相似三角形题型总结

一．解答题（共21小题）

1．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE 中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．

（1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有_________，请选择一个你认为正确的结论进行证明．

（2）若MC=，求BF的长．

2．（2011?聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）

（1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

3．（2010?崇川区模拟）用一副三角板拼成如图①所示的四边形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°，

AD=DC=cm．若把△ADC的顶点C沿CB所在射线滑动，顶点A始终不离开AC，如图②所示，当点D运动到与C点重合时，即停止运动，如图③所示．

（1）如图②所示，C′D与AC交于点M，求证：△CC′M∽△A′DM；

（2）运动结束时（如图③）的顶点A沿AC下滑了多少？

（3）△ADC在滑动过程中，△CC′M与△A′DM能否全等？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由；（4）△ADC在滑动过程中，A′C′与AB能否平行？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由．

5．（2014?义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP?AF的值；

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

6．（2014?南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，

求证：AB2=AD?AC．

7．（2014?铜仁）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．

8．（2014?上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．

（1）求证：四边形ACED是平行四边形；

（2）连接AE，交BD于点G，求证：=．

9．（2014?青浦区一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．（1）求证：CD2=BC?AD；

（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：．

10．（2013?崇明县一模）如图，△ABC是等边三角形，且AD?ED=BD?CD．

（1）求证：△ABD∽△CED；

（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长．

11．（2013?徐汇区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．

（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；

（2）如果AD2=AB?AF，求证：CM?AB=DM?CN．

12．（2013?静安区二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE 相交于点F，∠AFD=∠BEC．

求证：（1）AF=CE；

（2）BF2=EF?AF．

13．（2013?奉贤区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．

（1）求证：△FDC∽△FBD；

（2）求证：．

14．（2013?道外区一模）如图，已知正方形ABCD，点P为BC边上一点，作∠APE=45°，交CD的延长线于点E，连接AC交PE于F．

（1）求证：PE=PA；

（2）点G在AF边上，且∠PGE=135°，连接DG交PE于N，若PB=3，CF=4，求线段NG的

长．

15．（2013?徐汇区一模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE?BC=BD?AC；

（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．

16．（2012?邢台二模）如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．求证：

（1）AE=BD；

（2）△BOE∽△COD．

17．（2012?淮北模拟）已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF?EG．

18．（2012?徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．求证：（1）△BAE∽△BOA；

（2）BO?BE=BC?AE．

19．（2014?眉山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．

（1）求证：AP=AO；

（2）求证：PE⊥AO；

（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．

20．（2012?嘉定区一模）如图，己知△ABC中，BC=60，BC边上的高AH=40；矩形DEFG的顶点D、E在边BC 上，顶点G、F分别在边AB、AC上，设EF的长为x，矩形DEFG的面积为y．求y关于x的函数关系式，并指出

21．有一块三角形铁片ABC，BC=12cm，高AH=8cm，按下面一、二两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断一、二两种设计方案哪个更好？

初中数学相似三角形组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共21小题）

1．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE 中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．

（1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有①②③，请选择一个你认为正确的结论进行证明．

（2）若MC=，求BF的长．

考点：相似三角形的

判定；全等三角

形的判定与性

质；线段垂直平

分线的性质；正

方形的性质．

分析：（1）①②③，选择

②进行证明．连

接BM、DM．根

据直角三角形

的性质可得

BM=EF=MD

．运用“SSS”证

明

△BCM≌△DCM，

得

∠BCM=∠DCM；

最后由正方形

的性质推知MC

垂直平分BD；

（2）过点M作

MQ⊥BC于点，

构建直角三角

形BEF的中位

线MQ；根据正

方形对角线的

后利用锐角三

角函数求得

MQ=1；最后根

据三角形中位

线定理求得BF

的长．

解答：解：（1）①②③．

②MC垂直平分

BD，

证明如下：连接

BM、DM．

∵ABCD是正方

形，

∴∠A=∠DCE=90°

，AD=CD；

又∵AF=EC（已

知），

∴△AFD≌△CED．

（SAS）

∴∠FDA=∠EDC，

DF=DE．

∴∠FDE=∠ADC=

90°．

∵M是EF的中

点，

∴MD=EF；

∵BM=EF，

∴MD=MB=PC．

又DC=BC，MC

是公共边，

∴△DCM≌△BCM

，（SSS）

∴∠BCM=∠DCM

，

∴CM在正方形

ABCD的角平

分线AC上，

∴MC垂直平分

BD；

（2）过点M作

MQ⊥BC于点

Q．

由（1）知，CM

即BD的中垂

又∵点M是EF

的中点，

∴MQ是直角三

角形EFB的中

位线，

∴MQ=BF；

又∵MC=

∴MQ=1，

∴BF=2MQ=2．

点评：本题考查了正

方形的相关性

质，三角形的全

等，线段中垂线

的判定．特殊的

四边形一直是

中考的热点，所

以想设计一题

此类的综合压

轴题，能适当结

合证明与计算，

并且能让学生

有回旋余地，故

设计了第（1）

小题的开放题，

当然这三个结

论在证明的难

易程度中我认

为是不相上下

的，任何一个结

论的得到都需

要一定的思维

量，因为考查的

知识点都很丰

富．当然若是选

择第二个结论

的证明，将对第

（2）小题有铺

垫作用，难易程

度﹣﹣难．

2．（2011?聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）

（1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

考点：相似三角形的

判定；一次函数

的应用；三角形

的面积；矩形的

性质．

专题：压轴题．

分析：（1）当t=1时，

根据点E、G的

速度均为

2cm/s，点F的

速度为4cm/s，

可求出S和t的

关系．

（2）根据点E、

G的速度均为

2cm/s，点F的

速度为4cm/s，

当点F追上点G

（即点F与点G

重合）时，三个

点随之停止移

动．设移动开始

后第t秒时，

△EFG的面积为

S，求出S和t

的关系式．

（3）两边对应

成比例夹角相

等的三角形是

相似三角形可

求出解．

AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）

由S=S梯形GCBE ﹣S△EBF﹣S△FCG ﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣（2分）=×

﹣

=×（10+2）×8﹣×10×4﹣

=24（cm2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣（3分）

（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD 上移动，

此时AE=2t，EB=12﹣2t，

BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t

S=S梯形GCBE﹣

S△EBF﹣S△FCG

=×（EB+CG）

=×8×（12﹣

2t+2t）﹣×4t

（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）

=8t2﹣

32t+48．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

②如图2，当点F 追上点G时，4t=2t+8，解得t=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G 都在边CD上移动，此时CF=4t ﹣8，CG=2t FG=CG﹣CF=2t ﹣（4t﹣8）=8﹣2t

S=FG?BC=

（8﹣2t）?8=﹣8t+32．

即S=﹣8t+32﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2

在△EBF和

△FCG中，

∠B=∠C=90°

1若=，即

=，

0≤t≤2，所以当

t=时，

△EBF∽△FCG﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣（7分）

2若=即

=

，解得

t=．

又t=满足

0≤t≤2，所以当

t=时，

△EBF∽△GCF﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣（8分）

综上所述，当

t=或t=时，

以点E、B、F

为顶点的三角

形与以F、C、G

为顶点的三角

形相似．

点评：本题考查了相

似三角形的判

定定理，一次函

数的应用和三

角形的面积以

及矩形的性质

等知识点．

3．（2010?崇川区模拟）用一副三角板拼成如图①所示的四边形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°，

AD=DC=cm．若把△ADC的顶点C沿CB所在射线滑动，顶点A始终不离开AC，如图②所示，当点D运动到与C点重合时，即停止运动，如图③所示．

（1）如图②所示，C′D与AC交于点M，求证：△CC′M∽△A′DM；

（2）运动结束时（如图③）的顶点A沿AC下滑了多少？

（3）△ADC在滑动过程中，△CC′M与△A′DM能否全等？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由；（4）△ADC在滑动过程中，A′C′与AB能否平行？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由．

考点：相似三角形的

判定；全等三角

形的判定．

专题：证明题；探究

型．

分析：（1）所求的两

个三角形中，已

知对顶角

∠C′MC=∠A′M

D，一组直角

∠C=∠D=90°，即

可证得所求的

结论．

（2）在Rt△ADC

中，易求得斜边

AC的长，那么

AC、AD的差即

为A点下滑的

距离．

（3）若两个三

角形全等，那么

C′M=A′M，此

时

∠MC′A′=∠MA

′C′，即

∠MA′C′=45°，

显然∠MA′C′＜

45°，因此两个三

角形不可能全

等．

（4）当

∠MC′C=∠DA′

M=15°时，

Rt△A′C′C中，

根据∠A′C′C的

度数及A′C′

（即AC）的长，

可求得A′C的

值，进而可由

AA′=AC﹣A′C

得解．

解答：解：（1）如图②，

∵∠C=∠D=90°，

∠CMC′=∠DMA

′，

∴△CC′M∽△A′D

M．（2分）

（2）如图①，在

Rt△ACD中，

∠D=90°，

AD=DC=c

m，∴AC=8cm；

（4分）

如图③，

AA′=AC﹣

A′D=（8﹣

）cm．（5

分）

（3）不可能全

等．（6分）

理由如下：根据

对应关系可知，

如果全等必为

△CC′M≌△A′D

M，

即C′M=A′M，

则

∠C′A′M=∠A′C

′M=45°；

∵∠MA′C′＜

45°，∴不可能全

等．（8分）

（4）A′C′与

AB能平行．（9

分）

∴AA′=AC﹣

A′C=（8﹣

）cm．（12

分）

点评：此题考查了直

角三角形的性

质、相似三角形

的判定、全等三

角形的性质以

及平行线的判

定等知识，难度

适中．

4．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．

考点：相似三角形的

判定．

专题：证明题．

分析：先根据等边三

角形的性质得

到∠A=∠C=60°，

BC=AB，由

AE=BE可得到

CB=2AE，再由

得到

CD=2AD，则

=，然后根

据两边及其夹

角法可得到结

论．

解答：证明：∵△ABC

为正三角形，

∴∠A=∠C=60°，

BC=AB，

∵AE=BE，

∵，

∴CD=2AD，

∴==，

而∠A=∠C，

∴△AED∽△CBD．

点评：本题考查了相

似三角形的判

定：两组对应边

的比相等且夹

角对应相等的

两个三角形相

似；也考查了等

边三角形的性

质．

5．（2014?义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP?AF的值；

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

考点：相似三角形的

判定与性质；全

等三角形的判

定与性质；等边

三角形的性质．

专题：证明题；动点

型．

分析：（1）①证明

△ABE≌△CAF，

借用外角即可

以得到答案；②

利用勾股定理

求得AF的长

度，再用平行线

分线段成比例

得的比值，即

可以得到答案．

（2）当点F靠

近点C的时候

点P的路径是一

段弧，由题目不

难看出当E为

AC的中点的时

候，点P经过弧

AB的中点，此

时△ABP为等腰

三角形，继而求

得半径和对应

的圆心角的度

数，求得答

案．点F靠近点

B时，点P的路

径就是过点B

向AC做的垂线

段的长度；

解答：（1）①证明：

∵△ABC为等边

三角形，

∴AB=AC，

∠C=∠CAB=60°，

又∵AE=CF，

在△ABE和

△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF

（SAS），

∴AF=BE，

∠ABE=∠CAF．

又

∵∠APE=∠BPF=∠

ABP+∠BAP，

∴∠APE=∠BAP+

∠CAF=60°．

∴∠APB=180°﹣

∠APE=120°．

②∵∠C=∠APE=60

°，∠PAE=∠CAF，

∴△APE∽△ACF，

，所以AP?AF=12

（2）若AF=BE，有AE=BF或

AE=CF两种情况．

①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且

∠ABP=∠BAP=3 0°，

∴∠AOB=120°，又∵AB=6，

∴OA=，

点P的路径是

．

②当AE=BF时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径的长度为：

．

所以，点P经过的路径长为

或

3．

点评：本题考查了等

边三角形性质

的综合应用以

及相似三角形

的判定及性质

的应用，解答本

题的关键是注

意转化思想的

运用．

6．（2014?南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD?AC．

考点：相似三角形的

判定与性质．

专题：证明题．

分析：利用两个角对

应相等的两个

三角形相似，证

得

△ABD∽△ACB，

进一步得出

，整理得

出答案即可．

解答：证明：

∵∠ABD=∠C，∠A

是公共角，

∴△ABD∽△ACB，

∴，

∴AB2=AD?AC．

点评：此题考查相似

三角形的判定

与性质：①如果