概率论习题及答案详解

一、填空题

1. 掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是0.5

2. 把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率

1

15

3. 6．一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率27

4. 已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则()0.6

.P AB =

5. 已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P AB === 则(|)0.8

.P B A B ?=

6. 掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为

34

.

7. 设()0.4,()0.7,P A P A B =?= 若,A B 独立，则()0.5

.P B =

8. 设,A B 为两事件，11

()(),(|),36P A P B P A B === 则7

(|).12

P A B =

9. 设123,,A A A 相互独立，且2

(),1,2,3,3

i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概

率是

7.27

10．某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为0.104

二、选择题

1. 下面四个结论成立的是（B ）

.()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A

--=-?=??=??-=-?=若且则

2. 设()0,P AB =则下列说法正确的是（ D ） ...

()0()0.

()()

A A

B B AB

C P A P B

D P A B P A ==-=和不相容 是不可能事件或

3. 掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（ C ）

1.

.21

21

1.

0.5.

21

n

n A B n n n C D n -++++ 4. 设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有（ A ）

.()()..

()().

()()

A P A

B P A B B A

C P A P B

D P AB P A ?=?==

5. 设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ B ）

.A ．P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B )

.C P (A )+P (B )=1 .D ．P (A |B )=0

6．设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ A ）

.A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B )

.D P (A ∪B )=1

7. 已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =（ D ）

.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D 0.75

8．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ C ）

.A 0.125 .B 0.25 .C 0.375 .D 0.50

9．设事件,A B 互不相容，已知()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =（ B ）

.A 0.1 .B 0.4 .C 0.9 .D 1

10．已知事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则下列等式成立的是（ B ）

.A ()()()P A B P A P B ?=+ .B ()1()()P A B P A P B ?=-

.C ()()()P A B P A P B ?= .D ()1P A B ?=

三、 计算题

1. 一宿舍内住有6位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份概率。

解：设设事件A 为“至少有2个人的生日在同一个月份” ， 事件A 为“6个人

生日全不同月”，612

6()1()10.777212

P P A P A =-=-=。

2. 设猎人在猎物100米处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5，若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎人与猎物已相距150米，若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎人与猎物已相距200米，若第三枪还未命中，则猎物逃逸。假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率。 解：记X 为猎人与猎物的距离，因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比，所

以有()x

P X x k

==，又因为在100米处命中猎物的概率为0.5，

所以0.5(100),100k

P X === 从而50.k =

记事件,,A B C 分别为“猎人在100米，150米，200米处击中猎物”， 事件D 表示“猎人击中猎物”，则

1111213

()()()()2232344

P D P A P AB P ABC =++=

+?+??=.

3. 一个人的血型为,,,A B AB O 型的概率分别为0.37, 0.21, 0.08, 0.34，现在任意挑选4个人，试求：

(1) 此4个人的血型全不相同的概率； (2) 此4个人的血型全部相同的概率。 解：

(1) 四个人血型全不相同的概率为：1114

320.370.210.080.340.0507.C C C ??????= (2) 四个人血型全部相同的概率为：44440.370.210.080.340.0341+++=

4.一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两棵骰子24至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？

解：设事件A 为“一颗骰子掷4次，至少出现一次6点” ，则A 为“一颗骰子

掷4次，不出现一次6点” ，于是4

5()1()10.5177.6P A P A ??

=-=-= ???

设事件B 为“两颗骰子掷24次，至少出现一次双6点” ，则B 为“两颗骰

子掷24次，不出现双6点”，于是24

35()1()10.4914.36P B P B ??

=-=-= ???

从结果可以看出，赌徒的感觉是不对的，因为两者的概率相差0.0263，而概率相差0.0263的两个事件，在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别，只有从理论上才能认识到。

5 .考虑一元二次方程02=++C Bx x ，其中C B ,分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q 。

解：按题意知：}6,5,4,3,2,1,:),{(==ΩC B C B ，它含有36个等可能的样本点，所求的概率为：

)4()04(22C B P C B P p ≥=≥-=

而2

(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)(4,3){4}(5,3)(6,3)(4,4)(5,4)(6,4)(5,5)(6,5)(5,6)

(6,6)B C ??

?

?

≥= ?

?

??

含有19个样本点，所以 19.36

p =

同理 2(4)q P B C ==，而2{4}{(2,1),(4,1)}B C ==含有两个样本点，所以

21.3618

q =

=

6. 甲、乙、丙3位同学同时独立参加《数理统计》考试，不及格的概率分别为

0.4,0.3,0.5，

（1）求恰有两位同学不及格的概率；

（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.

解: 设321,,A A A 分别表示 “甲不及格”、“乙不及格”、“丙不及格”三事件, 由题意知321,,A A A 相互独立, 令A 表示“恰有2位不及格”, 则

321321321A A A A A A A A A A =

(1) 29

.05.03.06.05.07.04.05.03.04.0)

()()()(321321321=??+??+??=++=A A A P A A A P A A A P A P

(2) 29

/15)()

()()|(321321321321=+=

A P A A A P A A A P A A A A A A A P

7. 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解：记事件A 为“有一件事不合格品”，B 为“另一件也是不合格品”， 则

1

122

2222()(1)()(1)

(1)()(1)

m n m

m n n m n

C C C m n m m m P A C C n n C m m P AB C n n --+-=+=--=

=-

于是所求概率为：(1)

()1(1)

(|).2()(1)()21

(1)

m m P AB m n n P B A m n m m m P A n m n n ---===-+----

8. 设事件,A B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1

4

，求()P A 及()P B .

解：由题设知()()1/4.P AB P AB ==又因为,A B 独立，所有由

()()()1/4,

()()()1/4,P A P A P B P B P A P B -=??

-=?

解得()()0.5P A P B ==.

9. 将12个球随意放入3个盒子中，试求第一个盒子中有三个球的概率 解：将12个球随意放入3个盒子中，所有的结果共有123个。而事件“第一个盒子中有3个球”可分两步来考虑：第一步，12个球任取3个放在第一个盒子中，

这有123??

???

种可能；第二步，将余下的9个球随意放入第二个和第三个盒子中，

这有92种可能，于是所求概率为：

912

12230.2123

??? ???=。 10. 每次射击命中率为0.2，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小

于0.9？

解：设共射击n 次，记事件i A 为“第i 次射击命中目标”，1,2,,,i n = 则()0.2i P A =，由题设条件知：

12()1(0.8)0.9,n n P A A A ??=-≥

由此得0.80.1n ≤，两边取对数解得ln 0.1/ln 0.810.318,n ≥=所以11n =可满足题设条件。