123角的平分线的性质

角平分线的性质

（2016-2017二十八中期中）如图，AD是ΔABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，=7，DE=2，AB=4，则AC的长是（A）ΔA. 3 B. 4 C.5 D.6

的ADCBAD、∠CD,AD∥BC,且∠中，（2016秋百树中学期中）如图，四边形ABCDAB∥C）AB=5,则AD的长为（BC分别交于点E、F.若EF=2，角平分线AE、DFD. 9 C. 8 B. 6 A.

7

ABCRt?，于点D交°，BD平分∠（2016秋百树中学期中）如图在，ABCAC中，∠A=90ABC? .

，则，BC=6 6 的面积是AD=2

CD=2,AB=6,若BC平分∠BAC交于点D,AD中，在（2016秋育华期中）Rt△ABC∠C=90°， 6 则△ABD的面积是

. A=∠C=90°中，∠已知，在四边形2016（秋育华期中）ABCD °；ADC=180∠ABC+）求证：∠1（．

；⊥ABC的外角，求证DEBF1，若DE平分∠ADC，BF平分∠（2）如图的位置关系，并BFABC 的外角，写出DE与2，若DE、BF分别平分∠ADC、∠（3）如图

加以证明。

C=90゜，证明：（1）∵∠A=∠

゜；°-∠A-∠C=180ADC=360∴在四边形ABCD中，∠ABC+∠

．（2）DE⊥BF ，DE交BF于G延长∠ADC=180°，∠ABC+CBM=180°，∵∠ABC+∠∴∠ADC=∠CBM，，BF平分∠ABC外角，∵DE平分∠ADC EBF=?∠CBM，∴∠CDE=?∠ADC，∠CDE=．∠EBF∴∠，∠BEG∵∠DEC= ゜，∠C=90∴∠EGB= BF．∴DE⊥

BF，（3）DE∥，BD连接°，∵∠ABC+∠ADC=180 ゜，∴∠NDC+∠MBC=180 分别平分∠ABC、∠ADC的外角，BF∵、DE EDC+∠CBF=90゜，∴∠゜，∠FBC=180EDC+∴∠∠CDB+∠CBD+ BF∴DE∥．

，，OBPD⊥OB∥∠AOP=15°，AOB分OP，如2016-2017（二十八中期末）图平∠，PC ．_于等PD则，

PC=6．

【解答】PD=PE，PE⊥OA于点E，则作过P OB PC ∥∵，∠∴∠OPC=POD °，OP平分∠AOB，∠AOB=30又∵°，∴∠OPC=∠COP=15 COP+∠OPC=30°，∠ECP=∠1中，在直角△ECP3? PE?PC，2则

PD=PE=3．

，ACBABCOB的周长是10，、OC分别平分∠和∠ABC如图，2016-2017（二十八中期末）△的面积是多少？，△，且于⊥ODBCDOD=3ABC

【解答】如图，连接OA，分别平分∠ABC和∠ACB，∵OB、OC AC、BC的距离都相等，∴点O到AB、，，且OD=3的周长是10，OD⊥BC于DABC∵△1．?15?S??10?3ABC2

15．故答案为：

，CDAD=4，连接BD，BDA=90（2016秋南昌期中）如图，在四边形ABCD中，∠，?o______.4 长的最小值是是BC边上一动点，则DP，若∠ABC=∠CBDP

O．，2016秋南昌期中）如图，△ABC的两条角平分线BECD相交于点（；2BOC=∠A+∠1+∠1（）∠的数量关系，并说明理由．与∠2）判断∠BOCA

（

分1……………中，∠BOC=∠OEC+∠2．）在△OCE1（证：分……………2 中，∠OEC=∠A+∠1．在△ABE

……………3分∴∠BOC=∠A+∠1+∠2．

1 4分……………∠A，其理由是：（2）∠BOC=90°+2∵BE、CD分别平分∠ABE、∠ACB，

11……………5分∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB．22111 6分(180°－∠A)=90°－∠A．………(∠ABC+∠ACB)=

∴∠1+∠2=22211∠A）=90°+由（1∠A．）知∠BOC=∠A+∠1+∠2=∠A+（90°－22AB=5,CD=2,BAC，ABC如图，△中，∠C=90°，AD平分∠（2016-2017南昌三中期中）__________.

ABD的面积是则△

，于ED作DE⊥AB【解答】解：如图，过点

∵∠C=90°，AD平分∠BAC，

∴DE=CD=2，

∴△ABD的面积=AB?DE=(×5×2=5．1/2)1/2故答案为：5．

（2016-2017南昌三中期中）已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的角平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA,OB交于C,D。

（1）PC和PD有怎样的数量关系是___________.

（2）请你证明（1）得出的结论。

【解答】解：（1）PC=PD．

（2）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，

∴∠CFP=∠DEP=90°，

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE=PF，

°，∠FPD=90∵∠1+ °，又∵∠AOB=90 °，∴∠FPE=90 °，∠FPD=90∴∠2+ 9分）2∴∠1=∠，（ DEP中在△CFP和△∠DEP∠CFP=PF=PE

2∠∠1=）ASA≌△DEP（∴△CFP．PC=PD∴

（2016-2017十校联考期末）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD平分∠BAC，交BC 于F，DE⊥BC于E，则∠D= 20°

（2016-2017十校联考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长1为圆心，大于MN，再分别以点M，N，，为半径画弧，分别交ACAB两弧于点MN2的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，求△ABD的面积。

的平分线，，由题意得：AP是∠BAC解：作DE⊥AB于EAC,

AB，DC⊥⊥∵DE 2分∴DE=DC=4

4分÷∴△ABD的面积为4×152=30

E

的一条°，AD是△ABCBAC=40（2017春·三中月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠的度DEBCGEF是正方形，则∠、、G分别在AD、ACBC上，且四边形、角平分线，点EF ）数为（°D 55 B 45° C 50° A 40°【考点】正方形的性质．BE，推出是∠ABC的平分线，根据EM⊥AB【分析】作于M，只要证明EF=EM=EG

∠BED=∠EAB+∠EBA即可计算．

解析：作EM⊥AB于M，∵四边形EFCG是正方形，

∴∠EFC=∠AFE=∠EGC=90°，EF=EG，

∵EF⊥AC，EM⊥AB，AD平分∠BAC，∴EF=EM=EG，∵EG⊥BC，EM⊥AB，∴EB平分∠ABC，1（∠CAB+∠CBA）=45°．∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠BED=∠EAB+∠EBA=2故选B

【点评】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理以及判定定理，解题的关键是熟练掌属于中记住出现角平分线需要考虑添加类似的辅助线，握角平分线的判定定理和性质定理，

考常考题型．°，ACB=90、如图在△ABC中，∠（2016年秋季百树教育集团初二