数学建模长江水质的评价和预测

摘要

本文在给定数据的基础上，建立了水质综合评价模型;污染源依靠流量、流速和降解系数的模型；灰色预测模型，对未来十年污水治理做了预测。

针对问题一,做出标准化的参数与相应权值，建立合理的综合评价函数，得出了各地各时间内的综合评价值，得到湖北丹江口水质最好、江西南昌谁知最差的结论。

针对问题二,根据流量、流速和降解系数建立了各地段排污量的模型,得到高锰酸盐与氨氮排污量最大的地段都是湖北宜昌到湖南岳阳段.

针对问题三、四,建立了灰色预测模型,并给出了污水处理方案.

针对问题五，提出了整治长江污染的几点建议:加强宣传力度、加强有关部门监督、整治沿江工业。

模型较全面的运用了所给数据，建模方法比较科学,但还存在具体数值设立上主观性的问题。

关键词:综合评价、灰色预测

?

1.问题重述

１。１问题背景

长江是我国第一、世界第三大河流，是我国唯一具有全国意义的战略水源地,是我国水资源供需平衡的最后防线.但是近几年的统计数据表明,长江水质污染日益严重，正面临着前所未有的六大危机：森林覆盖率严重下降，泥沙含量增加，

生态环境急剧恶化；枯水期不断提前，长江断流日益逼近；水质严重恶化，重金属含量非常高，危及沿江许多城市的饮用水,癌症肆虐沿江城乡，长江两岸有些地方已经成为癌症高发区；物种受到威胁，珍稀水生物日益灭绝;固体废物污染严重,威胁水闸与电厂;湿地面积日益缩减，水的天然自洁功能日益丧失.综观上述：长江危机已经达到令人触目惊心的地步,因此治理保护长江的任务迫在眉睫。

1．2问题提出

进行长江水质评价和预测是致力保护长江的一个重要步骤.所谓的长江水质评价和预测是指通过物理或化学手段获取长江水环境检测数据，通过信息技术将这些检测数据转换为确定长江水环境状况的信息，获取长江水环境现状及其水质分布状况，分析长江现在存在的问题，抓主要矛盾，再预测其以后的发展趋势，制定综合防治措施与方案。

现给出了统计出的关于长江流域的一系列检测数据以及国际水质标准的标限值，要求我们研究如下几个问题并对解决长江水质污染问题提出可行性建议.

问题一：对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染情况。

问题二：研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸钾指数和氨氮的污染源主要分布在哪些区域。

问题三：假想如果不采取措施治理长江，根据所给出的过去10年内长江流域水质报告给出的统计数据，对长江未来１0年的水质污染发展趋势做出预测分析。

问题四:要求基于问题三的分析，在满足未来10年内年内江干流的ＩV类和V类水的比例都控制在20％以内，且没有劣V类水，求出每年需要处理污水的吨数。

1。３研究意义

我们现在看到的情况是这样的:长江好像患了早期癌症，如果我们不及时治理,很快就会发展为晚期癌症,等到它真的重蹈黄河、淮河覆辙再公之于众,就晚了.虽说网上公布了许多关于长江现状的数据,但那些数据都是零散的，抽象的，普通人在其中不能得到有用的信息,对长江的现状还是很漠然，就要我们通过有效地数据处理，运用适当的数学方法，将零散的数据转化为具体的文字和图片，让更多的人产生危机意识，让更多的大老板能适当的停下手中的机器，呼吁更多的人参与到保护长江的行动中来，这也是一件造福我们子孙后代的有意义的事。

２.模型假设

1.主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数取0.2 (单位：1/天）.

2.两观测点之间江水的流速是所测的两点流速的平均值。

3.不考虑洪水干旱等特殊气候对水质的影响。

4.

3。符号说明

S评价对象（17个城市）

i

x评价参数 (ＤO、CODMn、NH３－H、PH)

i

p评价等级

i

w参数权重

i

k降解系数

C：第i个观测点的监测污染浓度。

i

'

C第i个观测点污水流至第i+1个观测点时的污染浓度

i

R：第i个观测点的监测水流量

i

m：第ｉ个观测点的排污量

i

L:第ｉ个观测点与第i+1个观测点之间的河长.

i

v:第i个观测点与第i＋1个观测点水流速度的平均值。

i

t：第ｉ个观测点到第ｉ＋1个观测点水流所需的时间

i

Q每年总流量

i

b每年干流占总河长的比例

i

c四、五类水占干流的比例

1

c六类水占干流的比例

2

W四、五类污水处理量

1

W六类污水处理量

2

W污水处理总量

q干流流量

4。模型建立与求解

４.1。1问题一分析

问题一要求对长江水质做出定量综合评价，并分析各地水质情况.从题中可以看出,溶解氧（OD)、高锰酸盐指数(CＯDMn)、铵盐(NH3—N)、只要有一个为高类别，则水质等级为高类别，所以评价指标存在“质差"、与“量差”的关系，在确定综合评价指标时,既要体现不同类型指标的差异，也要体现同类型指标的数量差异。采用动态加权综合评价方法可以有效地解决这一问题.

4.1。2问题一模型建立

模型建立分三步走:数据标准化确定权值建立综合评价函数。 （一)数据标准化

假设１7个城市为评价对象S １、Ｓ2、…S17，共四项评价指标：DO 、ＣODM ｎ、NH ３-H 和PH 值，分别记做4,321,,x x x x ，前三项指标有6个等级,6,2,1...p p p 相应分类区间如下表所示:

指标 I 类 II 类 ＩII 类 IV 类 V 类 劣溶解氧(DO) [7.5,∞) [６,7。5）

［5，6） ［3，5） [2,３） ［高锰酸盐指数（ＣOD Ｍn ） （0，2］ （2，4］

（４,6] （6，10] (１0，１5］ （１氨氮（NH3-N ） (0,0。15] (0。15，０。5] (0．5,1] （１,1。5］ (１.5，２] (2

ＰH 值(无量纲）

［６，9］

（1）溶解氧（ＤO)的标准化

注意到溶解氧（D Ｏ）为极大型指标,首先将数据指标做极小化处理,即令倒数变换1

'

11

x x =

，相应的分类标准区间变为 ),2

1

(],21,31(],31,51(],51,61(],61,5.71(],5.71,

0(∞, 然后通过极差变换5

.0'

1

"1

x x =将其数据标准化，对应的分类区间随之变为

),1(],1,6667.0(],6667.0,4.0(],4.0,3333.0(],3333.0,2667.0(],2667.0.0(∞

（２）高锰酸盐指数的标准化

高锰酸盐指数本身就是极小型指标，即由极差变换将其数据标准化，即令15

2'

2x x =，对应的分类区间随之变为

),1(],1,6667.0(],6667.0,4.0(],4.0,2667.0(],2667.0,1333.0(],1333.0,0(∞

(３）氨氮的标准化

氨氮也是极小型指标，对指标数据做极差变换将其数据标准化,即令2

3'

3x x =，对应的区间随之变为

),1(],1,75.0(],75.0,5.0(],5.0,25.0(],25.0,075.0(],075.0,0(∞

（4）ＰH 值的处理

酸碱度的大小反映出水质呈酸碱性的程度，通常的水生物都适应于中性水质，即酸碱度的平衡值（ＰH 值略大于7),在这里不妨取正常值的中值７.５．当PH ＜７。5时水质偏碱性,当PH 〉7．5时偏酸性,而偏离值越大水质就越坏，PH 值属于中间型指标.为此,对所有的PH 值指标数据做均值差处理，即令

5.73

2

5.15.744'

4-=-=

x x x ，则将其数据标准化.

(二）确定权值

取动态加权函数为偏大型正态分布函数，即

()??

???>-≤=?

?

??

??--i x i i x e x x w i i αασα当当,1,02

其中i α在这里取指标i x 的Ｉ类水标准区间的中值,即2/)(11i

i i a b -=α，i σ由

)3,2,1(9.0)()

(4==i a w i i 确定。代入数据计算得：

3048.0,2197.0,1757.0,0375.0,0667.0,1333.0321321======σσσααα

（三)建立综合评价函数

前三个参数分配权值为0．７5,由第四个参数PH 值的特殊性取定权值为0.2５.则某城市某一时间的水质综合评价指标为：

()43

1

25.075.0x x x w X i i i i +=∑=

经计算可得各城市水质综合评价指标值，即可得到一个2817?阶的综合评价矩阵()

28

17?ij

X 。

４．1。３模型一求解:

从图中可看出第9个月份即２０04年２月污染最严重,整体污染呈下降趋势。

从表中可以看出,水质最差的是S15江西南昌滁槎赣江(鄱阳湖入口),其次是Ｓ8四川乐山岷江大桥岷江（与大渡河汇合前）。水质最好的是S１1湖北丹江口胡家岭丹江口水库（库体)，排在第二的是S５江西九江河西水厂干流（鄂

—赣省界）.

4.2.１问题二分析：

下一个地方的污染物量由上游排污量与本地排污量i m 组成,所以本地排污量（一个地方到下一个地方的排污量)为下一个地区的污染量减去上游排污量（本地区污染量到下一地区净化后的量）。所以可以建立水质依靠流量、流速和降解系数的数学模型,从而算出长江干流沿岸各个地段的排污量。

４．2.2问题二建模:

查找河水自净能力的参考文献得:

i

i i

t t i

t i i i

k C k C C C )

1()('-=-=

其中k=０.２/天=

s /432000

1

长江干流各段排污量为： i t t i i i i R k C R C m i i )1(11--=++

4。2．３模型求解

求解过程中注意单位的换算,结果为:

从表中可以看出高锰酸盐污染源主要在湖北宜昌到湖南岳阳段内；氨氮污染源主要也在湖北宜昌到湖南岳阳段内。

5。3.1模型的准备

灰色预测模型：灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度,即进行关联分析,并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程,从而预测事物未来发展趋势的一种方法。本小题运用灰色模型中累加生成的方式生成了数列，构建了模型,依照过去10年关于长江流域的统计数据，对长江未来１0年内的发展趋势做了预测分析. 5。3．2数据的初始化处理

１.对水质等级()6,...,2,1=i x i 作出标准化处理得：5

1

-=

i x i ２。设长江的污染程度为p ,各个等级水质的河长占评价河长的比例为

????

? ??=61q q B

3.对所给的年份作出标准化处理得:1995-=i t i 5。3.３ 模型的建立

1。分析可知，长江总的污染程度为:i i i q x p ∑==6

1

2．附件4给出了长江流域近１0年来各个时期不同流域的水质情况,利用MATLA Ｂ软件编程绘图，得出如下的水质污染折线图:

0123456789

15

20

25

30

35

40

45

50

枯水期

0123456789

20

25

30

35

40

45

50

丰水期

0123456789

20

25

30

35

40

45

50

水文年

注：红线——全流域 绿线——干流 蓝线—-支流

?

单纯图上也可看出长江水质在逐年恶化。? ５．3.3。建立灰色模型预测水质污染的发展趋势：

已知参考数据列为()()()[

()()()()]10,...,2,10000p p p p =，将其做一次累加（AGO ），将

得

到

的

生

成

数

列

记

为

()

1p ，则有

()()()()()()()[]10,...,2,11111p p p p ==()()()()()()()()()()[]

109,...,21,101011p p p p p ++.

其中()

()().10,...2,1,1

01==∑=k j p k p

k

j 其中

取()

11

x 的均值数列:()()()()10,...,3,2,15.011=-=k k p k z ，则有

()()()()()()()[]

10,...,3,21111z z z z =，于是我们建立起了灰微分方程如下： ()()()()10,...,3,2,10==+k b k az k p 其中,

相应的白化微分方程为()

()()b t ap dt

dp =+11。（1) ５。3．4 模型的求解

记()T

b a U ,=，()()()()()()

[]

T

p p p Y 10,...,3,2000=，()()()

()()()

????

??

?

????

???---=1101312111z z

z B 则由最小二乘法可知，要求得使T

u B Y u J ??

? ??-=??? ??∧

∧达到最小值的的条件为()()

Y

B B

B b a u T T T

1

,-∧

==。求解方程（1）得：

()()()(),...1,...,1,0,0269.08738.320269.08738.321101-=-+??

????

--=+-n k e p k p ak 其中 为了确保建模方法的可行性，还需要对已知的数据做必要的检验处理。下面

假设计算数列的级比:()()()()

()

k p k p k 001-=λ ,k=２，3,…，n 均落在可容覆盖