八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题提高题学能测试试卷
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八年级初二数学下学期勾股定理单元易错题提高题学能测试试卷
一、解答题
1.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点D在边AB上,点E在边AC的左侧,连接AE.
(1)求证:AE=BD;
(2)试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系;
,求线段AB (3)过点C作CF⊥DE交AB于点F,若BD:AF=1:22,CD=36
的长.
2.问题情境:综合实践活动课上,同学们围绕“已知三角形三边的长度,求三角形的面积”开展活动,启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决:图(1)、图(2)都是6×6的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,操作发现,启航小组同学在图(1)中画出△ABC,其顶点A,B,C都在格点上,同时构造长方形CDEF,使它的顶点都在格点上,且它的边EF经过点A,ED经过点B.同学们借助此图求出了△ABC的面积.
(1)在图(1)中,△ABC的三边长分别是AB=,BC=,AC=.△ABC 的面积是.
(2)已知△PMN中,PM=17,MN=25,NP=13.请你根据启航小组的思路,在图(2)中画出△PMN,并直接写出△RMN的面积.
3.如图,点A是射线OE:y=x(x≥0)上的一个动点,过点A作x轴的垂线,垂足为B,过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C.
(1)若OA =52,求点B 的坐标;
(2)如图2,过点C 作CG ⊥AB 于点G ,CH ⊥OE 于点H ,求证:CG =CH .
(3)①若点A 的坐标为(2,2),射线OC 与AB 交于点D ,在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. ②在(3)①的条件下,在平面内另有三点P 1(2,2),P 2(2,22),P 3
(2+2,2﹣2),请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 .(写出你认为正确的点)
4.已知ABC ?中,90ACB ∠=?,AC BC =,过顶点A 作射线AP .
(1)当射线AP 在BAC ∠外部时,如图①,点D 在射线AP 上,连结CD 、BD ,已知
21AD n =-,21AB n =+,2BD n =(1n >).
①试证明ABD ?是直角三角形;
②求线段CD 的长.(用含n 的代数式表示)
(2)当射线AP 在BAC ∠内部时,如图②,过点B 作BD AP ⊥于点D ,连结CD ,请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系,并说明理由.
5.(发现)小慧和小雯用一个平面去截正方体,得到一个三角形截面(截出的面),发现截面一定是锐角三角形.为什么呢?她们带着这个疑问请教许老师.
(体验)(1)从特殊入手 许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连
在一起(如图,),保持不动,让从重合位置开始绕点转动,在转动的过程,观测的大小和的形状,并列出下表:
的大小的形状
…
直角三角形
…
直角三角形
…
请仔细体会其中的道理,并填空:_____,_____;
(2)猜想一般结论在中,设,,(),
①若为直角三角形,则满足;
②若为锐角三角形,则满足____________;
③若为钝角三角形,则满足_____________.
(探索)在许老师的启发下,小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面
(如图1),设,,,请帮助小慧说明为锐角三角形的道理.
(应用)在小慧的基础上,小雯又切掉一块“角”,得到一个新的三角形截面(如图2),那么的形状是()
A.一定是锐角三角形
B.可能是锐角三角形或直角三角形,但不可能是钝角三角形
C.可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
6.如图1,已知△ABC是等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,且CD=AE,AD与BE相交于点F.
(1)求证:∠ABE=∠CAD;
(2)如图2,以AD为边向左作等边△ADG,连接BG.
ⅰ)试判断四边形AGBE的形状,并说明理由;
ⅱ)若设BD=1,DC=k(0<k<1),求四边形AGBE与△ABC的周长比(用含k的代数式表示).
7.(已知:如图1,矩形OACB的顶点A,B的坐标分别是(6,0)、(0,10),点D是y轴上一点且坐标为(0,2),点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB 方向运动,到达点B时运动停止.
(1)设点P运动时间为t,△BPD的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(2)当点P运动到线段CB上时(如图2),将矩形OACB沿OP折叠,顶点B恰好落在边
AC 上点B ′位置,求此时点P 坐标;
(3)在点P 运动过程中,是否存在△BPD 为等腰三角形的情况?若存在,求出点P 坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图,△ABC 和EDC ?都是等边三角形,7,3,2AD BD CD ===求:(1)AE
长;(2)∠BDC 的度数:(3)AC 的长.
9.已知ABC ?中,AB AC =.
(1)如图1,在ADE ?中,AD AE =,连接BD 、CE ,若DAE BAC ∠=∠,求证:
BD CE =
(2)如图2,在ADE ?中,AD AE =,连接BE 、CE ,若60DAE BAC ∠=∠=,
CE AD ⊥于点F ,4AE =,5EC =,求BE 的长;
(3)如图3,在BCD ?中,45CBD CDB ∠=∠=,连接AD ,若45CAB ∠=,求
AD
AB
的值.
10.如图,在ABC 中,90BAC ∠=?,AB AC =,点D 是BC 上一动点、连接AD ,
过点A 作AE AD ⊥,并且始终保持AE AD =,连接CE , (1)求证:ABD ACE ?; (2)若AF 平分DAE ∠交BC 于F ,
①探究线段BD ,DF ,FC 之间的数量关系,并证明; ②若3BD =,4CF =,求AD 的长,
11.阅读与理解:
折纸,常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如,在ABC 中,AB AC >(如图),怎样证明C B ∠>∠呢?
分析:把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折,因为AB AC >,所以,点C 落在AB 上的点
C '处,即AC AC '=,据以上操作,易证明AC
D AC D '△△≌,所以AC D C '∠=∠,又因为AC D B '∠>∠,所以C B ∠>∠.
感悟与应用:
(1)如图(a ),在ABC 中,90ACB ∠=?,30B ∠=?,CD 平分ACB ∠,试判断
AC 和AD 、BC 之间的数量关系,并说明理由;
(2)如图(b ),在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,16AC =,8AD =,
12DC BC ==,
①求证:180B D ∠+∠=?; ②求AB 的长.
12.定义:有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形.(1)如图1,四边形ABCD 中,∠ABC =70°,∠BAC =40°,∠ACD =∠ADC =80°,求证:四边形ABCD 是邻和四边
形.
(2)如图2,是由50个小正三角形组成的网格,每个小正三角形的顶点称为格点,已知A 、B 、C 三点的位置如图,请在网格图中标出所有的格点.......D .,使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形.
(3)如图3,△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =23,若存在一点D ,使四边形ABCD 是邻和四边形,求邻和四边形ABCD 的面积.
13.如图,在两个等腰直角ABC 和CDE △中,∠ACB = ∠DCE=90°.
(1)观察猜想:如图1,点E 在BC 上,线段AE 与BD 的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明:把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置,(1)中的结论还成立吗?说明理由;
(3)拓展延伸:把CDE △绕点C 在平面内自由旋转,若AC = BC=10,DE=12,当A 、E 、D 三点在直线上时,请直接写出 AD 的长.
14.如图,一架长25米的梯子,斜靠在竖直的墙上,这时梯子底端离墙7米. (1)此时梯子顶端离地面多少米?
(2)若梯子顶端下滑4米,那么梯子底端将向左滑动多少米?
15.如图,,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ?
?∠===是边上的两点,点P 从点A 开始沿A B →方向运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 沿B C A →→运动,且速度为每秒2cm ,它们同时出发,设出发的时间为t 秒.
(1)出发2秒后,求线段PQ 的长;
(2)求点Q 在BC 上运动时,出发几秒后,PQB 是等腰三角形; (3)点Q 在边CA 上运动时,求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间.
16.已知a ,b ,c 满足88a a -+-=|c ﹣17|+b 2﹣30b +225,
(1)求a ,b ,c 的值;
(2)试问以a ,b ,c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,求出三角形的周长和面积;若不能构成三角形,请说明理由.
17.我们规定,三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图1,在ABC ?中,AO 是BC 边上的中线,AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值,可记为22AB AC OA BO ?=-
(1)在ABC ?中,若90ACB ∠=?,81AB AC ?=,求AC 的值.
(2)如图2,在ABC ?中,12AB AC ==,120BAC ∠=?,求AB AC ?,BA BC ?的值.
(3)如图3,在ABC ?中,AO 是BC 边上的中线,24ABC S ?=,8AC =,
64AB AC ?=-,求BC 和AB 的长.
18.如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍,则称这个三角形是“优三角形”,这两条边的比称为“优比”(若这两边不等,则优比为较大边与较小边的比),记为k . (1)命题:“等边三角形为优三角形,其优比为1”,是真命题还是假命题? (2)已知ABC 为优三角形,AB c =,AC b =,BC a =,
①如图1,若90ACB ∠=?,b a ≥,6b =,求a 的值. ②如图2,若c b a ≥≥,求优比k 的取值范围.
(3)已知ABC 是优三角形,且120ABC ∠=?,4BC =,求ABC 的面积. 19.(知识背景)
据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括为“勾三、股四、弦五”.像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数,称为勾股数. (应用举例)
观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且 勾为3时,股14(91)2=
-,弦1
5(91)2=+; 勾为5时,股112(251)2=
-,弦1
13(251)2
=+; 请仿照上面两组样例,用发现的规律填空: (1)如果勾为7,则股24= 弦25=
(2)如果勾用n (3n ≥,且n 为奇数)表示时,请用含有n 的式子表示股和弦,则股= ,弦= . (解决问题)
观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…根据应用举例获得的经验进行填空: (3)如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数,2a m =(m 表示大于1的整数),则
b = ,
c = ,这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式.
(4)请你利用柏拉图公式,补全下面两组勾股数(数据从小到大排列)第一组: 、24、 :第二组: 、 、37.
20.已知ABC 是等边三角形,点D 是BC 边上一动点,连结AD
()1如图1,若2BD =,4DC =,求AD 的长;
()2如图2,以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=,分别交AB ,AC 于点E ,F .
①小明通过观察、实验,提出猜想:在点D 运动的过程中,始终有AE AF =,小明把这
个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的两种想法
想法1:利用AD 是EDF ∠的角平分线,构造角平分线的性质定理的基本图形,然后通过全等三角形的相关知识获证.
想法2:利用AD 是EDF ∠的角平分线,构造ADF 的全等三角形,然后通过等腰三角形的相关知识获证.
请你参考上面的想法,帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考,发现:四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关
系.若用S 表示四边形AEDF 的面积,x 表示AD 的长,请你直接写出S 与x 之间的关系式.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、解答题
1.(1)见解析;(2)BD 2+AD 2=2CD 2;(3)AB =2+4. 【分析】
(1)根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论; (2)利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论;
(3)连接EF ,设BD =x ,利用(1)、(2)求出EF=3x ,再利用勾股定理求出x ,即可得到答案. 【详解】
(1)证明:∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形 ∴AC =BC ,EC =DC ,∠ACB =∠ECD =90° ∴∠ACB ﹣∠ACD =∠ECD ﹣∠ACD ∴∠ACE =∠BCD , ∴△ACE ≌△BCD (SAS ), ∴AE =BD .
(2)解:由(1)得△ACE ≌△BCD , ∴∠CAE =∠CBD ,
又∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴∠CAB =∠CBA =∠CAE =45°, ∴∠EAD =90°,
在Rt △ADE 中,AE 2+AD 2=ED 2,且AE =BD , ∴BD 2+AD 2=ED 2, ∵ED =2CD , ∴BD 2+AD 2=2CD 2,
(3)解:连接EF ,设BD =x ,
∵BD :AF =1:2AF =2x , ∵△ECD 都是等腰直角三角形,CF ⊥DE , ∴DF =EF ,
由 (1)、(2)可得,在Rt △FAE 中, EF 22AF AE +22
(22)x x +3x ,
∵AE 2+AD 2=2CD 2,
∴222(223)2(36)x x x ++=, 解得x =1, ∴AB =2+4. 【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理. 2.(1131710,11
2
;(2)图见解析;7. 【分析】
(1)利用勾股定理求出AB ,BC ,AC ,理由分割法求出△ABC 的面积. (2)模仿(1)中方法,画出△PMN ,利用分割法求解即可. 【详解】
解:(1)如图1中,AB 22AE BE +2232+13BC 22BD CD +2214+17AC 22AF CF +2213+10,
S △ABC =S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC =12﹣3﹣32﹣2=112
, 131710,11
2
. (2)△PMN 如图所示.
S△PMN=4×4﹣2﹣3﹣4=7,
故答案为7.
【点睛】
此题重点考查学生对勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键.
3.(1)(5,0);(2)见解析;(3)①P(4,2),②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2,P3.
理由见解析
【分析】
(1)由题意可以假设A(a,a)(a>0),根据AB2+OB2=OA2,构建方程即可解决问题;(2)由角平分线的性质定理证明CH=CF,CG=CF即可解决问题;
(3)①如图3中,在BC的延长线上取点P,使得CP=DB,连接AP.只要证明
△ACP≌△CDB(SAS),△ABP是等腰直角三角形即可解决问题;
②根据SAS即可判断满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2,P3;
【详解】
解:(1)∵点A在射线y=x(x≥0)上,故可以假设A(a,a)(a>0),
∵AB⊥x轴,
∴AB=OB=a,即△ABO是等腰直角三角形,
∴AB2+OB2=OA2,
∴a2+a2=(52)2,
解得a=5,
∴点B坐标为(5,0).
(2)如图2中,作CF⊥x轴于F.
∵OC平分∠AOB,CH⊥OE,
∴CH=CF,
∵△AOB是等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
∵BC∥OE,
∴∠CBG=∠AOB=45°,得到BC平分∠ABF,
∵CG⊥BA,CF⊥BF,
∴CG=CF,
∴CG=CH.
(3)①如图3中,在BC的延长线上取点P,使得CP=DB,连接AP.
由(2)可知AC平分∠DAE,
∴∠DAC=1
2
∠DAE=
1
2
(180°﹣45°)=67.5°,
由OC平分∠AOB得到∠DOB=1
2
∠AOB=22.5°,
∴∠ADC=∠ODB=90°﹣22.5°=67.5°,
∴∠ADC=∠DAC=67.5°,
∴AC=DC,
∠BDC=∠OBD+∠DOB=90°+22.5°=112.5°,
∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠ADC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,∠OCB=45°﹣22.5°=22.5°,
∠ACP=180°﹣∠ACD﹣∠OCB=180°﹣45°﹣22.5°=112.5°,
在△ACP和△CDB中,
AC AD
ACP DB CP DB
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△ACP≌△CDB(SAS),
∴∠CAP=∠DCB=22.5°,
∴∠BAP=∠CAP+∠DAC=22.5°+67.5°=90°,∴△ABP是等腰直角三角形,
∴AP=AB=OB=2,
∴P(4,2).
②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2,P 3. 理由:如图4中,
由题意:AP 1=BD ,AC =CD ,∠CAP 1=∠CDB ,根据SAS 可得△CAP 1≌△CDB ; AP 2=BD ,AC =CD ,∠CAP 2=∠CDB ,根据SAS 可得△CAP 2≌△CDB ; AC =CD ,∠ACP 3=∠BDC ,BD =CP 3根据SAS 可得△CAP 3≌△DCB ; 故答案为P 1、P 2,P 3. 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
4.(1)①详见解析;(2)222
222
CD n n =
-
(1n >);(2)2AD BD CD -=,理由详见解析.
【分析】
(1)①根据勾股定理的逆定理进行判断;
②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ,利用同角的余角相等证明∠3=∠4,∠1=∠E ,进而证明△ACD ≌△BCE ,求出DE 的长,再利用勾股定理求解即可.
(2)过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ,先证∠ACD=∠BCF ,再证△ACD ≌△BCF ,得CD=CF ,AD=BF ,再利用勾股定理求解即可. 【详解】
(1)①∵()
()()
2
2
2
2222
2212214AD BD n n n
n n +=-+=-++
()()2
2
22
2
211n
n n =++=+
又∵(
)
2
2
2
1AB n =+ ∴222AD BD AB += ∴△ABD 是直角三角形
②如图①,过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ,
∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°,∠4+∠BCD=∠DCE=90° ∴∠3=∠4
由①知△ABD 是直角三角形 ∴1290∠+∠=? 又∵290E ∠+∠=? ∴∠1=∠E
在ACD ?和BCE ?中,
A 34E AC BC ∠=∠??
∠=∠??=?
∴△ACD ≌△BCE ∴CD CE =,AD BE =
∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+- 又∵CD CE =,90DCE ∠=? ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+
=
∴22CD =222
222
n n =+-
(1n >) (2)AD 、BD 、CD 的数量关系为:2AD BD CD -=,
理由如下:
如图②,过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ,
∵∠ACD=90°+∠5,∠BCF=90°+∠5 ∴∠ACD=∠BCF ∵BD ⊥AD ∴∠ADB=90° ∴∠6+∠7=90°
∵∠ACB=90° ∴∠9=∠8=90° 又∵∠6=∠8 ∴∠7=∠9
ACD ?和BCF ?中 97AC BC
ACD BCF ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△ACD ≌△BCF ∴CD=CF ,AD=BF 又∵∠DCF=90°
∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=
又DF=BF-BD=AD-BD ∴2AD BD CD -=
【点睛】
本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理,掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键. 5.
【体验】 (1
)
,5;(2)②
;③
;【探索】
为锐角三
角形;道理见解析;【应用】.
【解析】 【分析】
本题从各个角度证明了勾股定理,运用图形与证明结合,依次证明即可,具体见详解. 【详解】 体验: (1)
如上图,
(2)
根据大角对大边,若为直角三角形,则满足,那么锐角、钝角如下;②;
③.
【探索】
在中,,
在中,,
在中,,
∴,
∴为锐角
同理,和都为锐角.
∴为锐角三角形.
【应用】
根据【探索】中的方法,进行探究可以发现,可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形,故答案选C
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明及应用,以及三角形的边与边的关系,能利用数形结合是解答此题的关键.
6.(1)详见解析;(2)ⅰ)四边形AGBE是平行四边形,证明详见解析;ⅱ)2
+++
k k k
221
.
【解析】
【分析】
(1)只要证明△BAE≌△ACD;
(2)ⅰ)四边形AGBE是平行四边形,只要证明BG=AE,BG∥AE即可;
ⅱ)求出四边形BGAE的周长,△ABC的周长即可;
【详解】
(1)证明:如图1中,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAE=∠C=60°,
∵AE=CD,
∴△BAE≌△ACD,
∴∠ABE=∠CAD.
(2)ⅰ)如图2中,结论:四边形AGBE是平行四边形.
理由:∵△ADG,△ABC都是等边三角形,∴AG=AD,AB=AC,
∴∠GAD=∠BAC=60°,
∴△GAB≌△DAC,
∴BG=CD,∠ABG=∠C,
∵CD=AE,∠C=∠BAE,
∴BG=AE,∠ABG=∠BAE,
∴BG∥AE,
∴四边形AGBE是平行四边形,
ⅱ)如图2中,作AH⊥BC于H.
∵BH=CH=1 (1) 2
k+
∴
1113 1(1),3(1) 2222
DH k k AH BH k =-+=-==+
∴222
AH DH k k1
AD=+=++
∴四边形BGAE的周长=2
2k k1
k+++,△ABC的周长=3(k+1),
∴四边形AGBE与△ABC
2
221 k k k
+++
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
7.(1)S=
24(06)
464(616)
t
t t
<
?
?
-+<<
?
(2)
10
,10
3
??
?
??
(3)存在,(6,6)或(6,1027)
-,
(6,272)
【解析】
【分析】
(1)当P在AC段时,△BPD的底BD与高为固定值,求出此时面积;当P在BC段时,底边BD为固定值,用t表示出高,即可列出S与t的关系式;
(2)当点B的对应点B′恰好落在AC边上时,设P(m,10),则PB=PB′=m,由勾股定理得m2=22+(6-m)2,即可求出此时P坐标;
(3)存在,分别以BD,DP,BP为底边三种情况考虑,利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可.
【详解】
解:(1)∵A,B的坐标分别是(6,0)、(0,10),
∴OA=6,OB=10,
当点P在线段AC上时,OD=2,BD=OB-OD=10-2=8,高为6,
∴
S=1
2
×8×6=24;
当点P在线段BC上时,BD=8,高为6+10-t=16-t,
∴S=
1
2
×8×(16-t)=-4t+64;
∴S与t之间的函数关系式为:
240t6
S
4t64(6t16)
<≤
?
=?
-+<<
?
()
;(2)设P(m,10),则PB=PB′=m,如图1,
∵OB′=OB=10,OA=6,
∴AB′=22
OB OA
-
'=8,
∴B′C=10-8=2,
∵PC=6-m,
∴m2=22+(6-m)2,
解得m=
10
3
则此时点P的坐标是(
10
3
,10);
(3)存在,理由为:
若△BDP为等腰三角形,分三种情况考虑:如图2,
①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8,
在Rt △BCP 1中,BP 1=8,BC=6,
根据勾股定理得:CP 1=
∴AP 1=10?,
即P 1(6,10-
②当BP 2=DP 2时,此时P 2(6,6); ③当DB=DP 3=8时, 在Rt △DEP 3中,DE=6,
根据勾股定理得:P 3=,
∴AP 3=AE+EP 3=+2,
即P 3(6,),
综上,满足题意的P 坐标为(6,6)或(6,10-6,+2). 【点睛】
本题是四边形综合题,考查了矩形的性质,坐标与图形性质,等腰三角形的性质,勾股定理等知识,注意分类讨论思想和方程思想的运用.
8.(1;(2)150°;(3 【分析】
(1)根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ,再根据全等三角形的性质即得结果;
(2)在△ADE 中,根据勾股定理的逆定理可得∠AED =90°,进而可求出∠AEC 的度数,再根据全等三角形的性质即得答案;
(3)过C 作CP ⊥DE 于点P ,设AC 与DE 交于G ,如图,根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长,进而可得AE =CP ,然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ,于是可得AG =CG ,PG =EG ,根据勾股定理可求出AG 的长,进一步即可求出结果. 【详解】
解:(1)∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形, ∴BC =AC ,CD =CE =DE =2,∠ACB =∠DCE =60°, ∴∠BCD =∠ACE , 在△BCD 与△ACE 中,
∵BC =AC ,∠BCD =∠ACE ,CD =CE , ∴△BCD ≌△ACE ,
∴AE =BD
(2)在△ADE 中,∵2AD AE DE ===,
∴DE 2
+AE 2
=2
2
2
2+
==AD 2
,
∴∠AED =90°, ∵∠DEC =60°, ∴∠AEC =150°,