高中：二次函数练习题
二次函数练习题
1、抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
容易看出，()20-，是它与x 轴的一个交点，则它与x 轴的另一个交点的坐标为_________． 2、已知二次函数不经过第一象限，且与x 轴相交于不同的两点，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式 ．
3、已知二次函数222y x x c =-++的对称轴和x 轴相交于点()0m ，，则m 的值为____________．
4、二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表：
则使y <的取值范围为 ．5、已知抛物线2
y ax bx c =++经过点（1，2）与（1-，4），则a+c 的值是 ． 6、一件工艺品进价为
100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，
要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ） A ．5元
B ．10元
C ．0
元 D ．3600元 6、二次函数2y ax bx =+和反比例函数b
y x
=在同一坐标系中的图象大致是（ ）
7、已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标
(1 3.2)--，及部分图象（如图所示），由图象可知关于
x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x = ．
Ａ．
Ｂ．
9、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A ．14元
B ． 15元
C ．16元
D ． 18元
10、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是2x =，且经过点(30)P ，．则a b c ++的值为 ( )Ａ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2 11、小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ） A ．4cm 2 B ．8cm 2 C ．16cm 2 D ．32cm 2 12、二次函数()2
13y x =--+图象的顶点坐标是（ ） Ａ．()13-，
Ｂ．()13，
Ｃ．()13--，
Ｄ．()13-，
13、求二次函数221y x x =--的顶点坐标及它与x 轴的交点坐标．
14、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：2240w x =-+．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题： （1）求y 与x 的关系式；
（2）当x 取何值时，y 的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
15、如图，抛物线2
23y x x =--与x 轴分别交于A ，B 两点．
（1）求A ，B 两点的坐标；（4分） （2）求 抛物线顶点M 关于x 轴对称的点M '的坐标，并判断四边形AMB M '是何特殊平行四边形（不要求说明理由）．(6分)
[注：抛物线2
y ax bx c =++的顶点坐标为2424b ac b a
a ??-- ???，．]
解：
16、某种爆竹点燃后，其上升的高度h （米）和时间t （秒）符合关系式
2
01(02)2
h t gt t υ=-
<≤，其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以020υ=米/秒的初速度上升，
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后在1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由． 17、已知抛物线的函数关系式：222(1)2y x a x a a =+-+-（其中x 是自变量），
（1）若点(23)P ，
在此抛物线上， ①求a 的值；
②若0a >，且一次函数y kx b =+的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）；
（2）设此抛物线与x 轴交于点1(0)A x ，，2(0)B x ，
．若12x x <<，且抛物线的顶点在直线3
4
x =
的右侧，求a 的取值范围． 18、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图4）. 若设绿化带的BC 边长为xm ，绿化带的面积为2ym .
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
19、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件． （1）若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数，且110x ≤≤），求出y 关于x 的函数关系式；
（2）若生产第x 档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．
20、隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长 BC 为8 m ，宽AB 为2 m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC
的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线 的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m . (1) 求抛物线的解析式；
(2) 一辆货运卡车高5.4m ，宽4.2m ，它能通过该隧 道吗？
(3) 如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正
中间设有4.0m 的隔离带，则该辆货运卡车还能通
过隧道吗？
二次函数经典例题及答案
二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点
二次函数典型例题解析与习题训练
又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414 m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，41 4 m -）． （2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时，顶点在x 轴上方． （3）令x=0，则y=m ． 即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m ． 当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ） 在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4． ∴ 1 2 │m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8． 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处． 例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m 为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标． 【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值． （2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积． （3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=3 2EP，②EH=2 3 EP． 【解答】（1）解方程x2－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由m 高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取 值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]， 都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最 大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( [A 基础达标] 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ． (0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9] 解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]． 2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．10时，f (x )的对称轴为x ＝12a ，在????－∞，12a 上是递减的，由题意(－∞，2)?? ???－∞，12a ， 所以2≤12a ，即a ≤14 ，综上，a 的取值范围是????0，14. 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12 ，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D. 5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( ) 二次函数 1．解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且 2212269 x x += ，试问该二次函数的图像由()()2 31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +?? = ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关 系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2 f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．）单调性 已知函数()2 2f x x x =-，()()2 2[2,4]g x x x x =-∈． (1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值． 变式1：已知函数()2 42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 A ．3a ≥ B ．3a ≤ C ．3a <- D ．3a ≤- x y O 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y 高中数学-二次函数的性质与图象练习课时过关·能力提升 1函数y=x2-2x+m的单调递增区间为() A.(-∞,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1] D.[-2,+∞) 解析因为二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=1, 所以单调递增区间为[1,+∞). 答案B 2函数f(x)=x2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是() A.4 B.-4 C.与m的取值有关 D.不存在 解析因为函数f(x)的图象开口向上,且对称轴x=>0, 所以f(x)在(-∞,0]上为减函数, 所以f(x)min=f(0)=4. 答案A 3二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为() A.-7 B.1 C.17 D.25 解析由已知得-=-2,解得m=-16, 故y=4x2+16x+5.当x=1时,y=4×12+16×1+5=25. 答案D 4已知二次函数f(x)=x2-ax+7,若f(x-2)是偶函数,则a的值为() A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析由已知得f(x-2)=(x-2)2-a(x-2)+7=x2-(a+4)x+2a+11. 因为f(x-2)是偶函数, 所以其图象关于y轴对称, 即=0,所以a=-4. 答案B 5已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是() 答案D 6已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是() A.[1,+∞) B.[1,2) C.[1,2] D.(-∞,2] 解析由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图象如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图象可知m的取值 范围是[1,2]. 答案C 7已知二次函数f(x)=ax2+bx-1(a≠0).若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于() A.- B.- C.-1 D.0 解析由f(x1)=f(x2)可得f(x)图象的对称轴为x=, 故=-,即x1+x2=-, 二、二次函数（命题人：华师附中 郭键） 1. （人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法 2 若 f x ]=x bx c ，且 f 1V-0，f 3产0，求 f -1 的值. _ o 变式1:若二次函数f x 二ax bx c 的图像的顶点坐标为 2,-1，与y 轴的交点坐标为 （0,11），贝y A . a=1,b--4,c--11 B . a=3,b=12,c = 11 C . a =3,b = -6,c =11 D . a = 3, b =-12, c = 11 变式 2:若 f x = -x :: j ：b 2 x 3,^ [b,c]的图像 x=1 对称，则 c= 变式3:若二次函数 f x = ax 2 bx c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 A x 1,0、 B X 2,0，且xj ? X 22二 26，试问该二次函数的图像由 9 单位得到？ 2. （北师大版第52页例2）图像特征 将函数f x 二-3x 2 -6X V 配方，确定其对称轴, 或最 小值，并画出它的图像. 4ac -b 2 D . 4a 变式2:函数f x = x 2 px q 对任意的x 均有 f 1 x 二 f 1 — x ，那么 f 0、f -1、 f 1的大小关系是 A . f 1 < f -1 < f 0 变式3:已知函数f x = ax 2 bx c 的图像如右图所示, 请至少写出三个与系数 a 、b 、c 有关的正确命题 3. （人教A 版第43页B 组第1题）单调性 _ 2 2 变式1 :已知二次函数 2 f x 二 ax bx c , 如果f X 1二f X 2 （其中x^ - x 2 ）,则 2 f x =-3 x-1的图像向上平移几个 顶点坐标，求出它的单调区间及最大值 b A . 2a C . f 1 f 0 :: f -1 D . f -1 :: f 0 ：： f 1 O 一 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。 分析：将)(x f 配方，得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422，、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： （1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是 a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 （2）当),(2m a b -∞∈- 时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n a b 时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0 高一数学一次函数、二次函数练习题 一、选择题 1.已知一次函数23)2(2--+-=m m x m y ，它的图象在y 轴上的截距为4-，则m 的 值为（ ） A.4- B.2 C.1 D.2或1 2.已知一次函数y ＝kx ＋b ，x ＝1时，y ＝－2，且在y 轴上的截距为－5，那么它的解析式是（ ） A ．y ＝3x ＋5 B ．y ＝－3x －5 C ．y ＝－3x ＋5 D ．y ＝3x －5 3．一次函数k kx y -=，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过 （ ） A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 4.已知函数[]355,5y x x =-∈-，则其图象的形状为 （ ） A.一条直线 B.一条线段 C.一系列点 D.不存在 5.如果ab>0，bc<0，那么ax ＋by ＋c ＝0的图象的大致形状是 （ ） 6.二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如右图所示，则( ) A ．a>0，b>0 B ．a>0，c>0 C ．b>0，c>0 D ．a 、b 、c 均 小于0 7.函数()23f x ax bx =++在(],1-∞-上是增函数，在[)1,-+∞上是 减函数，则（ ） A.00b a ><且 B.20b a =< C.20b a => D.,b a 的符号不定 8.已知函数()()2123f x m x mx =-++为偶函数，则()f x 在区间()5,2--上是（ ） A.增函数 B.减函数 C.部分增部分减 D.无法确定单调性 9.若二次函数b x a ax x f +-=2242)(对任意的实数ｘ都满足)3()3(x f x f -=+，则实数ａ的值为 （ ） Ａ．23 Ｂ．－2 3 Ｃ．－３ Ｄ．３ 二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 ２、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法： （１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴 （２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3， （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0 知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 （3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝） （2)a 的取值范围是 ? 【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3 二次函数 一、考纲要求 1、掌握二次函数的概念、图像特征 2、掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上 的最值 3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式（三个二次）之间的紧 密关系，提高解综合问题的能力。 二、高考趋势 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。 三、知识回顾 1、二次函数的解析式 （1）一般式： （2）顶点式： （3）双根式： 求二次函数解析式的方法： ○1已知时，宜用一般式○2已知时，常使用顶点式○3已知时，用双根式更方便 2、 二次函数的图像和性质 二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。 （1）当0>a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当a b x 2- =时，函数有最 值为 （2）当0x f ， 当 时，恒有 ()0. 二、二次函数（命题人：华师附中 郭键） 1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且2212269 x x +=，试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．（北师大版第52页例2）图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +??= ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性 x y O 二次函数典型例题——找规律 1、如图，一段抛物线：y ＝－x(x －3)（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1； 将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3； …… 如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m =_________． 2、二次函数223 y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点1232015,,,,A A A A ???在y 轴的正半轴上，点1232015,,,,B B B B ???在二次函数223 y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1C 1，△A 1B 2C 2，△A 2B 3C 3，…△A 2014B 2015C 2015都为正三角形，则△011A B A 的边长= , △201420152015A B A 的边长= . 1,2015 3、如图，点A 1、A 2、A 3、……、A n 在抛物线2y x =图象上，点B 1、B 2、B 3、……、B n 在y 轴上，若△A 1B 0B 1、△A 2B 1B 2、……、△A n B n －1B n 都为等腰直角三角形（点B 0是坐 标原点），则△A 2014B 2013B 2014的腰长= ． （石景山区）已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负 整数. （1）求m 的值； （2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的 表达式； （3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转?180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线 12 1+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围． （石景山区）解：（1）∵方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根， ∴0≠m 且0≥?， ……………………1分 则有0)1(4-)1(42≥--m m m 且0≠m ∴1≤m 且0≠m 又∵m 为非负整数， ∴1=m . ………………………………2分 （2）抛物线1C ：2x y =平移后，得到抛物线2C ：b a x y +-=2 )(，……3分 ∵抛物线2C 过),2(b A 点，b a b +-=2)2(，可得2=a ， 同理：b a b +-=+2)4(12，可得3=b ， …………………………4分 ∴2C ：()322+-=x y ）（或742+-=x x y . …………5分 （3）将抛物线2C ：3)2(2+-=x y 绕点(n n ,1+)旋转180°后得到的抛物线3C 顶 点为（322-n n ，）， ………………6分 当n x 2=时，1122 1+=+?= n n y ， 由题意，132+>-n n ， 商品利润问题与二次函数典型例题解析 知识链接复习： 1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元 解：设每千克应涨价x 元，读题完成下列填空 问题一：涨价后每千克盈利 元； 问题二：涨价后日销售量减少 千克； 问题三：涨价后每天的销售量是 千克； 问题四：涨价后每天盈利 元 根据题意列方程得： 解方程得： 因为商家涨价的目的是 ；所以 符合题意。 答： 。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是 新知解析： 例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少 解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得： y=（35-x ）（50+2x ）=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答：当降价5元时 销售额最大为1800元。 此类习题注意要点： 1、根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。 例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱 解：设当张价X 元时租金为y 元，根据题意得：y=（100-10 ×2 x ）（10+x ）=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5 一、选择题: 1.(2003?大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ). A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.(2004?重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b, )在( ). A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 3.(2004?天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ). A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≤0 4.(2003?杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ). A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3 D.b=-9,c=21 5.(2004?河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ). 6.(2004?昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,?图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 二、填空题 1.(2004?河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______. 2.(2003?新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______. 3.(2003?天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________. 4.(2004?武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________. 5.(2003?黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____. 6.(2002?北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 三、解答题 1.(2003?安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围. 2.(2004?济南)已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称. (1)求m的值; (2)写出抛物线解析式及顶点坐标; (3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来. 3.(2004?南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18)-200708(解析版)
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