2)弹簧压缩到0.5R 时的弹性势能E p ;

(3)已知地面欲睡面相距1.5R ，若使该投饵管绕AB 管的中轴线OO ' 。在90?角的范围内来

回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在

2

3

m 到m 之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S 是多少？

【答案】gR ；(2)3mgR ；(3)28.25R π 【解析】 【分析】 【详解】

(1)质量为m 的鱼饵到达管口C 时做圆周运动的向心力，完全由重力提供，则

2

1v mg m R

=

可以解得

1v =

(2)从弹簧释放到最高点C 的过程中，弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由系统的机械能守恒定律有

2

1102

F G W W mv +=

- 即

()2

1

2.502

F W mg R m

-=-

得

3F W mgR =

故弹簧弹性势能为E p =3mgR

(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m 的鱼饵离开管口C 后做平抛运动，设经过t 时间落到水面上，得

t =

= 离OO'的水平距离为x 1，鱼饵的质量为m 时

113x v t R ==

鱼饵的质量为

2

3

m 时，由动能定理 ()()2

1

2122.50323F W mg R m v ??-=- '???

整理得：

1

v ' 同理：

21

6x v t R ='= 114r x r R =+= 227r x r R =+=

鱼饵能够落到水面的最大面积S 是

()

222211

8.254

S r r R πππ=

-= 【点睛】

本题考查了圆周运动最高点的动力学方程和平抛运动规律，转轴转过90°鱼饵在水平面上

形成圆周是解决问题的关键，这是一道比较困难的好题．

8．如图所示，一质量为m =1kg 的小球从A 点沿光滑斜面轨道由静止滑下，不计通过B 点时的能量损失，然后依次滑入两个相同的圆形轨道内侧，其轨道半径R =10cm ，小球恰能通过第二个圆形轨道的最高点，小球离开圆形轨道后可继续向E 点运动，E 点右侧有一壕

沟，E 、F 两点的竖直高度d =0.8m ，水平距离x =1.2m ，水平轨道CD 长为L 1=1m ，DE 长为L 2=3m ．轨道除CD 和DE 部分粗糙外，其余均光滑，小球与CD 和DE 间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g =10m/s 2．求：

（1）小球通过第二个圆形轨道的最高点时的速度； （2）小球通过第一个圆轨道最高点时对轨道的压力的大小；

（3）若小球既能通过圆形轨道的最高点，又不掉进壕沟，求小球从A 点释放时的高度的范围是多少？

【答案】(1)1m/s （2）40N (3)0.450.8m h m ≤≤或 1.25h m ≥ 【解析】

⑴小球恰能通过第二个圆形轨道最高点，有：

22

v mg m R

=

求得：υ2gR ①

⑵在小球从第一轨道最高点运动到第二圆轨道最高点过程中，应用动能定理有： ?μmgL 1=

12mv 22?1

2

mv 12 ② 求得：υ12

212gL υμ+5

在最高点时，合力提供向心力，即F N +mg=2

1m R

υ ③ 求得：F N = m(

2

1R

υ?g)= 40N

根据牛顿第三定律知，小球对轨道的压力为：F N ′=F N =40N ④

⑵若小球恰好通过第二轨道最高点，小球从斜面上释放的高度为h1，在这一过程中应用动能定理有：mgh 1 ?μmgL 1 ?mg 2R =

1

2

mv 22 ⑤ 求得：h 1=2R+μL 1+2

22g

υ=0.45m 若小球恰好能运动到E 点，小球从斜面上释放的高度为h 1，在这一过程中应用动能定理有：

mgh 2?μmg(L 1+L 2)=0?0 ⑥ 求得： h 2=μ(L 1+L 2)=0.8m

使小球停在BC 段，应有h 1≤h≤h 2，即：0.45m≤h≤0.8m 若小球能通过E 点，并恰好越过壕沟时，则有 d =

12gt 2 →t =2d g

= 0.4s ⑦ x=v E t →υE =

x

t

=3m/s ⑧ 设小球释放高度为h 3，从释放到运动E 点过程中应用动能定理有： mgh 3 ?μmg(L 1+L 2)=

2

12

E mv ?0 ⑨ 求得：h 3=μ(L 1+L 2)+22E

g

υ=1.25m 即小球要越过壕沟释放的高度应满足：h≥1.25m

综上可知，释放小球的高度应满足：0.45m≤h≤0.8m 或 h≥1.25m ⑩

9．如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面上，一轻质弹簧一端固定在挡板上，另一端连接质量m B =0.5kg 的物块B ，B 通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量m A =4kg 的物块A 连接，细绳平行于斜面，A 在外力作用下静止在圆心角为α=60°、半径R=lm 的光滑圆弧轨道的顶端a 处，此时绳子恰好拉直且无张力；圆弧轨道最低端b 与粗糙水平轨道bc 相切，bc 与一个半径r=0.12m 的光滑圆轨道平滑连接，静止释放A ，当A 滑至b 时，弹簧的弹力与物块A 在顶端d 处时相等，此时绳子断裂，已知bc 长度为d=0.8m ，求：(g 取l0m/s 2) (1)轻质弹簧的劲度系数k ；

(2)物块A 滑至b 处，绳子断后瞬间，圆轨道对物块A 的支持力大小；

(3)为了让物块A 能进入圆轨道且不脱轨，则物体与水平轨道bc 间的动摩擦因数μ应满足什么条件？

【答案】（1）5/k N m = （2）72N （3）0.350.5μ≤≤或0.125μ≤ 【解析】

（1）A 位于a 处时，绳无张力弹簧处于压缩状态，设压缩量为x 对B 由平衡条件可以得到：sin B kx m g θ=

当A 滑至b 时，弹簧处于拉伸状态，弹力与物块A 在顶端a 处时相等，则伸长量也为x ，

由几何关系可知：2R x =，代入数据解得：5/k N m =； （2）物块A 在a 处和在b 处时，弹簧的形变量相同，弹性势能相同 由机械能守恒有：()22111sin 22

A B A A B B m gR cos m gR m v m v αθ-=++ 将A 在b 处，由速度分解关系有：sin B A v v α=

代入数据解得：/A v s =

在b 处，对A 由牛顿定律有：2A

b A A v N m g m R

-= 代入数据解得支持力：72b N N =． （3）物块A 不脱离圆形轨道有两种情况： ①不超过圆轨道上与圆心的等高点

由动能定理，恰能进入圆轨道时需要满足：2

1102A A A m gd m v μ-=-

恰能到圆心等高处时需要满足条件：22102

A A A A m gr m gd m v μ--=- 代入数据解得：10.5μ=，20.35μ=

②过圆轨道最高点，则恰好过最高点时：2

A A v m g m r

= 由动能定理有：22311222

A A A A A m gr m gd m v m v μ--=- 代入数据解得：30.125μ=

为使物块A 能进入圆轨道且不脱轨，有：0.350.5μ≤≤或0.125μ≤．

10．如图所示，在光滑水平桌面EAB 上有质量为m ＝2 kg 的小球P 和质量为M ＝1 kg 的小球Q ，P 、Q 之间压缩一轻弹簧(轻弹簧与两小球不拴接)，桌面边缘E 处放置一质量也为M ＝1 kg 的橡皮泥球S ，在B 处固定一与水平桌面相切的光滑竖直半圆形轨道。释放被压缩的轻弹簧，P 、Q 两小球被轻弹簧弹出，小球P 与弹簧分离后进入半圆形轨道，恰好能够通过半圆形轨道的最高点C ；小球Q 与弹簧分离后与桌面边缘的橡皮泥球S 碰撞后合为一体飞出，落在水平地面上的D 点。已知水平桌面高为h ＝0.2 m ，D 点到桌面边缘的水平距离为x ＝0.2 m ，重力加速度为g ＝10 m/s 2，求：

(1)小球P 经过半圆形轨道最低点B 时对轨道的压力大小N B ′； (2)小球Q 与橡皮泥球S 碰撞前瞬间的速度大小v Q ； (3)被压缩的轻弹簧的弹性势能E p 。

【答案】(1)120N (2)2 m/s (3)3 J 【解析】 【详解】

（1）小球P 恰好能通过半圆形轨道的最高点C ，则有

mg ＝m 2C

v R

解得

v C gR 对于小球P ，从B →C ，由动能定理有

22

11222

C B mgR mv mv －＝－

解得

v B 5gR 在B 点有

N B －mg ＝m 2

B

v R

解得

N B ＝6mg ＝120 N

由牛顿第三定律有

N B ′＝N B ＝120 N

（2）设Q 与S 做平抛运动的初速度大小为v ，所用时间为t ，根据公式h ＝

12

gt 2

，得 t ＝0.2 s

根据公式x ＝vt ，得

v ＝1 m/s

碰撞前后Q 和S 组成的系统动量守恒， 则有

Mv Q ＝2Mv

解得

v Q ＝2 m/s

（3）P 、Q 和弹簧组成的系统动量守恒，

则有

mv P ＝Mv Q

解得

v P ＝1 m/s

对P 、Q 和弹簧组成的系统，由能量守恒定律有

22

1122

p P Q E mv Mv ＝＋

解得

E p ＝3 J