30.十字相乘法及分组分解法(提高)知识讲解
十字相乘法及分组分解法（提高）
撰稿：康红梅责编：吴婷婷
【学习目标】
1.熟练掌握首项系数为1的形如x2+(p+q)x+pq型的二次三项式的因式分解.
2.基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.
3.对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因
式分解.(但应控制好难度)
4.掌握好简单的分组分解法.
【要点梳理】
【高清课堂400150十字相乘法及分组分解法知识要点】
要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
?pq=c
对于二次三项式x2+bx+c，若存在?
?p+q=b
，则x2+bx+c=(x+p)(x+q)要点诠释：（1）在对x2+bx+c分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c>0，则p、q同号(若c<0，则p、q异号)，然后依据一次项系数b的正负
再确定p、q的符号
（2）若x2+bx+c中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考
虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对
为止.
要点二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即
a=a a，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c c，把a，a，c，c排列如下：12121212
按斜线交叉相乘，再相加，得到a c+a c，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的
1221
一次项系数b，即a c+a c=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a x+c与122111
a x+c之积，即ax2+bx+c=(a x+c
2211
)(a x+c).
22
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号
里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
要点三、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法分类分组方法特点
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
分组
分解
三项、一项
五项三项、二项
先完全平方公式后平方差公式
各组之间有公因式
法
六项
三项、三项
二项、二项、二项
三项、二项、一项
各组之间有公因式
可化为二次三项式
要点四、添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.
【典型例题】
类型一、十字相乘法
1、分解因式：x2+(a+1)x-(6a2-13a+6)
【答案与解析】
解：原式＝x2+(a+1)x-(2a-3)(3a-2)
=??x-(2a-3)????x+(3a-2)??
=(x-2a+3)(x+3a-2)
【总结升华】将a视作常数，就以x为主元十字相乘可解决.
举一反三：
【变式】分解因式：3xy+y2+3x-4y-5
【答案】
解：原式=y2+(3x-4)y+3x-5=(y+3x-5)(y+1)
2、分解因式：
【思路点拨】该题可以先将
(a2-a)
看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十
字相乘.
【答案与解析】
解：因为
-2
(a2-a)-12(a2-a)=-14(a2-a)
所以：原式＝[－2][－12]
＝(a2-a-2)(a2-a-12)
＝
(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握.举一反三：
【变式】分解因式：(x2-3x)2-2(x2-3x)-8；
【答案】
解：原式=(x2-3x-4)(x
2-3x+2
)
=(x-4)(x+1)(x-1)(x-2)
3、分解下列因式
(1)(x2+x+1)(x2+x+2)-12(2)(x2+3x-3)(x2+3x+4)-8
【答案与解析】
解：（1）令x2+x+1=t，
则原式=t(t+1)-12=t2+t-12=(t+4)(t-3)=(x2+x+5)(x2+x-2)
=(x+2)(x-1)(x2+x+5)
（2）令x2+3x=m，
原式=(m-3)(m+4)-8=m2+m-20=(m+5)(m-4)
=(x2+3x+5)(x2+3x-4)=(x+4)(x-1)(x2+3x+5)
【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事.
类型二、分组分解法
4、分解因式：x2-2x y+y2+3x-3y+2
【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成(x-y)2，第4、5项→3(x-y).
【答案与解析】
解：原式=(x-y)2+3(x-y)+2=(x-y+1)(x-y+2)
【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字
母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法.
举一反三：
【高清课堂400150十字相乘法及分组分解法例4】
【变式】分解因式：（1）a2-b2+ac+bc
（2）5a2-5b2-3a+3b
（3）3xy+y2+3x-4y-5
【答案】
解：（1）原式=(a+b
)(a-b)+c(a+b)=(a+b)(a-b+c)；
（2）原式=5
(a2-b2)-3(a-b)=5(a+b)(a-b)-3(a-b)=(a-b)(5a+5b-3)；
（3）原式=3xy+3x+y2-4y-5=3x(y+1)+(y+1)(y-5)=(y+1)(3x+y-5).
类型三、拆项或添项分解因式
5、拆项或添项分解因式
（1）4x2y2+xy-3；（2）x4+64；（3）x3-48x+7
【答案与解析】
解析：（1）原式=4x2y2+xy+149
-1616
149
=(2x y+)2-
416
3
=(2x y+2)(2x y-)
2
=(x y+1)(4xy-3)（2）x4+64
=x4+16x2-16x2+64
=(x2+8)2-16x2
=(x2+4x+8)(x2-4x+8)
（3）x3-48x+7
=x3-49x+x+7
=x(x2-49)+x+7
=(x+7)(x2-7x+1)
【总结升华】这一方法需很强的数感和创造的灵性，对提高我们的数式变形能力非常有帮助.肯定不能上来就漫无边际地去想，本着公式结构的需要去凑配项应是首先去尝试的思路.