高中数学基本知识点
数学
第一章集合与简易逻辑
1、一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
康托是集合论的创始者。
2、全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示为N*或N+;
全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；
全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q；
全体实数的集合通常简称实数集，记作R。
3、集合中的每个对象叫做这个集合的元素，集合的元素常用小写的拉丁字母表示。
4、如果a不属于集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A（或a∈A）。
5、我们一般用大括号表示集合，为了方便起见，我们还经常用大写的拉丁字母表示集合。
6、集合的表示方法，常用的有列举法和描述法：
列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法。
描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
7、一般地，含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
8、如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A?B（或B?A），这时我们也说集合A是集合B的子集。
9、?也可以用?，?也可以用?；类似的，还有?。
10、如果集合A 的任何一个元素都是集合集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B 。
11、任何一个集合是它本身的子集。
12、如果A ?B ，并且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ≠?B （或B ≠?A ）＜注：‘≠
?’的中划线在书写时应去除，上下两部分应紧密结合＞。
13、空集是任何非空集合的真子集，空集表示为?。
14、如果A ?B,B ?C,那么A ?C;
如果A ?B,同时B ?A,那么A ＝B 。
15、一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A
S ），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作C s A ，即C s A ＝﹛x ｜x ∈S,且x ∈A ﹜。
16、如果集合S 含有我们所需研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。
17、有所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A ∩B （读作“A 交B ”），即A ∩B ＝﹛x ｜x ∈A,且x ∈B ﹜;
有所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B （读作“A 并B ”），即A ∪B ＝﹛x ｜x ∈A,或x ∈B ﹜。
18、形如2n （n ∈Z ）的整数叫做偶数，形如2n ＋1（n ∈Z ）的整数叫做奇数，全体奇数的集合简称奇数集，全体偶数的集合简称偶数集。
19、｜x ＋b ｜≤a ?﹣a ≤x ＋b ≤a;
｜x ＋b ｜≥a ?x ＋b ≤﹣a,或x ＋b ≥a 。
20、一般式 ax 2 ＋bx ＋c ＝0（a ＞0）
判别式 Δ＝b 2 －4ac
Δ＞0，不等式ax 2 ＋bx ＋c ＞0与ax 2 ＋bx ＋c ＜0均有解集；
Δ＝0，不等式ax 2 ＋bx ＋c ＜0的解集是空集?；
Δ＜0，不等式ax 2 ＋bx ＋c ＜0的解集是空集?。
抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点坐标（﹣a b 2，a ac 4－b 42）。
21、可以判断真假的语句叫做命题，常用小写的拉丁字母表示命题。
22、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
复合命题：p 或q ；p 且q ；非p 。非p 也叫做命题p 的否定。
23、如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。
24、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题。
25、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题。
26、原名题为真，他的逆命题不一定为真；
原名题为真，他的否命题不一定为真；
原名题为真，他的逆否命题一定为真。
27、如果已知p ?q,那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； 如果已知p ?q ，那么我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。
28、集合中元素的三个特征：确定性、互异性和无序性。
确定性是指给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。
互异性是指集合中的元素不能重复。
无序性是指集合中的元素没有顺序，只考虑它们的整体状态。
29、绝对值的几何意义：｜x ｜的几何意义为实数x 在数轴上的对应点P
到原点的距离，｜x-a｜的几何意义是数轴上表示x的点与表示a的点之间的距离。
30、反证法：从命题的结论的反面出发引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
用反证法证明命题的一般步骤：
第一步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾。
第三步：有矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
第二章函数
1、函数（function）一词，是德国数学家莱布尼兹1692年首先采用的。在我国，函数一词是清代数学家李善兰最初使用的，他在1859年与英国学者伟烈亚力合译的《代微积拾级》一书中，将“function”译作“函数”。
2、设A,B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，是对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数
f和它对应，那么就称
)
(x
f：A B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝)(x f，x∈A。其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合﹛
f｜x∈A﹜叫做函数的值域。
(x
)
3、设a,b是两个实数，而且a＜b，我们规定：
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]; （2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）; （3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b﹚，﹙a,b];
这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。
4、实数集R也可以用区间表示为（﹣∞，﹢∞），“∞”读作“无穷大”，“﹣∞”读作“负
无穷大”，“﹢∞”读作“正无穷大”。
5、设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A,B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。
6、给定一个集合A 到集合B 的映射，且a ∈A ，b ∈B,如果元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。
7、表示函数的方法，常用的有：
解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。
图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
8、如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1 ＜x 2时，都有)(1x f ＜)(2
x f ，那么我们就说)(x f 在这个区间上是增函数。 当x 1 ＜x 2时，都有)(1x f ＞)(2
x f ，那么我们就说)(x f 在这个区间上是减函数。 9、如果函数y ＝)(x f 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y ＝)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y ＝)(x f 的单调区间。
10、函数y ＝)(x f （x ∈A ）中，设它的值域为C ，我们根据这个函数中x ，y
的关系，用y 把x 表示出来，得到x ＝)(y ?，如果对于y 在C 中的任何一
个值，通过x ＝)(y ?，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x ＝)(y ?就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x ＝)(y ?（y ∈C ）叫做函
数y ＝)(x f （x ∈A ）的反函数，记作x ＝)(﹣1y f 。
11、一般地，函数y ＝)(x f 的图象和它的反函数y ＝)(﹣1x f 的图象关于直线y
＝x 对称。
12、一般地，如果一个数的n 次方等于a （n ＞1，且n ∈N ﹡），那么这个数叫做a 的n 次方根。
13、式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
当n 为奇数时，n n a ＝a ；
当n 为偶数时，n n a ＝｜a ｜＝﹛0),(﹣a(a＜0). a a 。
14、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
15、函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。
16、如果a （a ＞0，a ≠1）的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作㏒a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
17、负数和零没有对数（∵a ＞0，∴a b ＞0）。
18、通常将以10为底的对数叫做常用对数，为了方便，N 的常用对数㏒10N 简记作lgN.
在科学技术中常常使用以无理数e ＝2.71828…为底的对数，以e 为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数log e N 简记作lnN 。
19、对数的运算性质：
如果a ＞0，a ≠1，M ＞0,N ＞0,那么：
（1）log a （MN ）＝log a M ＋log a N;
（2）log a N
M ＝log a M －log a N; （3）Log a M n ＝nlog a M （n ∈R ）。
20、函数y ＝log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，﹢∞）。
21、函数y=f （x ）的定义域记作D ，函数y=g （x ），g （x ）∈D ，则函数y=［g （x ）］叫做关于x 的复合函数。
22、对于任意有理数r ，s 均有有理数指数幂的运算性质：
a r ·a s =a r+s （a ＞0，r ，s ∈Q ）
（a r ）s =a r ·s （a ＞0，r ，s ∈Q ）
（a ·b ）r =a r ·b r （a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）
23、（1）平移变换：
①左右平移变换：函数y=f （x ±m ）（m ＞0）的图象是把函数y=f （x ）的图象向左或向右平移（左加、右减）m 个单位。
②上下平移变换：函数y=f （x ）±b （b ＞0）的图象是把函数y=f （x ）的图象向上或向下平移（上加、下减）b 个单位。
（2）对称变换：
①y=f （-x ）的图象与y=f （x ）的图象关于y 轴对称。
②y=-f （x ）的图象与y=f （x ）的图象关于x 轴对称。
③y=-f （-x ）的图象与y=f （x ）的图象关于原点对称。
④y=f -1（x ）的图象与y=f （x ）的图象关于直线y=x 对称。
第三章 数列
1、按一定次序排成的一列数叫做数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项。
2、如果数列﹛a n ﹜的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
3、项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。
4、如果已知数列﹛a n ﹜的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n －1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递龟推公式。
5、一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
6、如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
7、S n ＝2)＋a (n 1a n S n ＝na 1 ＋2
－1)(n n d 等差数列﹛a n ﹜的前几项和的公式。
8、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q ≠0）。
9、等差数列a n ＝a 1 ＋（n ＋1）d ； 等比数列a n ＝a 1q n －1 。
10、使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
11、等比数列的前n 项和的公式
S n ＝－q 1)－q 1(n 1a S n ＝q
q a 1－a n 1 。 第四章 三角函数
1、按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。
2、如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
3、终边相同的角不一定相同，但是相同的角的终边一定相同。
4、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝｛β｜β＝α＋k ·360°，k ∈Z ｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
5、规定周角的
3601为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做
角度制。
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad 。
6、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角的弧度数的绝对值｜α｜＝r l ，其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径。
7、以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。
8、360°＝2πrad ，180°＝πrad ，1°＝
180πrad ≈0.01745rad ，1rad ＝（π
180）°≈57.30°＝57°18′
度（°） 弧度（rad ）
0 0
30 6π
45 4π
60 3π
90 2π
120 32
π
135 43
π
150 65
π
180 π
270 23
π
360 2π
角度每增15°，弧度增12π
。
9、弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积l ＝｜α｜r ，
角度制公式l ＝180r
πn 。
10、三角函数： 比值r y
叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝r y
； 比值r x
叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝r x
； 比值x y
叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝x y
。
11、圆心在原点O ，半径等于单位长度的圆叫做单位圆。
12、被看作带有方向的线段，叫做有向线段。
13、三角函数： 比值y x
叫做α的余切，记作cot α，即cot α＝y x
； 比值x r
叫做α的正割，记作sec α，即sec α＝x r
；
比值y r 叫做α的余割，记作csc α，即csc α＝y
r 。 14、终边相同的角的同一三角函数值相等：
公式一：
sin （α＋k ·360°）＝sin α；
cos （α＋k ·360°）＝cos α；
tan （α＋k ·360°）＝tan α；
其中k ∈Z 。
15、度（°）|弧度（rad ） sin α cos α tan α
0|0 0 1 0
30|6π 21 23 33
45|4π 22 22 1
60|3π 23 21 3
90|2π 1 0 —
120|32π 23 -21 -3 150|65π 21 -23 -3
3 180|π 0 -1 0
270|2
3π -1 0 — 360|2π 0 1 0
16、平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1
商数关系 ααc o s
s i n ＝tan α 倒数关系 tan αcot α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切；同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）。
17、cos α＝﹛限角，
，当α为第一、第四象α限角。，当α为第二、第三象α22tan 11
tan 11++-
sin α＝限角，，当α为第一、第四象αα
限角。
，当α为第二、第三象αα｛22tan 1tan tan 1tan -++
18、公式二：
sin （180°+α）＝-sin α；
cos （180°+α）＝-cos α。
19、公式三：
sin （-α）=-sin α；
cos （-α）=cos α。
20、公式四：
sin （180°-α）＝sin α；
cos （180°-α）＝-cos α。
21、公式五：
sin （360°-α）＝-sin α；
cos （360°-α）＝cos α。
22、公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式，它们可以概括如下：
α+k ·360°（k ∈Z ），-α，180°±α，360°-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
诱导公式运用：
任意负角的三角函数????→?用公式三或一
任意正角的三角函数???→?用公式一0°到360°的角的三角函数?????→?用公式二或四或五
锐角三角函数。 23、两点间的距离公式P 1P 2=
212212)()(y y x x -+-
24、和角公式： C （α+β）：cos （α+β）=cos αcos β-sin αsin β；
S （α+β）：sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β；
T （α+β）：tan （α+β）=
βαβαtan tan -1tan tan + 。
差角公式：
C （α-β）：cos （α-β）=cos αcos β+sin αsin β；
S （α-β）：sin （α-β）=sin αcos β-cos αsin β；
T （α-β）：tan （α-β）=
βαβαtan tan 1tan -tan + 。
诱导公式：
cos （2
π-α）=sin α； sin （2π-α）=cos α。 25、倍角公式：
C 2α：cos2α=cos 2α-sin 2α；
S 2α：sin2α=2sin α·cos α；
T 2α：αα2tan 1tan 2+ 。
C 2α变形：cos2α=1-2sin 2α=2cos 2α-1 。
半角公式： S 2α：sin 2α=±
2
cos 1α-； C 2α：cos 2α=±2
cos 1α+； T 2α：tan 2α=±
βαcos 1cos 1+- 。
26、正弦函数的图象叫做正弦曲线；
余弦函数的图象叫做余弦曲线。
27、正弦、余弦函数的定义域都是实数集R ，分别记作y=sinx ，x ∈R ；y=cosx ，x ∈R 。
正弦、余弦函数的值域都是〔-1，1〕。
其中正弦函数当且仅当x=2
π+2k π，k ∈Z 时取得最大值1， 当且仅当x=-2
π+2k π，k ∈Z 时取得最小值-1； 而余弦函数当且仅当x=2k π，k ∈Z 时取得最大值1，
当且仅当x=（2k+1）π，k ∈Z 时取得最小值-1。
28、正弦、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。
对于函数)(x f ,如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值
时，都有=
+)(T x f )(x f ，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函
数的周期。 对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那
么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期。
正弦、余弦函数是周期函数，2k π（k ∈Z ，且k ≠0）都是它们的周期，最小正周期是2π。
29、如果对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)(x f -=-)(x f ，则称)(x f 为这一定义域内的奇函数，奇函数的图象关于原点对称。
正弦函数是奇函数。
如果对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)(x f -=)(x f ，则称)(x f 为这一定义域内的偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称。
余弦函数是偶函数。
30、正弦函数在每一个闭区间〔-2π+2k π，2
π+2k π〕（k ∈Z ）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间〔2π+2k π，2
3π+2k π〕（k ∈Z ）上都是减函数，其值从1减小到-1.
余弦函数在每一个闭区间〔（2k+1）π，2k π〕（k ∈Z ）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间〔2k π，（2k+1）π〕（k ∈Z ）上都是减函数，其值从1减小到-1.
31、函数y=Asin （ωx+?），x ∈R 及函数y=Acos （ωx+?），x ∈R （其中A ，ω，?为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T=ω
π2。 32、正切函数的图象叫做正切曲线。
33、正切函数的定义域是｛x|x ≠2
π+k π，k ∈Z ｝； 正切函数的值域是实数集R ；
正切函数是周期函数，周期是π；
正切函数是奇函数。
正切函数在开区间（-2π+k π，2
π+k π），k ∈Z 内都是增函数。
34、符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina；
符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa；
符合条件tanx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正切，记作arctana，即x=arctana。
第五章平面向量
1、既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用字母a，b，c等表示。
2、以A为起点，B为终点的有向线段记作AB.注意：起点一定要写在终点的前面。已知AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|，表示向量AB的大小，称为模。
3、长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
4、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a=b。零向量与零向量相等。任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
5、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a，b，c平行，记作a ∥b∥c，我们规定0与任一向量平行。平行向量也叫做共线向量。
6、向量的加法：已知a，b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC（首尾连，指终点）；向量的减法：已知a，b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b （共起点，指被减）。
7、与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a，a和-a互为相反向量。
8、运算律：设λ，μ为实数，那么
（1）λ（μa ）=（λμ）a ；
（2）（λ+μ）a =λa +μa ；
（3）λ（a +b ）=λa +λb 。
9、定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b =λa 。
10、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ11e +λ22e 。
11、在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a =x i +y j 。 把（x ，y ）叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =（x ，y ） 向量的坐标表示。
12、a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2）；
a -
b =（x 1-x 2，y 1-y 2）
。 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 λa =（λx ，λy ）。
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
13、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标，减去始点的坐标。
14、21P P 的定比分点坐标公式 x=λλ++121x x ； y=λλ++12
1y y 。
P P 1=λ2
PP ,λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。 21P P 的中点坐标公式 x=2
21x x +； y=22
1y y +。
15、已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a 与b 的夹角。 如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
16、已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做
a 与
b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ。 |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影。
a ·
b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积。
17、运算律：
（1）a ·b =b ·a （交换律）；
（2）（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）；λ（a ·b ）可以简写成λa ·b 。
（3）（a +b ）·c =a ·c +b ·c 。 18、两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a ·b =x 1x 2+y 1y 2。
19、平移公式：
x ′=x+h ；
y ′=y+k 。
设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有点按照同一方向，位移同样长度，得到图形F ′。我们把这一过程叫做图形的平移。 20、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即C c B b A a sin sin sin ==。
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a 2=
b 2+
c 2
-2bc ·cosA ；cosA=bc
a c
b 2222-+； b 2=a 2+
c 2-2ac ·cosB ；cosB=ac
b c a 2222-+； c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC ；cosC=ab c b a 2222-+。
第六章 不等式
1、a ＞b ?a-b ＞0；
a ＝
b ?a-b ＝0；
a ＜
b ?a-b ＜0 。
2、定理1：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b 。 对称性
3、定理2：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ；如果c ＜b,b ＜a,那么c ＜a 。 传递性
4、定理3：如果a ＞b ，a+c ＞b+c 。
如果a+b ＞c,那么a ＞c-b 。 不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。
推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a+c ＞b+d 。
5、定理4：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc 。
推论1：如果a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0，那么ac ＞bd 。
推论2：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n （n ∈N ，且n ＞1）。
6、定理5：如果a ＞b ＞0，那么n n a b ＞（n ∈N ，n ＞1）。
7、如果a ，b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时取“=”号）。
8、定理：如果a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时取“=”号）。 我们称2b a +为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数。因而，这一定理又可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
8、我们已经知道，a-b ＞0?a ＞b ，a-b ＜0?a ＜b ，因此，要证明a ＞b ，只要证明a-b ＞0；要证明a ＜b ，只要证明a-b ＜0.这种证明不等式的方法，通常叫做比较法。
9、有时我们可以利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何
平均数的定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立。这种证明方法通常叫做综合法。
10、证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。
11、定理：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
推论1：|a 1+a 2+a 3|≤|a 1|+|a 2|+|a 3|
推论2：|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
第七章 直线和圆的方程
1、以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
2、在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。
3、倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k 表示，即k=tan α。
4、经过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式k=
1212x x y y --。 直线上的向量21P P 及与它平行的向量都称为直线的方向向量。
5、点斜式 y-y 1=k （x-x 1） 由直线上一点和直线的斜率确定。 斜截式 y=kx+b 由直线的斜率和它在爱y 轴上的截距确定。 两点式 121121x x x x y y y y --=-- 由直线上两点确定。
截距式 1=+b y a x 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定。
6、一般式 Ax+By+C=0 （其中A 、B 不同时为0） y=-B A x-B C (B ≠0） x=-A
C (B=0） 在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程。
在平面直角坐标系中，任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线。
7、当直线l 1和l 2有斜截式方程 l 1：y=k 1x+b 1，l 2：y=k 2+b 2时，直线l 1∥l 2的充要条件是k 1=k 2且b 1=b 2.
一般式平行充要条件：A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0.
8、如果两条直线的斜率为k 1和k 2，那么，这两条直线垂直的充要条件是k 1·k 2=-1。
一般式垂直充要条件：A 1A 2+B 1B 2=0.
9、把直线l 1绕着直线l 1与l 2的交点按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转过的最小角，叫做l 1到l 2的角：tan θ=1
2121k k k k +-。 10、点到直线的距离d=2
200||B A C By Ax +++
; 两条平行线间距离：d=2221|
|B A C C +-.
11、线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，其中可行解分别使目标函数取得最大值或最小值，它们都叫做这个问题的最优解。
12、（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
13、把借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法。
在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫做解析几何的学科。
14、圆的标准方程 （x-a ）2+（y-b ）2=r 2
圆心 （a ，b ） 半径 r
15、过圆上一点（x 0，y 0）的切线方程：x 0x+y 0y=r 2
16、圆的一般方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0
圆心 （-2D ，-2E ） 半径 F E D 42122-+。
17、圆的参数方程
x=a+rcos θ，
y=b+rsin θ。
θ为参数。
圆心 （a ，b ） 半径 r
第八章 圆锥曲线方程
1、把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
2、椭圆的标准方程 122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）。 3、范围 |x|≤a ，|y|≤b 。
4、椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
5、椭圆与x 轴、y 轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。
6、a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，c 是半焦距。
7、椭圆的焦距与长轴长的比e=a
c ，叫做椭圆的离心率。 8、当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=a c （0＜e ＜1）时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆
高中数学三角函数基础知识点及答案
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
高中数学复习必背知识点
高中数学复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 第二章 函数 1、求)(x f y =的反函数：①解出)(1y f x -=②y x ,互换③写出)(1x f y -=的定义域； 2、对数：①负数和零没有对数 ②1的对数等于0：01log =a ③底的对数等于1：1log =a a ， ④积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N M a a a log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =；b m n b a n a m log log = ， 第三章 数列 1、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； 数列前n 项和与通项的关系：???≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 2、等差数列 ： ①定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数； ②通项公式：d n a a n )1(1-+= （其中首项是1a ，公差是d ；） ③前n 项和：2)(1n n a a n S += d n n na 2 ) 1(1-+= ④等差中项： A 是a 与b 的等差中项：2 b a A +=或b a A +=2， 三个数成等差常设：a-d ，a ，a+d 3、等比数列：
①定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，（0≠q ）。 ②通项公式：11-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ） ③前n 项和：??? ?? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n ④等比中项： G 是a 与b 的等比中项：G b a G = ，即ab G =2（或ab G ±=，等比中项有两个） 第四章 三角函数 1、弧度制：①π= 180弧度，1弧度'1857)180 ( ≈=π ； ②弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数） 2、三角函数定义： y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc sec cot tan cos sin 3、特殊角的三角函数值 4、同角三角函数基本关系式： 1cos sin 22=+αα α α αcos sin tan = 1cot tan =αα
高中数学知识点总结(精华版)
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设
高中数学知识点总结(精华版)
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学知识点完全总结(绝对全)
高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 高中必考数学知识点归纳整理 1高中数学重难点知识点 高中数学（文）包含5本必修、2本选修，（理）包含5本必修、3本选修，每学期学习两本书。 必修一：1、集合与函数的概念（这部分知识抽象，较难理解）2、基本的初等函数（指数函数、对数函数）3、函数的性质及应用（比较抽象，较难理解） 必修二：1、立体几何（1）、证明：垂直（多考查面面垂直）、平行（2）、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程： 必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分（选择或填空）2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：（图像、性质、高中重难点，）必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分 必修五：1、解三角形：（正、余弦定理、三角恒等变换）高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：（线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分）不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 文科：选修1—1、1—2 选修1--1：重点：高考占30分 1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线： 3、导数、导数的应用（高考必考） 选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：（新课标比老课本难的多，高考必考内容） 最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 整理全面《高中数学知识点归纳总结》 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?= 数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a =，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈且，若A B A =则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈或，若A B A =则B A ? ③ {} U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与 之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： 25y x =- 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。 高中数学必背知识点3篇 高中数学必背知识点 高考来临了,在高中数学数学上有很多高中数学公式,同学们在复习的时候都会用到,高中数学有哪些要背的知识呢?高中数学必背知 识点1一、集合、简易逻辑(14课时，8个)1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件。二、函数(30课时，12个)1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例。三、数列(12课时，5个)1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式。四、三角函数(46课时，17个)1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4.单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的基本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式;7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.已知三角函数值求角;15.正弦定理;16.余弦定理;17.斜三角形解法举例。五、平面向量(12课时，8个)1.向量;2.向量的加法与减法;3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的 距离;8.平移。六、不等式(22课时，5个)1.不等式;2.不等式的基本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式。七、直线和圆的方程(22课时，12个)1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元一次不等式表示平面区域;8.简单线性规划问题;9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程。八、圆锥曲线(18课时，7个)1.椭圆及其标准方程;2.椭圆的简单几何性质;3.椭圆的参数方程;4.双曲线及其标准方程;5.双曲线的简单几何性质;6.抛物线及其标准方程;7.抛物线的简单几何性质。九、直线、平面、简单何体(36课时，28个)1.平面及基本性质;2.平面图形直观图的画法;3.平面直线;4.直线和平面平行的判定与性质;5.直线和平面垂直的判定与性质;6.三垂线定理及其逆定理;7.两个平面的位置关系;8.空间向量及其加法、减法与数乘;9.空间向量的坐标表示;10.空间向量的数量积;11.直线的方向向量;12.异面直线所成的角;13.异面直线的公垂线;14.异面直线的距离;15.直线和平面垂直的性质;16.平面的法向量;17.点到平面的距 离;18.直线和平面所成的角;19.向量在平面内的射影;20.平面与平面平行的性质;21.平行平面间的距离;22.二面角及其平面角;23.两个平面垂直的判定和性质;24.多面体;25.棱柱;26.棱锥;27.正多面体;28.球。十、排列、组合、二项式定理(18课时，8个)1.分类计数原理与分步计数原理;2.排列;3.排列数公式;4.组合;5.组合数公式;6.组合数的两个性质;7.二项式定理;8.二项展开式的性质。十一、概率(12课时，5个)1. 高中数学知识点总结 1 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 3 中元素各表示什么？ 4 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 5 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 6 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 7 {}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 8 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? 9 （答：，，）-??????1013 10 3. 注意下列性质： 11 {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 12 （）若，；2A B A B A A B B ??== 13 （3）德摩根定律： 14 ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 15 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 16 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 17 的取值范围。 18 ()（∵，∴ ·∵，∴·，，）335305555015392522∈-- 高中数学会考复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 1、含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 第二章 函数 1、求)(x f y =的反函数:解出)(1 y f x -=,y x ,互换,写出)(1 x f y -=的 定义域; 2、对数:①:负数与零没有对数,②、1的对数等于0:01log =a ,③、底的对数等于1:1log =a a , ④、积的对数:N M MN a a a log log )(log +=, 商的对数:N M N M a a a log log log -=, 幂的对数:M n M a n a log log =;b m n b a n a m log log = , 第三章 数列 1、数列的前n 项与:n n a a a a S ++++=Λ321; 数列前n 项与与通项的关系:? ? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 2、等差数列 :(1)、定义:等差数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数; (2)、通项公式:d n a a n )1(1-+= (其中首项就是1a ,公差就是d ;) (3)、前n 项与:1.2 ) (1n n a a n S +=d n n na 2 ) 1(1-+ =(整理后就是关于n 的没有常数项的二次函数) (4)、等差中项: A 就是a 与b 的等差中项:2 b a A += 或b a A +=2,三个数成等差常设:a-d ,a ,a+d 3、等比数列:(1)、定义:等比数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,(0≠q )。 (2)、通项公式:1 1-=n n q a a (其中:首项就是1a ,公比就是q ) (3)、前n 项与:????? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n (4)、等比中项: G 就是a 与b 的等比中项:G b a G =,即ab G =2 (或ab G ±=,等比中项 有两个) 第四章 三角函数 1、弧度制:(1)、π=ο 180弧度,1弧度'1857)180 ( οο≈=π ;弧长公式:r l ||α= (α就是角 的弧度数) 2、三角函数 (1)、定义: y r x r y x x y r x r y ======ααααααcsc sec cot tan cos sin 高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈-- 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 人教版高中数学知识点（必修＋选修） 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子 集，它有2 2n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A A = A A ?= A B A ? B B ? A {|x x ()U A =? e 2()U A A U =e 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) ()()()U U A B A B =痧?()()() U U A B A B =痧? V R 3 4 3 log log log a a a M M N N =-2011年高中数学学业水平测试 复习必背知识点 必修一 集合与函数概念 1、含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 2、求)(x f y =的反函数：解出)(1 y f x -=，y x ,互换，写出)(1 x f y -=的定义域；函数 图象关于y=x 对称。 3、对数：①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ：01log =a ；③底的对数等于1： 1log =a a ，④、积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数： 幂的对数：M n M a n a log log =； 4.奇函数()()f x f x ，函数图象关于原点对称；偶函数()()f x f x ，函数图象关于 y 轴对称。 必修二 一、直线 平面 简单的几何体 1、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3= 2、球的体积公式： 球的表面积公式：2 4 R S π= 3、柱体h s V ?=，锥体 4.点、线、面的位置关系及相关公理及定理： （1）四公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； （2）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 （3）空间线线，线面，面面的位置关系： 空间两条直线的位置关系： 相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点； 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。 V s h 1 3 log log m n a a n b b m =高中必考数学知识点归纳整理
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