2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷及答案
2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）
期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS
2．（4分）若直线l与平面α相交，则（）
A．α内所有直线与l异面
B．α内只存在有限条直线与l共面
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内存在无数条直线与l垂直
3．（4分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
B．若m，n异面，m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
4．（4分）如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）
A．12B．6C．4D．无法确定
5．（4分）四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．2
6．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）
A．B．C．5D．2
7．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N 为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）
A．45°
B．60°
C．900
D．随长方体的形状变化而变化
8．（4分）一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形
A．3B．4C．5D．6
9．（4分）已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5?cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）
A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a 10．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）
A．[）B．（）C．[）D．（）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．（6分）棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．
12．（4分）二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB与平面β所成的角的余弦值是．
13．（6分）正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为．
14．（6分）若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝，此时，不等式f（1﹣x2）+f （3x+9）＜0的解集为．
15．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．
16．（6分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．
（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是；
（2）|A1P|的最小值为．
17．（4分）若不等式[2x（t﹣1）﹣1]?log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a＞1），则t的取值范围是．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；
（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．
19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E 分别为AD，PD中点．
（1）设平面P AB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；
（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面P AB．
20．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；
（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最
小正整数n的值．
21．（15分）对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）?f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．
（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；
（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；
②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a
＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．
22．（15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．
（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；
（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；
（3）求cosα的值．
2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS
【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，
∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，
∴圆柱的侧面积S＝π××＝πS．
故选：B．
2．（4分）若直线l与平面α相交，则（）
A．α内所有直线与l异面
B．α内只存在有限条直线与l共面
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内存在无数条直线与l垂直
【解答】解：对于A，α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线，∴A错误；
对于B，α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，且这些直线与直线l都是共面直线，∴B错误；
对于C，α内不存在与直线l平行的直线，∴C错误；
对于D，如图所示，
直线P A与平面α交于点A，PO⊥α，则OA是P A在α内的射影，
在α内作直线l⊥OA，则l⊥P A，这样的直线l有无数条，∴D正确．
故选：D．
3．（4分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
B．若m，n异面，m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
【解答】解：A．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；
B．若m，n异面，m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β，正确；
C．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥β或n?β，因此不正确；
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n?β，或n∥β，或n与β相交，因此不正确．故选：B．
4．（4分）如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）
A．12B．6C．4D．无法确定
【解答】解：∵侧面B′BCC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，∴V四棱锥A′﹣BCC′B′＝．
∵．
∵V四棱锥A′﹣BCC′B′+V三棱锥A′﹣ABC＝V三棱柱ABC﹣A′B′C′．
∴．
∴V三棱柱ABC﹣A′B′C′＝6．
故选：B．
5．（4分）四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．2
【解答】解：四面体ABCD放到长方体中，AB＝CD＝2，其余AC＝BC＝AD＝DB＝4设长方体的边长分别为a，b，c．
则，解得a2+b2+c2＝16，
四面体外接球半径：2R＝4．R＝2．
故选：D．
6．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）
A．B．C．5D．2
【解答】解：由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为3，P是所在棱的3等分点，PB＝＝，
P A＝＝，PC＝＝，
所以最长棱长为PB，．
故选：B．
7．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N 为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）
A．45°
B．60°
C．900
D．随长方体的形状变化而变化
【解答】解：如图所示：
∵M、N分别是棱BB1、BC的中点，
∴MN∥CB1，
∵M在以C1N为直径的圆上，∴∠C1MN＝90°，
∴C1M⊥MN，∴C1M⊥CB1，
由长方体的几何特征，我们可得C1D1⊥B1C，
∴B1C⊥平面C1D1M，∵A1D∥B1C，
∴A1D⊥平面C1D1M，∴A1D⊥D1M，
即异面直线A1D与D1M所成的角为90°，
故选：C．
8．（4分）一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：如图，连接QR并延长，分别交AA1，AB的延长线与E，F，
连接PE交A1D1于G，连接PF交BC于H，
连接PH，QH，GR，则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状，
故选：C．
9．（4分）已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5?cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）
A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a
【解答】解：因为＜1.5＜，所以＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜，
∴a＞，0＜b＜；∴b＜a；
找中间量sin1.5sin1.5，
由y＝sin1.5x是R上的减函数，sin1.5＞cos1.5，可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；
由y＝x sin1.5是（0，+∞）上的增函数，sin1.5＞cos1.5，可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；
故c＜d，只有A答案合适．
故选：A．
10．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）
A．[）B．（）C．[）D．（）【解答】解：A＝（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由题意，△＝9a2﹣16＞0，且a＞0，
∴解得，，
又，
∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是4和5，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：A．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．（6分）棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为a．
【解答】解：棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，
取BD中点G，连结BE，CE，EG，FG，
则EG∥AB，且EG＝FG＝＝，
∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角），
BE＝CE＝＝，EF＝＝，
cos∠EFG＝＝＝，
∴∠EFG＝，
∴异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．
故答案为：，．
12．（4分）二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB与平面β所成的角的余弦值是．
【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，
因此，∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠ADC＝60°
又∵AB与l所成角为45°，
∴∠ABD＝45°
连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，
∴∠ABC为AB与平面β所成的角．
设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝AD sin60°＝x，
Rt△ABD中，AB＝＝2，BC＝＝，
∴Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝．
故答案为：．
13．（6分）正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为2；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为﹣2．
【解答】解：底面等边三角形的面积S＝＝，所以V＝，
设内切球的球心为O，半径为r，则在O与底面的中心M，
BM＝，OE＝r，OA＝1﹣r，侧面斜边的高AB＝由△AOE ∽△ABM，
得相似得，得，，
所以．
故答案为：﹣2．
14．（6分）若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝1，此时，不等式f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0的解集为（﹣2，5）．
【解答】解：∵f（x）为奇函数，
∴f（0）＝0，
，
∴a＝1．
∴
∵，
∴f（x）为减函数，且为奇函数
∵f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0，
∴f（1﹣x2）＜﹣f（3x+9）＝f（﹣3x﹣9），
∴1﹣x2＞﹣3x﹣9，
∴﹣2＜x＜5．
故不等式的解集为（﹣2，5）．
故答案为：1，（﹣2，5）．
15．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．
【解答】解：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，
使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内，
过点P作PN⊥平面ABCD，交AC1于M，垂足为N，则PN为MB1+MN的最小值．∵AB＝2，BC＝AA1＝，
∴AC1＝＝2，AP＝AB1＝＝，
∵sin∠C1AC＝＝＝，
∴∠C1AC＝30°，
∴∠P AN＝2∠C1AC＝60°，
∴PN＝AP?sin∠P AN＝＝．
∴MB1+MN的最小值为．
故答案为：．
16．（6分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．
（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是平行；
（2）|A1P|的最小值为．
【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（1，0，1），E（0，1，），B（1，1，0），
∵P，Q均在平面A1B1C1D1内，∴设P（a，b，1），Q（m，n，1），
则＝（﹣1，1，﹣），＝（a﹣1，b﹣1，1），＝（m﹣1，n﹣1，1），
∵BP⊥A1E，BQ⊥A1E．
∴，
解得，∴PQ∥BD，即PQ与BD的位置关系是平行．
故答案为：平行．
（2）当|A1P|取最小值时，P在平面A1B1C1D1内，
设P（a，b，1），由（1）得b＝a+，
∴|A1P|＝＝
＝＝，
∴当a＝，即P（，，1）时，|A1P|的最小值为．
故答案为：．
17．（4分）若不等式[2x（t﹣1）﹣1]?log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a＞1），则t的取值范围是．
【解答】解：原不等式等价于：
或即①或②，注意到x＝1时，②成立，此时≤t≤；
当x∈Z，x≥2时，①成立，在①中，1+≤t≤x﹣，又g（x）＝x﹣﹣为单调递增函数，
所以，要使对x∈Z，x≥2成立，只需x＝2时成立，又x＝2时，≤t≤，
所以要使不等式对任意的正整数x恒成立，
则t的取值范围是：≤t≤，
故答案为：≤t≤．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；
（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．
【解答】解（1）由?＝，得ab cos C＝．
又因为cos C＝，所以ab＝＝．
又C为△ABC的内角，所以sin C＝．
所以△ABC的面积S＝ab sin C＝3．
（2）因为∥，所以2sin cos＝cos B，即sin B＝cos B．
因为cos B≠0，所以tan B＝．因为B为三角形的内角，0＜B＜π，所以B＝．由正弦定理＝，所以a＝，c＝，
所以a+c＝，又A+C＝，
所以a+c＝＝4（cos C+）＝4sin（C+），
又0，所以＜C+，
所以∈（2，4]．
19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E 分别为AD，PD中点．
（1）设平面P AB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；
（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面P AB．
【解答】（1）解：分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；
R∈AB?平面P AB，R∈CD?平面PCD，
所以P、R是平面P AB和平面PCD的两个公共点，
由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l．
（2）证明：连接OE、OC，因为BC∥AD，且BC＝AD，
又AO＝AD，所以BC∥AO，
且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，
所以OC∥AB，则OC∥平面P AB；
又OE为△P AD的中位线，则OE∥AP，
所以OE∥平面P AB，
又OE?平面OEC，OC?平面OEC，且OE∩OC＝O，
所以平面P AB∥平面OEC，
又OQ?平面OEC，
所以OQ∥平面P AB．
20．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；
（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最
小正整数n的值．
【解答】解：（1）当n≥2时，2S n﹣1﹣（n﹣1）a n﹣1＝3（n﹣1），又2S n﹣na n＝3n，相减可得（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝3，当n≥3时，（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1＝3，所以（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1，
可得2a n﹣1＝a n﹣2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1﹣a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，
所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；
（2）b n＝＝＝
＝＝（﹣），T n＝（﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），
要使T n成立，
即（﹣）＞，解得n＞，所以最小正整数n的值为8．
21．（15分）对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）?f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．
（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；
（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；
②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a
＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．
【解答】解：（1），则x2＝m2﹣n2不可能恒成立，所以f（x）＝x不是““（m，n）型函数”；
（2）①由题意，g（x+1）g（1﹣x）＝4，取x＝1，则g（2）g（0）＝4，又g（0）＝1，所以g（2）＝4．
②方法一：∵（x+1）g（1﹣x）＝4，所以g（x）g（2﹣x）＝4．当x∈[0，1]时，2﹣x∈[1，
2]时，g（2﹣x）＝＝＝．
（a）当0＜a＜1时，0＜，则g（x）在[0，1]内先减后增，且g（，即1+a﹣a2≤g（x）≤2，
则当x∈[1，2]时，2≤g（x）．
所以当x∈[0，2]时，1+a﹣，由题意，，解得0≤a≤4，所以0＜a＜1．