指数运算与指数函数(教案)

指数运算与指数函数

高考要求

知识梳理

知识点一：有理数指数幂

1. n 次方根概念与表示

一般地，如果n

x ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且*

N n ．

2.根式概念

式子a n

叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

3.根式的性质

①

n a =.

②

||,a n a n ?=??，为奇数为偶数； 4.分数指数幂

正分数指数幂：a m

=√a m n

(a >0,m,n ∈N ?,n >1) 负分数指数幂：a ? m n =

a m n

√a m

a >0,m,n ∈N ?,n >1)

0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质

a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (a

b )r =a r b r (a >0,s ∈Q )

知识点二：指数函数的图像和性质

1.指数函数概念：

形如0(>=a a y x

且1≠a ）函数叫指数函数，其中x 是自变量，函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质

知识点三：指数函数性质的运用（比较大小）

指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大

考点解析

典型习题一：指数幂(根式)的化简与计算

例1、已知当27=x ,64=y 时，化简并计算

【解析】原式??=4561

2121311)32(5

6+--+-y x 24=61

y x 24=61

y ，

当27=x ,64=y 时，原式48224=?=. 例2、已知 01x <<，且1

3x x -+=，求112

x x -

-的值.

【解析】因为1

3x x -+=，则

1212

212

=-+=---x x x x ）（，因为01x <<，则01

1＜x

x x x x

x -=-=--，所以121

-=--x x

典型习题二：指数函数的图像问题

例1、已知函数2

()x f x m

-=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数

||1

()()x b g x a

+=的图象为（）

)(41(561

312112

2-----y x y x y

【解析】根据指数函数的性质，可得函数2

)(-=x m x f ，恒经过定点）

（1,2，即1,2==b a ,所以函数1

)

()(-=x x g ，当1-=x 时1)1(=-g ，且函数为偶函数，且在）

，（∞+1-上函数为单调递减函数，所以函数的图像为D 项，故选D . 例2、函数221()

x x

y -+=的值域是（）

A.R

B.1

[,)2

+∞ C.(2,)+∞ D.(0,)+∞

【解析】令22t x x =-+，则1()2

t y =，而22

2(1)11t x x x =-+=--+≤，所以11()22

y =≥

.故选B .

例3、函数12y ?=

???

的单调递增区间是．

【解析】由题意得，函数满足2

20x x -++≥，解得12x -≤≤，且函数()22f x x x =-++，在区间1

(,)2-∞上单调递增；在区间1[,)2+∞上单调递减，根据复合函数的单调性，可得

12y ?= ???

的单调增区间为1,22

?????

例4、若21

()4

x x +-≤，则函数2x y =的值域是（） A.1[,2)8 B.1,28??

????

C.1

(,]8

-∞ D.[2,)+∞ 【解析】将21

22(2)1

()=24

x x x +---≤化为212(2)x x +≤--，即2230x x +-≤，解得[]3,1x ∈-，所以31222x -≤≤，所以函数2x y =的值域是1,28??

????

.故选C .

例5、函数()()23201x

x f x a

a a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为8，则它在这个

区间上的最小值是．

【解析】由题意得，令0＞x

a t =，因为]1,1[-∈x ，当1＞a 时，则],1[a a

a t x

∈=，则

417

)23(23)(22-

+=-+=t t t x f ，所以当a t =，函数取得最大值，此时最大值为823)(2=-+=a a a f ，解得2=a ，所以函数的最小值为4

2213)21()21(2-=-?+=f ；

当10＜＜a 时，则]1

,[a

a a t x

∈=，则417)2

3(23)(2

-+=-+=t t t x f ，所以当a

t 1

=时，函数取得最大值，此时最大值为8213)1()1

=-?+=a a

a f ，解得2

=a ，所以函数的最小值为412213)2

1()21

-=-?

+=f ，所以函数的最小值为4

1-. 典型习题三：指数函数性质的运用（比较大小）

例1、已知3

=a ，5

42=b ，3

，则（）

A.c a b >>

B.b c a >>

C.a b c >>

D.b a c >>

【解析】因为3

42==a ，幂函数3

2x y =在）

，（∞+0上是增函数，5大于4，所以a c ==3

23245＞，又因为指数函数x

y 2=是增函数，3

54＞，所以a b ==34

5422＜，所以

c a b ＜＜，故选D .

达标训练

1．若0a >，且m ，n 为整数，则下列各式中正确的是（） A ．m m

n n

a a

÷=

B ．m

n mn a

a a ?=

C ．()

m n a a +=

D ．01n

a a

-÷=

2．化简12

[()]()21---的结果为（）

A ．9-

B ．7

C ．10-

D ．9

3 A ．0

B ．2()a b -

C ．0或2()a b -

D ．a b -

4．下列函数中：①23x

y =?；②13x y +=；③3x y =；④3

y x =.其中，指数函数的个数是

（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5．若函数x

a y )1(-=在实数集R 上为减函数，则a 满足（） A ．1＜a

B ．10＜＜a

C ．21＜＜a

D ．21＜＜a

6．函数1

2+=x y 的大致图象是（）

7．若10

2,104m

==，则32

m n

-= ．

8．化简并求值：

（1）25

008.0)949(82732

5.032

+--）（；（2

）

4133

223

8(14a a b a b

-÷-+ 9．已知函数()1

f x a =

++为奇函数，则a 的值为 . 10．求下列函数的定义域与值域：

（1

）y =

（2）21

x x y -=+；

（3

）y =

11．已知函数)(x f 的定义域是)2,1(，则函数)2(x

f 的定义域是（） A ．)1,0(

B ．)4,2(

C ．)1,2

D ．)2,1(

12．化简625625++-=___________

13．已知0a >，0b >，且b

a b =，9b a =，求a 的值. 14．已知1

3x x

-+=,求下列各式的值：

（1）1122

x x -+；（2）332

x -+

15．设函数11()7,0

()22,0x

x x f x x -?-

，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（）

A ．(,1)-∞

B ．(3,)-+∞

C ．(3,1)-

D ．(,3)

(1,)-∞-+∞

16．函数x

k x f -?=)((a k ,为常数，10≠a a ，且＞)的图象过点)1,0(A ，)8,3(B ．

（1）求函数)(x f 的解析式；

（2）若函数()1

()()1

f x

g x f x -=+，试判断函数)(x g 的奇偶性，并给出证明．

答案与解析 1.【答案】D

【解析】由指数幂的运算，A 、B 、C 错误，故选D ． 2.【答案】B

【解析】原式=12

6)2(17-=. 3.【答案】C

【解析】当0≥-b a 时，原式)(2b a b a b a -=-+-=；当0＜b a -时，原式

0=-+-=b a a b ，故选C .

4.【答案】B

【解析】①中x

3前面的系数不是1，不是指数函数；②中指数不是x 而是1+x ，不是指

数函数；③是指数函数；④中自变量在底数上，不是指数函数.所以指数函数的个数是1，故选B . 5.【答案】C

【解析】依题意，有011a <-<，即12a <<. 6.【答案】A

【解析】函数1

2+=x y 的图象是由函数x y 2=的图象向左平移一个单位长度得到的，观察

各选项可知选A . 7.

【解析】3331312

22222

10(10)(10)24m n

m n m n -=÷=÷=÷=．

8.【答案】（1）

；（2）a ．【解析】（1）原式97223

25432512

=-+?=；

（2）原式313

313

12)

2(2)()8(a

a a

b b a a b a a ?-?

++-=

a b a b a a

=--=

++3

313

31313131)

2()()

8(．

9.【答案】2

【解析】方法一：)(x f 为奇函数，

131,0)()(=+++++=+-∴-a a x f x f x

x 即

， 1131

31311312-=++-=+-+-=-x x x x a ，2

1-=∴a

方法二：由题意得a a f +=++=2

131)0(0

，又0)0(=f ，

-=∴a

10.【答案】（1）定义域为[0,)+∞，值域为[0,1)；（2）定义域为R ，值域为(1,1)-；（3）

定义域为(,1]-∞，值域为[1,)+∞.

【解析】（1）∵11()02

-≥，∴1()12

≤，解得0x ≥， ∴原函数的定义域为[0,)+∞.

令11()(0)2

t x =-≥，则01t ≤<，∴01≤，

∴原函数的值域为[0,1). （2）易知原函数的定义域为R .

由2121x x y -=+，得121x y y +=--，∵20x

>，∴101

y y +->-，∴11y -<<.

∴原函数的值域为(1,1)-. （3）∵10x -≥，∴1x ≤， ∴原函数的定义域为(,1]-∞.

0≥，∴1≥，

∴原函数的值域为[1,)+∞. 11.【答案】A

【解析】∵)(x f 的定义域是)2,1(，

101222221＜＜，即＜＜x x ∴

10＜＜x ∴故选A .

12.【答案】32

【解析】2322323223+?+++?-=原式 )23()23(++-= 32=

13.【解析】∵0a >,0b >，b

a b =，

∴1119

()()(9)a b a b b b a b a b a a =?=?=，

∴ 818

93a a a =?=?=

14．【答案】（1；（2）

【解析】（1）

11112

()2325x x x x x x

-+=++=+=，∴112

x x

3x x -+=，0x ∴>，1

x x -∴+=

（2）33113

22()()x x

x x -

+=+11111122

222

2()[()()]x x x x x

x -

=+-+

()[()1]1)x x x x --=++-=-=

15.【答案】C

【解析】当0a <时，不等式()1f a <可化为1

()712

-<，即1()82

<，解得30a -<<；当0a ≥时，不等式()1f a <可化为1

21a -<，所以01a ≤<．故a 的取值范围是(3,1)-故

选C ．

16.【答案】（1）x

x f 2)(=；（2）奇函数，证明见解析.

【解析】（1）由已知得3

k k a -=???=?，∴11,2k a ==，∴x

x f 2)(=.（2）函数)(x g 为奇函数．证明：21

()21

x x g x -=+，其定义域为R ，又

211221

()()211221

x x x x x x g x g x ------===-=-+++，∴函数)(x g 为奇函数．

课后训练

1．若210

25x

-=，则10x 的值为（）

A ．15±

B ．

15 C ．1

D ．1625

2．已知2

x x

-+=，且1x >，则22x x --的值为（）

A ．2或2-

B ．2-

C ．6

D ．2

3．化简：10.5

277(0.027)2______1259-

????

+-= ? ?

????

4．设 1.2

0.8

0.46

14,8

,2a b c -??=== ?

，则,,a b c 的大小关系是（）

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．c a b >>

D ．c b a >> 5．已知x

a x f -=)((10≠a a ，且＞)，且)3()2(f f ＞-，则a 的取值范围是（） A ．0＞a B ．1＞a C ．1＜a

D ．10＜＜a

6．当10≠a a ，且＞时，函数3)(2

-=-x a x f 的图象必过定点 .

7.= ． 8.已知函数1

2log )(2

--=x x x f 的定义域为集合A ，关于的不等式x

a a --22＜的解集为B ，若B A ?，求实数a 的取值范围．

9.（11

21()0.25(

2-+?；（2）已知1

3x x

+=，求221

x x x x --++++的值. 10.是否存在实数a ，使得函数

()()22101x x f x a a a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为14？若存在，求出a 的值；

若不存在，说明理由.

11.

12．已知函数1()3()3

x x

f x =-，则()f x （）

A ．是奇函数，且在R 上是增函数

B ．是偶函数，且在R 上是增函数

C ．是奇函数，且在R 上是减函数

D ．是偶函数，且在R 上是减函数

13.求函数11()()14

y =++的值域.

14．设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?，，，，

则满足1

()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .

15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（–∞，0）上单调递增.若实数a 满足

)(a f f ->，则a 的取值范围是 .

16．已知函数)10()(≠+=a a b a x f x

，＞的定义域和值域都是]0,1[-，则b

a += .

答案与解析 1.【答案】B 【解析】25)

10(2

=-x ，所以5

10=

x ，故选B . 2．【答案】D

【解析】2

()()44x x x x ---=+-=，因为1x >，所以22x x ->，所以22

2x x --=.

3．【答案】0.09

【解析】原式2

=0.0933

++-． 4．【答案】A

【解析】由题得 1.2

0.8 1.60.46 1.38 1.2142,82,22-??

====== ?

a b c ，又函数2=x y 在R 上

是增函数，所以a b c >>，故选A ． 5．【答案】D

【解析】因为32--＞时，且)3()2(--f f ＞)，所以函数x

a x f -=)((10≠a a ，且＞)

是增函数，所以10＜＜a .故选D . 6．【答案】()

2,2-

【解析】令20x -=，即2x =，则2)(,12

-=∴=-x f a x ，从而函数()f x 的图象过定

点()2,2-. 7.【答案】78

11117

82488

a a a a a

===. 所以答案应填：

a．

8.【答案】1

a≤-.

【解析】要使有意义，则，解得，

即

由，解得，

即

∴解得

故实数的取值范围是

9.【答案】（1）3

-；（2）

【解析】（1）原式3

)

(

（1）47

)

(

,32

∴

，

∴原式

10.【答案】

a=或.

【解析】令t

a x=，则1

y，开口向上，对称轴为1-

t，

当1

a时，?

∈a

，故函数1

y在?

上单调递增，故14

max

y，

解得3

a或5

a（舍去）

当1

∈

，，故函数1

y在?

，上单调递增，故

max

y，

解得

a或

a（舍去）

综上所述：a的值为

a=或.

11==. 12．【答案】A

【解析】()()113333x

x f x f x --????

-=-=-=- ?

???

，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数，13x

y ??

= ???

是减函数，根据增函数?减函数=增函数，可知该函数是增

函数，故选A .

13．令1()2

x t =，(0,)t ∈+∞，则2

131()2

y t t t =++=++

. 因为函数2

()2

y t =++

在(0,)t ∈+∞上单调递增，所以1y >，即函数11()()142

x x

y =++的值域为(1,)+∞.

14.【答案】),4

(+∞-

【答案】由题意得：当21＞x 时，12221

＞-+x x

恒成立，即21＞x ；当2

10≤x ＜时，

11212＞+-+x x 恒成立，即210≤x ＜；当0≤x 时，41

11211-?+-++＞＞x x x ，即

041≤-x ＜.综上，x 的取值范围是),4

(+∞-. 15.【答案】13

(,)

【解析】由题意知()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x

是偶函数，则不等式

)(a f f ->

可化为1

)a f f ->

，则1

a -<，即1

a -<

，解得1322a <<，即a 的取值范围为13(,)22

． 16．【答案】23

【解析】当01a <<时，函数)10()(≠+=a a b a x f x

，＞是减函数，在定义域]

0,1[-上，值域为11,b b a ??

++????，所以1110b b a

+=-???+=??，解得122a b ?=???=-?，

则()13=2=22a b ++--；当1a >时，函数)10()(≠+=a a b a x f x

，＞是增函数，在定义域]0,1[-上，值域为

11b b a ??

++????，，所以10

11b b a +=???+=-??

，此方程组无解.综上，得3=2a b +-.