初等数学研究答案 李长明 周焕山编习题4(1)答案

24.???????=+=+3

111122

2y x x y y x 解：方程组的定义域(){

}0,0,≠≠y x y x

原方程组变形为： ???????=+=+31123

3xy

y x xy y x 即()???=+=+)2.......(....................3)1.(....................1233xy y x xy y x ())(33

33y x xy y x y x +++=+ ()???=+=+++∴)2.(........................................

)(3)3.(....................12)(3x 3xy y x xy y x xy y 令x+y=u,xy=v,有：

?

??==+)5........(..............................3)4.......(....................123u 23v u v v u 由（5）代入（4）得：

0369u 23=-+u

()

0369u 2=-+u u

0u =∴或036-u 9u 2=+，即3u 12u -==，

将u=0代入（5），得v=0 ?

??==+∴00y x xy 解得???==00y x 不在定义域内 将U=-12代入（5）得：v=36

???==+∴36

12x xy y ,解得：6,0)6(,0361222==-=+-x x x x ?

??==∴66y x 将u=-3代入（5）得。v=-9

???-=-=+∴93y x xy ,解得：???

????--=+-=25

32325323y x ???

????+-=--=2532325323y x x y 9-= 故原方程的解为：

()???? ??+???? ??+25323253-23-253-23-25

323-6,6，，，， （3）()???=+=+++xy

y x x y x 71232y 22

原方程可化为：()()()???=+=++-+）（2.....................................

712)1..(....................3222xy y x y x xy y x 令x+y=u,xy=v,代入上方程组，有：

???==+-)4......(..............................

712)3......(....................3222v u u v u 由（4)得：u 7

12v =

代入(3),并整理得：.(5)....................0.........224-u 17-u 72= 解(5)的得：732,7u 21-==u 将u=7代入(4),得v=12,故?

??==+127xy y x 解得???==43y x 或???==34y x 将732-

=u 代入（4)得：49

384v -= 故?????-==+49384732-y x xy 得：0384224492=-+x x 解：98

7526450176224983844942242242+±-=??+±-=x 98

7102224981254402242

8??±-=±-= 98

10722244?±-=

98

10112224±-= 7108716±-

= 故解得：

()()???????+-=-=2107872108y x ()()

???????-=+-=2107872108y x 故原方程组的解为：()()()()()()??

? ??+-??? ??+2-107821078,21078-2-1078

3,44,3，，，， 26.（1）???==++）（2 (2464)

)1.......(....................12646422y X y x 解：令v u y x ==64,64，则原方程组可化为：

???==+）（4.........................

24)3....(....................12u 22uv v （3）+2（4），得：

28122u 22+=++uv v

即()()2

2222v u +=+ 222+=+∴v u

???==∴22v 2u 或???==2

v 22u ()???==∴2

264264I y x 或()???==2642264II y x 解（I)得：?????==4161y x 解（II ）得：??

???==6141y x 故原方程组的解为：???

??41,61，或??

? ??61,41，

(2)()??

???=+-=???? ??+-）（2.....................25)1.......(..........21log log 2225.0y x y x y 解：方程（1）左边取以2为底的对数，得：

()22

log 1log 5.0log log 2222-=???? ??+-y x y 即： ()2log log -22-=--y x y

()2.log 2=-y x y

()4x -y =∴y 即）

（3........................42=-xy y 解(2)，(3)联立方程组得：

???=+=-)2..(....................

25)3..(....................4222y x xy y 令y=tx,分别代入（2），（3）得： ()()

???=+=-））5.(..............................2514.....(....................41222t x t t x 由（4），（5）解出2x 的表达式得：())6( (1)

25142+=-t t t 由（6）变形整理得：0425212

=--t t ()()0174-t 3=+t

7

1,3421-==t t 由34=t ，有x y 3

4=，代入(3)得：3±=x 由71-=t ，有x y 71-=，代入（3）得：22

7±=x ???==∴43y x ，???-=-=43y x （舍），???????-==22227y x （舍），???

????==22

227-y x 所以原方程组的根为()???

? ??22,227-4,3，，

27.（1）??

???=+=+)2.......(..............................125)1....(..............................43sin sin 22πy x y x 解：利用降次公式，（1)即：4

322cos 122cos -1=-+y x 2

12cos 2cos =+y x ()2

1cos 2=+y x ()())3....(.. (2)

1cos cos 2=-+y x y x （2）代入（3），化简得：()21cos .125cos 2=-??

? ??y x π ()4262

61cos +=-=-y x ???

? ??-=??? ??+=42664cos 125cos πππ )4........(24

26cos πk acr y x ++±=-∴ （2）（4）联立解得：???

????Z ∈-+±=Z ∈++±=k k acr y k k acr x ,426cos 21245,426cos 21245ππππ 4.（1）()()()()()()

)1.......(..........131321212--=--+--x x x x x x x 解：方程定义域为}{

3,2,1,M ≠∈=x R x x 且

将（1）式左边通分， ()()()()()()()

1313212123--=----+-x x x x x x x x 即()()()()()

131321222--=-----x x x x x x x 左边分子因式分解：()()()()()()()

13-x 132121x 2-x -=---+x x x x

左边约分()()()()

)2......(....................1313121--=--+x x x x x 两边同乘以（x-1)(x-3)得：1,21,121==+=+∴

x x x 但x=1不在定义域内，为增根，原方程无解

解法2：方程定义域为}{

3,2,1,M ≠∈=x R x x 且将方程右边的分式移到左边： ()()()()()()01

31321212=-----+--x x x x x x x 左边通分整理得：

()()()()()()

0321222123=------+-x x x x x x x 即：()()()()()()()()

0321212,0321-x 2232=-----=--+-x x x x x x x x x 约去公因式()()021-x ≠-x ,将方程左边化成最简因式：

()

0321=-x 上式的分子为非零常数，显然无解。因为各个步骤都是同解变形，所以原方程无解。

（5）解：令u x x =+72

，则原方程变形为： 012

1181611=+-++++u u u u 左边通分得：

()()()()()()()()()()()()

01218u 6126126121812186=+++++-+++++-+++u u u u u u u u u u u u u u u 即：()()()()

0121869144=++++u u u u u 9-=∴u

0972=++∴x x 2

137+-=x 5.（1）)1.( (6)

565432432222323+-++=-+-+++x x x x x x x x x x 解：原方程的定义域为：{}

3,2,M ≠∈=x R x x 且

利用合分比性质对（1)变形得：

x

x x x x 101228462223+=++ 即x

x x x x 56423223+=++ 02441221552244=+++=+∴x x x x x

024324=--∴x x

()()

038322=-+∴x x

i x x x 38,38,08322±=-==+∴ 3,032±==-x x

6.（2）)1...(..............................7235+=+++x x x 解：方程定义域为：{}

3-≥x x

（1）可变形为：)2.........(..........3725+-+=+x x x

（2）式两边平方并整理得： ()())3...(....................523722+=++x x x

（3）式两边平方，并整理得：0593242

=++x x 解之得：2548543288032±-=±-=±-=x

经检验得，原方程的根为：254+

-=x 13.（1））（1......................0263=++x x

解：p=6,q=2

3

232362232??

? ??+??? ??=??? ??+??? ??p q )2..(....................2922322323=+-=??? ??+??? ??+-=p q q u

)4.( (49223223)

23=+=??? ??+??? ??+=p q q v ???

? ??+-=??? ??+=∴i i u 2321232sin 34cos 23

3ππ ???

? ??+-=??? ??+=i i u 2321234sin 34cos 23

33ππ

()2,1,032sin 32cos 43=??? ?

?+=i k i k v ππ ???

? ??--=???? ??+-==∴i v i v v 23214,23214,4333231 因此，方程的三个根为：

3311142-=-=v u x

()???? ??+--=???

? ??+--???? ??+-=-=i i i v u x 23214223214232123333222 ???? ??---

???

? ??--=-=i i v u x 232142321233333

14.解：方程两端同除以2

x ，得： 0613121362

2=+-+-x x x x 0121131622=+??? ?

?+-??? ??+∴x x x x 令y x x =+1，则21222-=+y x

x ()

01213262=+--∴y y

613,0,01362==∴=-∴y y y y 由y=0,有i x x

x x x ±==+∴=+,01,012 由613=y ，有6131=+x x ，061362=+-∴x x ，12

2513±=∴x

12

513±=∴x 即3

2,2343==x x （3）

解：原方程属于第一类奇次倒数方程，可分解为：

()()015496449151234=++++-x x x x x

显然有一根x=1,为求其根要解方程：

)1..(....................01549644915234=++++x x x x

因0≠x ，以2

x 除（1）两端，整理得： )2.......(..........06414911522=+??? ?

?++??? ??+x x x x 令y x x =+221，则21222-=+y x

x ，代入（2），得： 03449152=++y y 解之得：15

34,1,30194921-=-=±-=y y y 由11-=+

x x ，得：012=++x x i x 2321±-=∴ 由15

341-=+x x ，得：0153152=++x x 15

8173025634±-=±-=∴x 5

3,35-=-=x x 19.（2）用x 表示系数较小的y,得：

37171x x y -+

-= 令u x =37

17-1，即：37u+17x=1 17201-u u x -+=∴ 令v u =17

20-1，有：12017=+u v 17

13-+=∴u u v 取u=6,则，x=-13,y=19

故原方程的全部整数解为：???Z ∈-=+-=t t

y t x ,54193713 （4）原方程可化为：3x-7y=9 经观察得方程的一个特解为??

?==03y x 故原方程的全部整数解为：???Z ∈=+=t t

y t x ，373 21.（4）解：方程两边取以a 为底的对数，得：

()

3log .10log 10log .53log 2a a a a x x =+-

010log ≠∴a ()

3log 53log 2a a x x =+-∴

023,35322=+-=+-∴x x x x 2,1==∴x x

22.解：原方程可化为： 0cos sin 2sin 4sin 6222=++-x x x x

0cos cos sin 8sin 722=+-x x x x

()()0cos sin cos sin 7=--∴x x x x

0cos sin 7=-∴x x 或0cos sin =-x x

由0cos sin 7=-x x ，有x x cos sin 7=

7

1,0cos =∴≠tgx x Z ∈+=∴k k arctg x ,7

1π 由sinx-cosx=0,有0cos 22sin 222=???

? ??-x x

04sin cos 4cos sin 2=??? ?

?-ππx x 04sin 2=??? ?

?-∴πx 04sin =??? ?

?-∴πx Z ∈+==-∴k k x k x ,4,4ππππ

故原方程的解集为：?

?????Z ∈+=???????

Z ∈+=k k x k k acrtg x x ,4,71πππ (2)解：原方程可化为：

x x x x x

x x x

cos sin 2cos sin cos sin 1cos sin 122++=-+

()2sin cos sin cos sin cos x x x

x x x +=-+∴()()()0sin cos sin cos sin cos sin cos 2=--+-+∴x

x x x x x x x ()()()[]0sin cos sin cos sin cos 1sin cos =--+--+x

x x x x x x x ()()[]0sin cos sin cos 1sin cos 22=---+x

x x x x x ()0sin cos sin 2.sin cos 2=-+x

x x x x 0sin cos =+∴x x 或0sin 22=x

由0sin cos =+x x ，有0sin 22cos 222=???

? ??+x x

0sin 4cos cos 4sin 2=??

? ??+x x ππ 04sin 2=???? ????? ?

?+x π πππk x x =+=??? ??+∴4,04s i n Z ∈+-=k k x ,4

ππ

由0sin 22=x ，有Z ∈==k k x x ,,0sin π 故原方程的解集为：{}Z ∈=?

?????

Z ∈-=k k x x k k x x ,,4πππ （4)解：原方程可化为：533cos 3cos 2123sin 2322+??? ??-=???

? ???+?x x x π

533cos 3sin 3sin 4cos 3cos 4+??

? ??-=??? ??+?x x x πππ 0533cos 33cos 42=-??? ??--???? ?

???? ??-x x ππ 0133cos 433cos 4=??????+??? ??-??????

?-??? ??-x x ππ 0533cos 4=-??? ??-∴x π或01)33cos(=??

????--x π 由0533cos 4=-??? ??-x π，有4

533cos =??? ??-x π 133cos ≤??? ??-x π ，故4

533cos =??? ??-x π无解 由0133cos =+??? ??-x π，有133cos -=??? ??-x π Z ∈+±=∴k k x ,23-3πππ

πππk x 233-±=

∴ Z ∈-±=k k x ,3

236πππ

故原方程的解集为：?

?????

Z ∈-±=k k x x ,3236πππ （5）解：原方程可化为：

83333lg lg =-

?x x 令u x =lg 3，则有：

833=-u

u 0u > 03832=--∴u u

()()0313=-+u u

01u 3=+∴或03=-u

由3u+1=0,有3

1-=u （舍）

由u-3=0，有u=3 故1lg ,33lg ==x x Z ∈+=

∴k k x ,4ππ