第6章数理统计的基本概念习题及答案
第六章 数理统计的基本概念
一.填空题
1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本,
则∑==n
i i n 11ξξ服从分布 )n ,(N 2
σμ .
2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2
σμN X 则~)(22
1n S n σ
- )(1χ2-n ; ~)(n
S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值,∑=--=n i n X X n S 122
11)(。
3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本, —
+-=221)2(X X a X 243)43(X X b -,则当=a 201=a 时,=b 1001=b
时,统计量X 服从2
X 分布,其自由度为 2 .
4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而12
9(,,
,)
x x x 和
129(,,,)y y y 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量
9
29
~U y =++ (9)t .
5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X 与1216
,,,Y Y Y 分别 为X 与Y 的一个简单随机样本,
则22
2
129222
1216
X X X Y Y Y ++++++服从的分布为 (9,16).F !
6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量
2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立,
令T =, 则
2~T F (1,n ) 分布.
解:由T =, 得22
X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ
再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22
~(1,).X T F n Y n
=
7. 设12,,
,n X X X 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量2
2
21
11n k k X n X =-∑服从的分布为
(1,1)F n - (需写出分布的自由度).
解:由~(0,1),1,2,,i X N i n =知22
221
2
~(1),~(1)n
k k X X n χχ=-∑, 于是
221
22211
(1)
1~(1,1)./1
1n
k
n k k k X
n X F n X n X ==-=--∑∑ …
8. 总体2
1234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本, 设2
122
34()()X X Z X X -=-服
从 F (1,1) 分布(说明自由度)
解:由212~(0,2)X X N σ+, 有2
2
1
2~(1)2X X χσ+?? ???, 又 234~(0,2)X X N σ-, 故2
2
3
4~(1),2X X χσ-?? ??
? 因为2122X X σ+?? ???与2
342X X σ-??
??
?独立,
所以2
123
4~(1,1).X X F X X ??
+ ?-??
9.判断下列命题的正确性:( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)
'
(1) 若 总 体 的 平 均 值 与 总 体 方 差 2 都 存 在 , 则 样 本 平 均 值 x 是 的 一 致 估 计。 ( 对 )
(2) 若 0≠-θθ
)?(E 则 称 θ为 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )
(3) 设总体X 的期望E(X),方差D(X)均存在,21x x , 是X 的一个样本 ,
则统计量213
2
31x x +是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )
(4) 若 θθθ==)?()?(21E E 且 )?()?(2
1θθD D <则 以 θ2估 计 较 以
θ1估 计
有 效 。 ( 错 )
;
(5) 设θn 为 的估计量,对任意
> 0,如果0=≥-∞
→}|?{|lim εθθn
n P 则称 θn 是 的一致估计量 。 ( 对 )
(6)样本方差()
∑=--=n
i i n X
X n D 1
2
11是总体),(~2σμN X 中2 的无
偏
估计量。()
2
1
1∑=-=n i i X X n D *
是总体X 中2的有偏估计。 ( 对 )
10.设321X X X ,,是取自总体X 的一个样本,则下面三个均值估计量
321332123211121
4331?,1254131?,2110351?X X X u
X X X u X X X -+=++=++=μ都 是总体均值的无偏估计,其中方差越小越有效,则 2?μ
最有效. !
二、选择题
1、设总体ξ服从正态分布),(2
σN N ,其中μ已知,σ未知,321,,ξξξ是取自总体ξ的一个样本,则非统计量是( D ).
A 、)(3
1321ξξξ++ B 、μξξ221++ C 、),,m ax (321ξξξ
D 、
)(1
2322212
ξξξσ
++
2、设n ξξξ ,,21是来自正态总体),(2
σμN 的简单随机样本∑=--=n
i i n S 1
221
)(11ξξ,∑=-=n i i n S 1222)(1ξξ,∑=--=n i i n S 1223)(11μξ,∑=-=n i i n S 122
4)(1μξ,则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是( B ).
A 、
1
/1--n S μξ B 、
1
/2--n S μξ C 、
n
S /3μξ- D 、
n
S /4μ
ξ-
3、设)2,1(~2
N ξ,n ξξξ ,,21为ξ的样本,则( C ). A 、
)1,0(~21
N -ξ
B 、)1.0(~4
1
N -ξ
C 、
)1,0(~/21
N n
-ξ
D 、
)1,0(~/21
N n
-ξ
-
4、设n ξξξ ,,21是总体)1,0(~N ξ的样本,S ,ξ分别是样本的均值和样本标准差,
则有( C )
A 、)1,0(~N n ξ
B 、)1,0(~N ξ
C 、
∑=n
i i
n x 1
22)(~ξ
D 、)1(~/-n t S ξ
5.. 简 单 随 机 样 本 (X X X n 12,, ,) 来 自 某 正 态 总 体,X 为 样 本 平 均 值, 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。 ( A ) X 与 (?)X
X i
i n
-=∑21独 立
( B )X i 与X j 独 立 ( 当 j i ≠ ) ( C )
X
i
i n
=∑1
与
X
i
i n 21
=∑ 独 立
( D )X i 与X j 2
独 立 ( 当
j i ≠)
6. 设
1n 21X , ,X ,X , 来自总体2n 212
11Y ,,Y ,Y ),,(N ~X ,X σμ 来自总
体Y £,
),(N ~Y 222
σμ
, 且 X 与 Y 独 立。∑∑====2
1n 1
i ,i 2
n 1i ,i 1,Y n 1
Y ,X n 1X
∑∑==-=-=21
2
11
n 1
i 2,i 22n 2n 1i 2,i 12
n 1,)Y Y (n 1
S ,)X X (n 1S
则如下结论中错误的是 ( D )。 ( A )
)1,0(N ~n n )]
()Y X [(222
12
121σ+σμ-μ--=ξ-
( B ) )1n ,1n (F ~S S )1n (n )1n (n 212n 22n 1212212212
1
--?σσ?--=η
"
( C )
)2n n (~S n S n 21222
2n 2221
2
n 112
1-+χσ+
σ=ζ
( D )
)2n n (t ~2n n 2121-+ζ
ξ
?-+=
ρ
7. 设n X X X ,,21是取自总体),0(2
σN 的样本,则可以作为2σ的无偏估计量是( A ).
A 、∑=n i i X n 12
1
B 、∑=-n i i X n 12
11
C 、∑=n
i i X n 1
1
D 、∑=-n
i i X n 1
11
8. 3、设321,,X X X 是来自母体X 的容量为3的样本,32112
1
10351?X X X ++=μ
,32121254131?X X X ++=μ
,3213216131?X X X ++=μ,则下列说法正确的是( B ). A 、321?,?,?μμμ都是)(X E =μ的无偏估计且有效性顺序为321???μμμ>> B 、321?,?,?μμμ
都是)(X E =μ的无偏估计,且有效性从大到小的顺序为312???μμμ
>> C 、321?,?,?μμμ
都是)(X E =μ的无偏估计,且有效性从大到小的顺序为123???μμμ
>> D 、321?,?,?μμμ
不全是)(X E =μ的无偏估计,无法比
#
三. 计算题
1、在总体)2,30(~2N X 中随机地抽取一个容量为16的样本,求样本均值X 在 29到31之间取值的概率.
解:因)2,30(~2
N X ,故)162,30(~2N X ,即))2
1(,30(~2N X
)22
130
2()3120(<-<-=<<∴X P X P 9544.01)2(2)2()2(=-Φ=-Φ-Φ=
】
2、设某厂生产的灯泡的使用寿命),1000(~2σN X (单位:小时),抽取一容量 为9的样本,其均方差100=S ,问)940( 解:因2 σ未知,不能用), 1000(2 n N X σ=来解题, 而)1(~--= n t n S X T μ )8(~3t S X T μ -=∴ )()(39403940S S X P X P μ μ-<-=<∴,而1000,100==μS )940(<∴X P )8.1()100 3 )1000940((-<=?-<=T P T P )8.1(>=T P 由表查得056.0)8.1()940(=>= 3、设721,,X X X 为总体)5.0,0(~2 N X 的一个样本,求∑=>7 1 2)4(i i X P . 解:)5.0,0(~2 N X )1,0(~2N X i ∴ ∑∑===∴ 7 1 7 1 2 2 2 )7(~4)2(i i i i x X X ∑∑==≈>=>∴7 1 7 1 2 2025.0)164()4(i i i i X P X P 、 4、设总体)1,0(~N X ,从此总体中取一个容量为6的样本654321,,,,,X X X X X X , 设26542321)()(X X X X X X Y +++++=,试决定常数C ,使随机变量CY 服 从2x 分布. 解:)3,0(~321N X X X ++,)3,0(~654N X X X ++ )1,0(~3 3 21N X X X ++∴ , )1,0(~36 54N X X X ++ )2(~)3()3(226542321x X X X X X X +++++∴ 即)2(~)(3 1 )(31226542321x X X X X X X +++++ 31 =∴C 时,)2(~2x CY ] 5、设随机变量T 服从)(n t 分布,求2T 的分布. 解:因为n Y X T /=,其中)1,0(~N X ,)(~2 n x Y , n Y X n Y X T /1//222 == )1(~22x X ),1(~2n F T ∴ 6. 利 用 t 分 布 性 质 计 算 分 位 数 ( 50 ) 的 近 似 值 。 ( 已 知 ~ N ( 0, 1 ) , p ( < ) = ) 解: 当 n 足 够 大 时,t 分 布 近 似 N (0,1), 当 u ~ N (0,1 ) 时 ,分 位 数 u 近 似 t( n ) 。 ¥ 而 p { u u } = 时 , u = 2 , t ( 50 ) 2 7. 设 ,,X ,X 21 X n 为 来 自 有 均 值 和 r 阶 中 心 矩 r 的 总 体 X 的 样 本,试证明()r n i r i X n E μμ=?? ????-∑=11。又此式说明总体的r 阶 矩与样本r 阶矩有什么关系 证 : ()()r n i r n i r i n i r i n X E n X n E μμμμ==-=??????-∑∑∑===11 1111 上 述 结 果 表 明 总 体 的 r 阶 矩 与 样 本 的 r 阶 矩 相 等 , 说 明 样 本 的 r 阶 中 心 矩 是 总 体 X 的 r 阶 中 心 矩 r 的 无 偏 估 计 。 | 8. 设总体2~(0,2)X N , 1210,, ,X X X 为来自总体X 的样本. 令 2 2 510 16i j i j Y X X ==????=+ ? ????? ∑∑. 试确定常数C , 使CY 服从2χ分布, 并指出其自由度. 解:由2~(0,2)X N , 得~(0,1),1,2,,10.2 i X N i = 又1210,,,X X X 互相独立, 故 510 16 11~(0,5),~(0,5),22i j i j X N X N ==∑∑ 10 5 1 ~(0,1), ~(0,1),2525 j i i X X N N =∑∑ 且二者独立. 从而有 225102161~(2),20i j i j X X χ==?????? ??+ ? ????????? ∑∑ : 得21 ,20 C χ= 分布的自由度为2. 9. 设124125,, ,,, ,X X X Y Y Y 与分别是来自正态(0,1)N 的总体X 与Y 的样 本,452 21 1 ()()i i i i Z X X Y Y ===-+-∑∑,求EZ . 解:方法1:由 2 1 2 ()222~(1),(1)1,1n i i X X n E n n σ χχσ--∑--=-= 可得 4 2 2 1 ()~(3),i i X X χ=-∑521 )i i Y Y =-∑2~(4),347EZ χ∴=+=. 方法2: 2 211()()1,1n i i E S E X X DX n =??=-==??-?? ∑ 2222 1212(34)34347EZ E S S ES ES ∴=+=+=+=. 10.设X Y , 是 取 自 母 体 N ( ,2 ) ,容 量 为 n 的 两 个 相 互 独 立 的 样 本 X 1 、X 2、 、 X n 及 Y 1、 Y 2、 、Y n 的 均 值 , 试 确 定 n , 使 这 两 个 样 本 均 值 之 差 超 过 的 概 率 大 约 为 。 ( 已 知 ( ) = ) 解 : 由 于 X 及 Y 均 服 从 ???? ? ?n N 2,σμ则 ??? ??-22,0~σn N Y X 要 ( )( ) 01.02)2(≈>-=>-n n Y X P Y X P σσ 即 ( ) 99.02)2(≈<-n n Y X P σ 即 ()99.0122=-Φn 即 () 995.02=Φn ..取n = 14 n2258