2019中考数学压轴题专项训练有答案解析

2019中考压轴题专项训练

训练目标

1.熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；

2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。

题型结构及解题方法

压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。

答题规动作

1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。

2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。

作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域写完答案；同时方便修改。

3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。

23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：

几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；

面积问题，要突出面积表达的方案和结论；

几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；

存在性问题，要明确分类，突出总结。

4.20分钟完成。

实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。课程名称：

中考数学难点突破之动点

1、图形运动产生的面积问题

2、存在性问题

3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题）

3、中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、

四边形的存在性、压轴题综合训练）

一、图形运动产生的面积问题

一、知识点睛

1.研究_基本_图形

2.分析运动状态：

①由起点、终点确定t的围；

②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置．

3.分段画图，选择适当方法表达面积．

二、精讲精练

1.已知，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上，沿AB方向以1

厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．

（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积．

（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值围． 1题图

2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y =

1

2

x 与直线l 2：y =-x +6相交于点M ，直线l 2与x 轴相交于点N ．

（1）求M ，N 的坐标．

（2）已知矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，边AB 在x 轴上，矩形ABCD 沿x 轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD 与△OMN 重叠部分的面积为S ，移动的时间为t （从点B 与点O 重合时开始计时，到点A 与点N 重合时计时结束）．求S 与自变量t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值围．

A C M N Q

P

B

C

C D

M

y

3.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）若O 是△ABC 的重心（如图1），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：2

3

AO AD =； （2）若AD 是△ABC 的一条中线（如图2），O 是AD 上一点，且满足

2

3

AO AD =，试判断O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB 、AC 相交于G 、H （均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S 四边形BCHG ．S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究BCHG AGH

S S

四边形的最大值。

解：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E，

∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点。

∴DE是中位线。∴DE∥AC，且DE=AC。

∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE。

∴。

∵AD=AO+OD，

∴。

（2）答：点O是△ABC的重心。证明如下：

如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，

则点Q为△ABC的重心。

由（1）可知，，

而，

∴点Q与点O重合（是同一个点）。

∴点O是△ABC的重心。

（3）如答图3所示，连接DG．

设S△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD，

∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S。

为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．

∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S。

∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S。

设OH=k?OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，

∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S。

∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S。

∴①。

如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE。

∵OF∥BC，∴。∴OF=CD=BC。

∵GE∥BC，∴。∴。

∴，∴。

∵OF∥GE，∴。∴，即。

∴，代入①式得：

。

∴当x=时，有最大值，最大值为。

（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论。

（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，，

而已知，故点O 与点Q 重合，即点O 为△ABC 的重心。

（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二

次函数，利用二次函数的性质求出其最大值。

二、二次函数中的存在性问题

一、知识点睛

解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：

①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．

②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解． ③验证取舍.结合点的运动围，画图或推理，对结果取舍． 二、精讲精练

1. 如图，已知点P 是二次函数y =-x 2

+3x 图象在y 轴右侧．．

部分上的一个动点，将直线y =-2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点. 若以AB 为直角边的△PAB 与△OAB 相似，请求出所有符合条件的点P 的坐标．

y

O

O x y y

x

O

O

x

y

B

A

y

x

O

O

x y

A

B

y

x

O O

x

y

y

x

O

O x y

2. 抛物线()2

1134

y x =-

-+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ．点P 在抛物线上，直线PQ //BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．

（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，求直线BQ 的函数解析式；

（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在直线BQ 上（点D 不与点Q 重合），另一个顶点E 在PQ 上，求点P 的坐标．

x

A

B

y O

C

C

O

y B

A

x

3. 如图，矩形OBCD 的边OD 、OB 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且OD ＝10，

OB ＝8．将矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合．

（1）若抛物线c bx x y ++-

=2

3

1经过A 、B 两点，求该抛物线的解析式：______________； （2）若点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，作MN ⊥x 轴于点N ．是否存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．

三、二次函数与几何综合

一、知识点睛

“二次函数与几何综合”思考流程：

整合信息时，下面两点可为我们提供便利：

①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b；

②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．

二、精讲精练

1.如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y

轴上，且AC=BC．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请

说明理由．

2.如图，已知抛物线y =ax 2-2ax -b （a >0）与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的右侧，且点B 的坐标为(-1，

0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．连接AC 、CD ，∠ACD =90°． （1）求抛物线的解析式；

（2）点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，

且以B 、A 、F 、E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．

3. 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =

-与抛物线21

4

y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式；

（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．

4.如图，点P 是直线l ：22--=x y 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A 、B 两点．

（1）若直线m 的解析式为2

3

21+-=x y ，求A 、B 两点的坐标； （2）①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；

②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得PA ＝AB 成立． （3）设直线l 交y 轴于点C ，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标．

5.如图1，抛物线y＝nx2－11nx＋24n (n＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有

一点A在第一象限，且∠BAC＝90°．

（1）填空：点B的坐标为（_ ），点C的坐标为（_ ）；

（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形．

①求此时抛物线的解析式；

②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一

动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AM的面积取得最大值，并求出这个最大值．

图1 图2

附：参考答案

一、图形运动产生的面积问题

1. （1）当t =

3

2

时，四边形MNQP 恰为矩形．此时，该矩形的面积为33平方厘米．

（2） 当0＜t ≤1时，33+

S t =；当1＜t ≤2时，33

S =； 当2＜t ＜3时，73-3S t =+

2．（1）M （4，2） N （6，0）（2）当0≤t ≤1时，2

4

t S =；

当1＜t ≤4时，1-24t S =

； 当4＜t ≤5时，231349

--424S t t =+；

当5＜t ≤6时，13

-2S t =+；

当6＜t ≤7时，()2

17-2

S t =

3.解：（1）证明：如图1，连结CO 并延长交AB 于点P ，连结PD 。

∵点O 是△ABC 的重心，

∴P 是AB 的中点，D 是BC 的中点，PD 是△ABC 的中位线，AC=2PD ， AC // PD ，

∠DPO=∠ACO ，∠PDO=∠CAO ，

△OPD ∽△CA ，= = , =

,∴；

（2）点O是是△ABC的重心。

证明：如图2，作△ABC的中线CP，与AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知，

而，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；

（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O

分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别

与AC、AB交于点M、N，

∵点O是△ABC的重心，

∴= ，= ,

∵在△ABE中，OM//AB，= = ，OM = AB，

在△ACF中，ON//AC，= = ，ON = AC，

在△AGH中，OM//AH，= ，

在△ACH中，ON//AH，= ，

∴+ = +=1，+ =1, + = 3 , 令= m , = n , m=3-n,

∵= ,

=

=

= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n-

)2 + ,

∴当= n = ，GH//BC时，有最

大值。

附：或的另外两种证明

方法的作图。

方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别

交直线GH于点E、F。

方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足

分别为E 、

F 、N 、M 。

二、二次函数中的存在性问题

1.解：由题意，设OA =m ，则OB =2m ；当∠BAP =90°时， △BAP ∽△AOB 或△BAP ∽△BOA ； ① 若△BAP ∽△AOB ，如图1，

可知△PMA ∽△AOB ，相似比为2：1；则P 1（5m ，2m ），

代入x x y 32

+-=，可知25

13=m ，)2526,513(1

P ② 若△BAP ∽△BOA ，如图2，

可知△PMA ∽△AOB ，相似比为1：2；则P 2（2m ，2

m

），

代入x x y 32

+-=，可知8

11=m ，)1611,411(2P

当∠ABP =90°时，△ABP ∽△AOB 或△ABP ∽△BOA ； ③ 若△ABP ∽△AOB ，如图3，

可知△PMB ∽△BOA ，相似比为2：1；则P 3（4m ，4m ），

代入x x y 32

+-=，可知2

1=m ，)2,2(3P

④ 若△ABP ∽△BOA ，如图4，

可知△PMB ∽△BOA ，相似比为1：2；则P 4（m ，m 2

5

）， 代入x x y 32

+-=，可知21

=

m ，415(,)24

P

2.解：（1）由抛物线解析式()2

1134

y x =-

-+可得B 点坐标（1，3要求直线BQ 的函数解析式，只需求得点Q 坐标即可，即求CQ 长度.

过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点D 作DF ⊥QP 于点F . 则可证△DCG ≌△DEF .则DG =DF ，∴矩形DGQF 为正方形.

则∠DQG =45°，则△BCQ 为等腰直角三角形.∴CQ =BC =3，此时，Q 点坐标为（4，0） 可得BQ 解析式为y =－x +4.

（2）要求P 点坐标，只需求得点Q 坐标，然后根据横坐标相同来求点P 坐标即可. 而题目当中没有说明∠DCE =30°还是∠DCE =60°，所以分两种情况来讨论.

① 当∠DCE =30°时，