人教新课标版数学高二数学选修1-1训练 3-2导数的计算

双基限时练(十七)

1．已知f (x )＝e x

cos x ，则f ′(π

2)的值为( )

A ．e π

B ．－e π

C ．－e π

2 D ．以上均不对

答案 C

2．函数f (x )＝sin x

x 的导数是( ) A.x sin x ＋cos x x 2 B.x cos x ＋sin x

x 2 C.x sin x －cos x x 2 D.x cos x －sin x x 2

答案 D

3．曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．y ＝－x ＋2 B ．y ＝5x －4 C ．y ＝－5x ＋6

D ．y ＝x －1 解析 y ′＝3x 2－8x ，∴y ′|x ＝1＝－5. ∴切线方程为y －1＝－5(x －1)，∴y ＝－5x ＋6. 答案 C

4．已知点P 在曲线y ＝x 3－x ＋2

3上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )

A ．[0，π2]

B ．[π2，3π4]

C ．[3π

4，π]

D ．[0，π2)∪[3π

4，π)

解析 ∵y ′＝3x 2－1≥－1.∴tan α＝3x 2－1≥－1，

∴α∈[0，π2)∪[3π

4，π)．答案 D

5．抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2 B.7

8 2

C ．2 2

D ．以上答案都不对

解析 ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .

∵抛物线y ＝x 2的切线与直线x －y －2＝0平行的只有一条，且k ＝1，∴y ′＝2x ＝1，∴x ＝1

∴切点为(12，1

4)．该点到直线的距离为

d ＝

????

??12－14－22

＝728.

答案 B

6．已知f (x )＝x 2＋2sin x ，则f ′(0)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2cos x ， ∴f ′(0)＝2×0＋2cos0＝2. 答案 2

7．已知曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 点处的切线平行直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为________．

解析 f ′(x )＝3x 2＋1，直线y ＝4x －1的斜率为4，

f ′(x 0)＝3x 2

0＋1＝4，∴x 0＝1，或x 0＝－1.

当x 0＝1时，f (x 0)＝0；当x 0＝－1时，f (x 0)＝－4， ∴P 点坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案 (1,0)或(－1，－4)

8．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案－4

9．若函数f (x )＝13x 3

－f ′(1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 解析 ∵f (x )＝1

3x 3－f ′(1)·x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1.

∴f ′(1)＝1－2f ′(1)＋1，f ′(1)＝23. 答案 23

10．在曲线y ＝1

x (x <0)上求一点P ，使P 到直线x ＋2y －4＝0的距离最小．

解由题意知，平行于直线x ＋2y －4＝0与y ＝1

x (x <0)相切的切点即为所求．

设切点P (x 0，y 0)，由y ′＝－1

x 2，得

k ＝y ′|x ＝x 0＝－1

x 20

，

又x ＋2y －4＝0的斜率为－1

2. ∴－1x 20＝－1

2，∴x 0＝2，或x 0＝－ 2.

∵x <0，∴x 0＝－2，y 0＝－12

＝－22. ∴P (－2，－2

2)为所求．

11．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．

解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，

即ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.

∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴可得切点为(1，－1)． ∴a ＋c ＋1＝－1.① ∵f ′(x )＝4ax 3＋2cx ， ∴f ′(1)＝4a ＋2c . ∴4a ＋2c ＝1.②

由①②得a ＝52，c ＝－9

∴f(x)＝5

4－92x2＋1.