2020年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）

A．﹣3 B．3 C．﹣D．

2．已知集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}，B={y|y=e x+1，x≤0}，则下列结论正确的是（）

A．A=B B．A∪B=R C．A∩（?R B）=? D．B∩（?R A）=?

3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人C．950人D．970人

4．设，且⊥，则向量的夹角为（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

5．下列四个结论中正确的个数是（）

①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件

②命题：“?x∈R，sinx≤1”的否定是“?x0∈R，sinx0＞1”．

③“若x=，则tanx=1，”的逆命题为真命题；

④若f（x）是R上的奇函数，则f（log32）+f（log23）=0．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．若执行如图的程序框图，输出S的值为﹣4，则判断框中应填入的条件是（）

A．k＜14 B．k＜15 C．k＜16 D．k＜17

7．在△ABC中，cosA=，3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，则边BC的长为（）A．2 B．3 C．2 D．

8．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）

A．B．C．D．

9．若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（）

A．4 B．C．6 D．7

10．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别l1，l2，右焦点F．若点F关于

直线l1的对称点M在l2上则双曲线的离心率为（）

A．3 B．2 C．D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11．若tanα=2，则sin2α=_______．

12．若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|≤3的解集为_______．

13．已知的展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为m，则_______．

14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为_______．

15．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则+的最小值是_______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.

16．已知函数满足下列条件：

?①周期T=π；

②?图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；

③?f（0）=1．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设，求cos（2α﹣2β）

的值．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M，N分别为PB，CD的中点，二面角P﹣CD﹣A的大小为60°，∠ABC=60°，AB=2，PC=PD=

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．

18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2，且a2是a1和a6的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）符合[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记

，求数列的前n项和T n．

19．a，b，c，d四名运动员争夺某次赛事的第1，2，3，4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组两人．第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺1，2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3，4名．四名选手以往交手的胜负情况累计如下表：

a b c d

a a13胜26负a20胜10负a21胜21负

b b26胜13负b14胜28负b19胜19负

c c10胜20负c28胜14负c18胜18负

d d21胜21负d19胜19负d18胜18负

若抽签结果为甲组：a，c；乙组：b，d．每场比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率．

（Ⅰ）求c获得第1名的概率；

（Ⅱ）求c的名次X的分布列和数学期望．

20．已知函数f（x）=x2﹣2ax，g（x）=lnx．

（Ⅰ）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且，证明：h（x1）﹣h （x2）＞﹣ln2．

21．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y 的准线上．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示．?

①若PQ=，求圆C2的方程；

②?设C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．

2020年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）

A．﹣3 B．3 C．﹣D．

【考点】复数相等的充要条件．

【分析】设出复数z，然后利用复数相等的充要条件，求解即可．

【解答】解：设复数z=bi，b≠0，

∴（3﹣i）z=a+i，化为（3﹣i）bi=a+i，即b+3bi=a+i，

∴b=a=，

故选：D．

2．已知集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}，B={y|y=e x+1，x≤0}，则下列结论正确的是（）

A．A=B B．A∪B=R C．A∩（?R B）=? D．B∩（?R A）=?

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】化简集合A、B，求出?R A，即可得出结论．

【解答】解：集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}={y|0＜y≤2}=（0，2]，

B={y|y=e x+1，x≤0}={y|1＜y≤2}=（1，2]，

∴?R A=（﹣∞，0]∪（2，+∞），

∴B∩（?R A）=?．

故选：D．

3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人C．950人D．970人

【考点】分层抽样方法．

【分析】根据样本容量和女生比男生少6人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．

【解答】解：∵样本容量为200，女生比男生少6人，

∴样本中女生数为97人，

又分层抽样的抽取比例为=，

∴总体中女生数为970人．

故选：D．

4．设，且⊥，则向量的夹角为（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

【考点】数量积表示两个向量的夹角．

【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量夹角公式即可得出．

【解答】解：∵⊥，∴=x﹣3=0，解得x=．

∴=（0，4），

∴（）?=﹣12，

||=4，==2，

设向量的夹角为θ，

∴cosθ===﹣，

∴θ=150°．

故选：D．

5．下列四个结论中正确的个数是（）

①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件

②命题：“?x∈R，sinx≤1”的否定是“?x0∈R，sinx0＞1”．

③“若x=，则tanx=1，”的逆命题为真命题；

④若f（x）是R上的奇函数，则f（log32）+f（log23）=0．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】四种命题．

【分析】①由充分必要条件的定义，即可判断；

②由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断；

③先求出逆命题，再判断真假即可，

④根据奇函数的性质和对数的运算法则即可判断．

【解答】解：对于①，x2+x﹣2＞0，解得x＜﹣2或x＞1，故“x＞1”的必要不充分条件，故错误，

对于②，命题：“?x∈R，sinx≤1”的否定是“?x0∈R，sinx0＞1”，故正确，

对于③，若x=，则tanx=1，”的逆命题为“若tanx=1，则x=，x还可以等于，故错误，

对于④，f（x）是R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），∵log32=，∴log32与log23

不是互为相反数，故错误．

故选：A．

6．若执行如图的程序框图，输出S的值为﹣4，则判断框中应填入的条件是（）

A．k＜14 B．k＜15 C．k＜16 D．k＜17

【考点】程序框图．

【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=﹣4，可得出判断框内应填入的条件．

【解答】解：执行如图的程序框图，运行结果如下：

第1次循环S=log2=﹣1，k=2；

第2次循环S=log2+log2=log2，k=3；

第3次循环S=log2+log2=log2=﹣2，k=4；

第4次循环S=log23+log2=log2，k=5；

第5次循环S=log2+log2=log2，k=6；

第6次循环S=log2+log2=log2，k=7；

第7次循环S=log2+log24=log2=﹣3，k=8；

…

第14次循环S=log2+log2=log2，k=15；

第15次循环S=log2+log2=log2=﹣4，?k=16；

如果输出S=﹣4，那么只能进行15次循环，故判断框内应填入的条件是k＜16．

故选：C．

7．在△ABC中，cosA=，3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，则边BC的长为（）

A．2 B．3 C．2 D．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】由cosA=，A∈（0，π），可得sinA=．由3sinB=2sinC，且△ABC 的面积为2，可得3b=2c，=2，再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA．【解答】解：∵cosA=，A∈（0，π），∴sinA==，

∵3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，

∴3b=2c，=2，

解得b=2，c=3．

∴a2=b2+c2﹣2bccosA=22+32﹣2×2×3×=9，

解得a=3．

故选：B．

8．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）

A．B．C．D．

【考点】指数函数的图象变换．

【分析】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到a＞1，然后利用指数函数的图象平移得答案．

【解答】解：∵，

∴f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，

由函数y=f′（x）的图象可知，

∴a＞1，

则函数g（x）=|a x﹣2|的图象是把函数y=a x向下平移2个单位，然后取绝对值得到，如图．故可能是D．

故选：D．

9．若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（）

A．4 B．C．6 D．7

【考点】简单线性规划．

【分析】由题意作出其平面区域，化简z=|x﹣3|+2y=，从而分别求最

小值，从而解得．

【解答】解：由题意作出其平面区域如右图，

易知A（0，2），B（5，3），C（3，5），D（3，）；

z=|x﹣3|+2y=，

当x≥3时，z=x+2y﹣3在点D处取得最小值为，

当x＜3时，z=﹣x+2y+3＞，

故z=|x﹣3|+2y的最小值为，

故选B．

10．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别l1，l2，右焦点F．若点F关于

直线l1的对称点M在l2上则双曲线的离心率为（）

A．3 B．2 C．D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】不妨设l1为y=x，l2为y=﹣x，设出对称点的坐标，根据中点坐标公式和斜率公式即可求出a与b的关系，再根据离心率公式即可求出．

【解答】解：l1，l2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，

不妨设l1为y=x，l2为y=﹣x，

由右焦点关于l1的对称点l2在上，

设右焦点F关于l1的对称点为M（m，﹣），

右焦点F坐标为（c，0），

MF中点坐标为（，﹣），

可得﹣=?，

解得m=﹣c，

即有M（﹣c，），

可得MF的斜率为=﹣，

即有﹣?=﹣1，

可得b2=3a2，

即c2=a2+b2=4a2，

则c=2a，

可得e==2，

故选：B．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11．若tanα=2，则sin2α=．

【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．

【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为

，把已知条件代入运算求得结果．

【解答】解：∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα===，

故答案为．

12．若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|≤3的解集为[0，3] ．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】求出f（x+1），问题转化为：|2x﹣3|≤3，解出即可．

【解答】解：若f（x）=3﹣2x，

则|f（x+1）+2|=|3﹣2（x+1）+2|=|2x﹣3|≤3，

解得：0≤x≤3，

故不等式的解集为[0，3]，

故答案为：[0，3]．

13．已知的展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为m，则ln2．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】根据展开式中所有项的系数和求出m的值，再计算定积分的值即可．

【解答】解：展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为

m=（1﹣2）5=﹣1，

∴x﹣1dx=lnx=ln2﹣ln1=ln2．

故答案为：ln2．

14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】由等积法证明，然后利用棱锥的体积公式求得答案．

【解答】解：如图，

连接B1C，则，

又，

∴，

∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，

∴．

15．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则+的最小值是．

【考点】基本不等式．

【分析】化简+=+=2++，从而利用基本不等式求解．

【解答】解： +

=+

=2+2++

=2++

≥2+=，

（当且仅当2=，即x=，y=时，等号成立），

故答案为：．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.

16．已知函数满足下列条件：

?①周期T=π；

②?图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；

③?f（0）=1．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设，求cos（2α﹣2β）

的值．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）根据f（x）的周期求出ω的值，根据f（x）的图象平移以及g（x）的图象关于y轴对称，求出φ的值，再由f（0）=1求出A的值，即得f（x）的解析式；

（Ⅱ）根据f（α﹣）与f（β+）的值求出cos2α、cos2β，再根据α、β的范围求出sin2α、

sin2β，从而求出cos（2α﹣2β）的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的周期为T==π，∴ω=2；

又函数f（x）的图象向左平移个单位长度，

变为g（x）=Asin[2（x+）+φ]，

由题意，g（x）的图象关于y轴对称，

∴2×+φ=+kπ，k∈Z；

又|φ|＜，∴φ=，

∴函数f（x）=Asin（2x+）；

又f（0）=1，∴Asin=1，解得A=2，

∴函数f（x）=2sin（2x+）；

（Ⅱ）由f（α﹣）=﹣，f（β+）=，

得2sin（2α﹣+）=﹣，

2sin（2β++）=，

∴cos2α=，cos2β=；

又α、β∈（0，），

∴2α、2β∈（0，），

∴sin2α=，sin2β=，

∴cos（2α﹣2β）=cos2αcos2β+sin2αsin2β

=×+×=．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M，N分别为PB，CD的中点，二面角P﹣CD﹣A的大小为60°，∠ABC=60°，AB=2，PC=PD=

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．

【分析】（I）连结AN，根据三线合一可得AN⊥CD，PN⊥CD，于是得出CD⊥平面PAN，故而PA⊥CD，计算AN，PN，利用余弦定理求出PA，得出PA⊥AN，从而得出PA⊥平面ABCD；

（II）以A为原点建立空间坐标系，求出平面PCD的法向量，则|cos＜，＞|即为所求．

【解答】证明：（I）连结AN，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∵N是CD的中点，PC=PD，

∴AN⊥CD，PN⊥CD，

∴∠PNA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，且CD⊥平面PAN．

∴PA⊥CD，∠PNA=60°．

∵AB=AD=2，PC=PD=．∴AN=，PN==2．

在△PAN中，由余弦定理得PA2=AN2+PN2﹣2AN?PNcos60°=3+12﹣2=9．

∴PA2+AN2=PN2，∴PA⊥AN，

又CD?平面ABCD，AN?平面ABCD，AN∩CD=N，

∴PA⊥平面ABCD．

（II）以A为原点，以AB，AN，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（0，0，0），B（2，0，0），N（0，，0），P（0，0，3），C（1，，0），D（﹣1，，0）．

∴M（1，0，）．

∴=（﹣1，，﹣），=（1，，﹣3），=（﹣2，0，0）．

设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，=0，

∴，令z=1得=（0，，1）．

∴=，

∴cos＜＞===．

∴直线MN与平面PCD所成角的正弦值为．

18．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n =a n 2+3a n +2，且a 2是a 1和a 6的等比中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）符合[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[log 23]=1，[log 25]=2．记

，求数列

的前n 项和T n ．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（I ）由6S n =a n 2+3a n +2，当n ≥2时，

+2，可得：6a n =

﹣

+3a n ﹣3a n ﹣1，化为（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）=0，根据数列{a n }是正项数列，及其等差数列的通项公式、a 2是a 1和a 6的等比中项即可得出． （II ）

=[log 2（n +1）

]，可得=

=n ，

=n ?2n ．利

用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出． 【解答】解：（I ）由6S n =a n 2+3a n +2，当n ≥2时， +2，可得：

6a n =﹣

+3a n ﹣3a n ﹣1，

化为（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）=0，

∵数列{a n }是正项数列，∴a n +a n ﹣1＞0，可得a n ﹣a n ﹣1=3， ∴数列{a n }是等差数列，公差为3． 由6a 1=

+3a 1+2，解得a 1=1或2．

当a 1=2时，a n =2+3（n ﹣1）=3n ﹣1，可得a 2=5，a 6=17，不满足a 2是a 1和a 6的等比中项，舍去．

当a 1=1时，a n =1+3（n ﹣1）=3n ﹣2，可得a 2=4，a 6=16，满足a 2是a 1和a 6的等比中项． ∴a n =3n ﹣2． （II ）=[log 2（n +1）]，∴

=

=n ，

∴=n ?2n ．

∴数列

的前n 项和T n =2+2×22+3×23+…+n ?2n ，

2T n =22+2×23+…+（n ﹣1）?2n +n ?2n+1，

∴﹣T n=2+22+…+2n﹣n?2n+1=2×﹣n?2n+1=（1﹣n）?2n+1﹣2，

∴T n=（n﹣1）?2n+1+2．

19．a，b，c，d四名运动员争夺某次赛事的第1，2，3，4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组两人．第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺1，2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3，4名．四名选手以往交手的胜负情况累计如下表：

a b c d

a a13胜26负a20胜10负a21胜21负

b b26胜13负b14胜28负b19胜19负

c c10胜20负c28胜14负c18胜18负

d d21胜21负d19胜19负d18胜18负

若抽签结果为甲组：a，c；乙组：b，d．每场比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率．

（Ⅰ）求c获得第1名的概率；

（Ⅱ）求c的名次X的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）求出a分别与b，c，d比赛时获胜的概率，b分别与a，c，d比赛时获胜的概率，c分别与a，b，d比赛时获胜的概率，由此能求出C获得第一名的概率．

（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

【解答】解：（Ⅰ）设a分别与b，c，d比赛时获胜的事件分别为A b，A c，A d，

则P（A b）=，P（A c）=，P（A d）=，

b分别与a，c，d比赛时获胜的事件分别为B a，B c，B d，

则P（B a）=，P（B c）=，P（B d）=，

c分别与a，b，d比赛时获胜的事件分别为C a，C b，C d，

则P（C a）=，P（C b）=，P（C d）=，

d分别与a，b，c比赛时获胜的事件分别为Da，D b，D c，

则P（D a）=，P（D b）=，P（D c）=，

∴C获得第一名的概率：

P=P（C a）P（B d）P（C b）+P（C a）P（D b）P（C d）==．（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，

P（X=1）=P（C a）P（B d）P（C b）+P（C a）P（D b）P（C d）==．若C为第二名，则甲组中C胜，且C与乙组的胜者比赛时负，

∴P（X=2）=P（C a）P（B d）P（B c）+P（C a）P（D b）P（D c）=

=，

若C为第3名，则甲组中C负，且C与乙组的负者比赛时胜，

∴P（X=3）=P（A c）P（D b）P（C b）+P（A c）P（B d）P（C d）═+

=，

P（X=4）=1﹣P（X=1）﹣P（X=2）﹣P（X=3）=1﹣=．

∴X的分布列为：

X 1 2 3 4

P

EX==．

20．已知函数f（x）=x2﹣2ax，g（x）=lnx．

（Ⅰ）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且，证明：h（x1）﹣h （x2）＞﹣ln2．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）分离参数a可得：a≤（x﹣），（x＞0），设ω（x）=（x﹣），根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出a的范围即可；

（Ⅱ）求出h（x）的导数，得到x2=∈（1，+∞），且2ax1=2+1，2ax2=2+1，设μ（x）=x2﹣﹣ln2x2（x＞1），求出函数的单调性，证出结论即可．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得：f（x）≥g（x）?x2﹣2ax≥lnx，（x＞0），

分离参数a可得：a≤（x﹣），（x＞0），

设ω（x）=（x﹣），则ω′（x）=，

由于y=x2，y=lnx在（0，+∞）递增，

∴y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）递增，

显然x=1时，该函数值是0，

x∈（0，1）时，ω′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，ω′（x）＞0，

∴ω（x）min=ω（1）=，

∴a≤ω（x）min=，即a∈（﹣∞，]．

（Ⅱ）证明：由题意得：h（x）=x2﹣2ax+lnx，

则h′（x）=2x﹣2a+=（x＞0），

∴方程2x2﹣2ax+1=0（x＞0）有2个不相等的实数根x1，x2且x1∈（0，），

又∵x1 x2=，∴x2=∈（1，+∞），

且2ax1=2+1，2ax2=2+1，

而h（x1）﹣h（x2）

=[﹣（2+1）+lnx1]﹣[﹣（2+1）+lnx2]

=﹣﹣ln2，（x2＞1），

设μ（x）=x2﹣﹣ln2x2（x＞1），

令t=x2，则t＞1，μ（t）=t﹣﹣ln2t，

∴μ′（t）=1+﹣=≥0，

∴μ（t）＞μ（1）=1﹣﹣ln2=﹣ln2，

即h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．

21．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y

的准线上．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示．?

①若PQ=，求圆C2的方程；

②?设C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．

（Ⅱ）①设M（2，t），则C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，由此利用圆的性质

结合已知条件能求出圆C2的方程．

②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），代入椭圆方程得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t ≠0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想，能求出λ的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，

∴，解得a=，b=c=1，

∴椭圆C1的方程为．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）知F（1，0），设M（2，t），则C2的圆心坐标为（1，），

C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，

直线PQ方程为y=（x﹣1），（t≠0），即2x+ty﹣2=0，（t≠0）

又圆C2的半径r==，

由（）2+d2=r2，得（）2+=，

解得t2=4，∴t=±2，

∴圆C2的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2．

②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），

由，得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t≠0，

则△=（﹣16）2﹣4（8+t2）（8﹣2t2）=8（t4+4t2）＞0，

，，

|AB|==

=2×，

∴==，

S1=πr2=，

∵S1=λS2，

∴==，

当t=0时，PQ的方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，

|OM|×|AB|=，=π，

∴．

∵S1=λS2，

∴==

==＞=．

当直线PQ的斜率不存在时，PQ方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，

∴S2=|OM|×|AB|=，S1==π，