丁玉美《数字信号处理》笔记和课后习题(快速傅里叶变换(FFT))
第4章快速傅里叶变换（FFT）
4.1 复习笔记
一、基2FFT算法
1．直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径
有限长序列x（n）的N点DFT为
N点DFT的乘法和加法运算次数均为N2，把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大减少。另外，旋转因子具有明显的周期性和对称性。
（1）周期性表现为
（2）对称性表现为
或者
FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。FFT算法中最简单、最常用的是基2FFT算法。
2．时域抽取法基2FFT基本原理
基2FFT算法分为两类：时域抽取法FFT（DIT-FFT），频域抽取法FFT（DIF-FFT）。
（1）一次分解
①设序列x（n）的长度为N，且满足N＝2M，M为自然数。按n的奇偶把x（n）分解为两个N/2点的子序列
则x（n）的DFT为
②上面两式的运算可用图4-1所示的流图符号表示，称为蝶形运算符号。
图4-1 蝶形运算符号
图4-2 8点DFT一次时域抽取分解运算流图
③经过一次分解后，计算1个N点DFT总的复数乘法次数为
复数加法次数为
可见，仅仅经过一次分解，就使运算量减少近一半。N＝2M，N/2仍然是偶数，故可以对N/2点DFT再作进一步分解。
（2）M次分解
根据上面的结论，依次类推，经过M次分解，最后将N点DFT分解成N个1点DFT 和M级蝶形运算，而1点DFT就是时域序列本身。一个完整的8点DIT-FFT运算流图如图4-3所示。图4-3中用到关系式。图中的数组A用于存放输入序列和每级运算结果。
图4-3 8点DIT-FFT运算流图
3．DIT-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
（1）DIT-FFT算法
时，其运算流图应有M级蝶形，每一级都由N/2个蝶形运算构成。故每一级运算都需要N/2次复乘和N次复加。
①M级运算总的复数乘次数为
②复数加次数为
（2）直接计算DFT
直接计算DFT的复数乘为N2次，复数加为N（N－1）次。
DIT-FFT算法比直接计算DFT的运算次数大大减少。
图4-4为FFT算法和直接计算DFT所需复数乘法次数C M与变换点数N的关系曲线。此图直观地看出FFT算法的优越性，显然，N越大时，优越性就越明显。
图4-4 DIT-FFT算法与直接计算DFT所需复数乘法次数的比较曲线
4．DIT-FFT的运算规律及编程思想
（1）原位计算
①DIT-FFT的运算规律
a．N＝2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。
b．同一级中，每个蝶形的两个输入数据只对计算本蝶形有用，而且每个蝶形的输入、输出数据结点又同在一条水平线上。这就意味着计算完一个蝶形后，所得输出数据可立即存人原输人数据所占用的存储单元（数组元素）。
c．经过M级运算后，原来存放输入序列数据的N个存储单元（数组A）中便依次存放X（k）的N个值。
②原位计算
利用同一存储单元存储蝶形计算输入、输出数据的方法称为原位（址）计算。原位计算可节省大量内存，从而使设备成本降低。
（2）旋转因子的变化规律
①概念
N点DIT-FFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都要乘以因子，称其为旋转因子，P为旋转因子的指数。但各级的旋转因子和循环方式都有所不同。
②旋转因子与运算级数的关系
用L表示从左到右的运算级数（L＝1，2，…，M）。第L级共有2L－1个不同的旋转因子。
若N＝2M，则第L级的旋转因子为
因为
所以
这样，就可按上面两式确定第L级运算的旋转因子。
（3）蝶形运算规律
设序列x（n）经时域抽选（倒序）后，按倒序存入数组A中。如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，则蝶形运算可表示成如下形式：
式中
下标L表示第L级运算，A L（J）则表示第L级运算后的数组元素A（J）的值。而A L
（J）表示第L级运算前A（J）的值。
－1
（4）编程思想及程序框图
①运算规律
第L级中，每个蝶形的两个输入数据相距B＝2L－1个点；每级有B个不同的旋转因子；同一旋转因子对应着间隔为2L点的2M－L个蝶形。
②运算方法
先从输入端（第1级）开始，逐级进行，共进行M级运算。在进行第L级运算时，依次求出B个不同的旋转因子，每求出一个旋转因子，就计算完它对应的所有2M－L个蝶形。因此，可用三重循环程序实现DIT-FFT运算，程序框图如图4-5所示。
图4-5 DIT-FFT运算程序框图
③说明
一、傅立叶变换的由来
写在最前面：本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得，绝大部分内容非我所原创。在此向多位原创作者致敬！！！ 为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？如何用Matlab实现快速傅立叶变换？来源：张宗帅.docx的日志 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.360docs.net/doc/fc13553820.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性
FFT超全快速傅里叶
快速傅里叶变换 FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。 虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。 现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。 采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。 假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示 采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高
傅里叶变换与傅里叶级数
重温傅里叶—笔记篇 本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明） 重温傅里叶—笔记篇 一、傅里叶级数 $关于三角函数系的正交性： 三角函数系包括： 1,cos x,sinx,cos2x,sin 2x,……cos nx,sinnx,…… “正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π, π) 区间内的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0）。 不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π, π)上积分恒为0。 同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π, π)上积分才是0。 三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-π, π)上的积分恒为π，“1”在这个区间上的积分为2π。
$ 上公式! ①当周期为2π时： 式（1）： 上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件： 1.在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点； 2.任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的）
式（1）第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。 ②当周期为2L时（这也是最一般的情形）： 式（2）： 第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值； 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。
快速傅里叶变换(FFT)课程设计
快速傅里叶变换(FFT)的DSP 实现 (马灿明 计算机学院 计算机应用技术 2110605410) 摘要:本文对快速傅里叶变换(FFT)原理进行简单介绍后，然后介绍FFT 在TMS320C55xx 定 点DSP 上的实现，FFT 算法采用C 语言和汇编混合编程来实现，算法程序利用了CCS 对其结果进行了仿真。 关键字：FFT ，DSP ，比特反转 1.引言 傅里叶变换是将信号从时域变换到频域的一种变换形式，是信号处理领域中一种重要的分析工具。离散傅里叶变换（DFT ）是连续傅里叶变换在离散系统中的表现形式。由于DFT 的计算量很大，因此在很长一段时间内使其应用受到很大的限制。 20世纪60年代由Cooley 和Tukey 提出了快速傅里叶变换（FFT ）算法，它是快速计算DFT 的一种高效方法，可以明显地降低运算量，大大地提高DFT 的运算速度，从而使DFT 在实际中得到了广泛的应用，已成为数字信号处理最为重要的工具之一。 DSP 芯片的出现使FFT 的实现变得更加方便。由于多数的DSP 芯片都能在单指令周期内完成乘法—累加运算，而且还提供了专门的FFT 指令（如实现FFT 算法所必需的比特反转等），使得FFT 算法在DSP 芯片上实现的速度更快。本节首先简要介绍FFT 算法的基本原理，然后介绍FFT 算法的DSP 实现。 2.FFT 算法的简介 快速傅里叶变换（FFT ）是一种高效实现离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，是数字信号处理中最为重要的工具之一，它在声学，语音，电信和信号处理等领域有着广泛的应用。 2.1离散傅里叶变换DFT 对于长度为N 的有限长序列x(n)，它的离散傅里叶变换（DFT ）为 1,1,0, )()(1 0-==∑-=N k W n x k X n n nk N （1） 式中， N j N e W /2π-= ，称为旋转因子或蝶形因子。 从DFT 的定义可以看出，在x(n)为复数序列的情况下，对某个k 值，直接按（1） 式计算X(k) 只需要N 次复数乘法和（N-1）次复数加法。因此，对所有N 个k 值，共需要N 2 次复数乘法和N(N-1)次复数加法。对于一些相当大有N 值（如1024点）来说，直接计算它的DFT 所需要的计算量是很大的，因此DFT 运算的应用受到了很大的限制。 2.2快速傅里叶变换FFT 旋转因子W N 有如下的特性。 。对称性： 2/N k N k N W W +-= 。周期性： N k N k N W W += 利用这些特性，既可以使DFT 中有些项合并，减少了乘法积项，又可以将长序列的DFT
用Matlab对信号进行傅里叶变换实例
目录 用Matlab 对信号进行傅里叶变换 (2) Matlab 的傅里叶变换实例 (5) Matlab 方波傅立叶变换画出频谱图 (7)
用 Matlab 对信号进行傅里叶变换 1. 离散序列的傅里叶变换 DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 代码： %原离散信号有 8 点 %原信号是 1行 8列的矩阵 %构建原始信号，为指数信号 %频域共-800 +800 的长度（本应是无穷， 高 %求 dtft 变换，采用原始定义的方法，对复指 7 subplot(311) 8 stem(n,xn); 9 title('原始信号(指数信号 )'); 10 subplot(312); 11 plot(w/pi,abs(X)); 12 title('DTFT 变换 ') 结果： 分析：可见，离散序列的 dtft 变换是周期的，这也符合 Nyquist 采样 定理的描述， 连续时间信号经周期采样之后， 所得的离散信号的频谱 是原连续信号频谱的周期延拓。 2. 离散傅里叶变换 1 N=8; 2 n=[0:1:N-1] 3 xn=0.5.^n; 4 5 w=[-800:1:800]*4*pi/800; 频分量很少，故省去) 6 X=xn*exp(-j*(n'*w)); 数分 量求和而得
与 1 中 DTFT 不一样的是， DTFT 的求和区间是整个频域，这对 N=8; % 原离散信号有 8 点 n=[0:1:N-1] %原信号是 1行 8列的矩阵 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 w=[-8:1:8]*4*pi/8; %频域共 -800 +800 的长度(本应是无穷， 高频分量很少， 故省去) X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求 dtft 变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得 subplot(311) stem(n,xn); w1=[-4:1:4]*4*pi/4; X1=xn*exp(-j*(n'*w1)); title(' 原始信号 (指数信号 )'); subplot(312); stem(w/pi,abs(X)); title(' 原信号的 16 点 DFT 变换 ') subplot(313) stem(w1/pi,abs(X1)); title(' 原信号的 8 点 DFT 变换 ') 计算机的计算来说是不可以实现的， DFT 就是序列的有限傅里叶变换。 实际上， 1 中代码也只是对频域的 -800 +800 中间的 1601 结果图： 分析： DFT 只是 DTFT 的现实版本，因为 DTFT 要求求和区间无穷， 而 DFT 只在有限点内求和。 3. 快速傅里叶变换 FFT ( Fast Fourier Transform ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
详解FFT(快速傅里叶变换FFT.
kn N W N N 第四章 快速傅里叶变换 有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。 快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。 DFT 的定义式为 N ?1 X (k ) = ∑ x (n )W N R N (k ) n =0 在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2 次复数乘法 和 N ( N ? 1) 次复数加法。即计算量是与 N 2 成正比的。 FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。 W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT 运算： （1） 周期性： ( k + N ) n N = W kn = W ( n + N ) k （2） 对称性：W ( k + N / 2 ) = ?W k N N 利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。例子： 求当 N ＝4 时，X(2)的值
fft快速傅里叶变换 c语言实现
#include x=[1,1,1,1];w=[0:1:500]*2*pi/500; [H]=freqz(x,1,w); magH=abs(H);phaH=angle(H); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magH);grid;xlabel('');ylabel('|X|'); title('DTFT的幅度') subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi*180);grid; xlabel('以pi为单位的频率');label('度'); title('DTFT的相角') N=4;w1=2*pi/N;k=0:N-1; X=fft(x,N); magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi; subplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,'--');axis([-0.1,4.1,0,5]);hold on; stem(k,magX);ylabel('|X(k)|');title('DFT的幅度:N=4');text(4.3,-1,'k'); hold off; subplot(2,1,2);plot(w*N/(2*pi),phaH*180/pi,'--');axis([-0.1,4.1,-200,200]); hold on; stem(k,phaX);ylabel('度');title('DFT的相角:N=4');text(4.3,-200,'k') n=(0:1:9);x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); w=[0:1:500]*2*pi/500; X=x*exp(-1i*n'*w); magx=abs(X); x1=fft(x);magx1=abs(x1(1:1:10)); k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1; subplot(3,1,1);stem(n,x);title('signalx(n),0<=n<=9'); axis([0,10,-2.5,2.5]);line([0,10],[0,0]); subplot(3,1,2);plot(w/pi,magx);title('DTFT幅度');xlabel('w');axis([0,1,0,10]); subplot(3,1,3);stem(w1/pi,magx1);title('DFT幅度'); xlabel('频率（单位：pi)');axis([0,1,0,10]) 实验总结：补零运算提供了一个较密的频谱和较好的图示形式，但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何新的信息，因此不能提供高分辨率的频谱。 实验四 快速傅里叶变换（FFT ） 4.1实验目的 1）加深对快速傅里叶变换（FFT ）基本理论的理解； 2）了解使用快速傅里叶变换（FFT ）计算有限长序列和无限长序列信号频谱的方法； 3）掌握用MATLAB 语言进行快速傅里叶变换时常用的子函数。 4.2实验原理 1）用MATLAB 提供的子函数进行快速傅里叶变换 从理论学习可知，DFT 是唯一在时域和频域均为离散序列的变换方法，它适用于有限长序列。尽管这种变换方法是可以用于数值计算的，但如果只是简单的按照定义进行数据处理，当序列长度很大时，则将占用很大的内存空间，运算时间将很长。 快速傅里叶变换是用于DFT 运算的高效运算方法的统称，FFT 只是其中的一种。FFT 主要有时域抽取算法和频域抽取算法，基本思想是将一个长度为N 的序列分解成多个短序列，如基2算法、基4算法等，大大缩短了运算的时间。 MATLAB 中提供了进行快速傅里叶变换（FFT ）的子函数，用fft 计算DFT ，用ifft 计算IDFT 。 2）用FFT 计算有限长序列的频谱 基本概念： 一个序号从1n 到2n 的时域有限长序列()x n ，它的频谱()j X e ω定义为它的离散时间傅里叶变换，且在奈奎斯特（Nyquist ）频率范围内有界并连续。序列的长度为N ，则211N n n =?+。计算()x n 的离散傅里叶变换（DFT ）得到的是()j X e ω的N 个样本点()k j X e ω。其中数字频率为 k 2πω()d ωk k N == 式中：d ω为数字频率的分辨率；k 取对应－(N －1)/2到(N －1)/2区间的整数。 在实际使用中，往往要求计算出信号以模拟频率为横坐标的频谱，此时对应的模拟频率为 s s 2π2π?ω/T ()()T k k k k kD N L ==== 式中：D 为模拟频率的分辨率或频率间隔；T s 为采样信号的周期，Ts ＝1/Fs ；定义信号时域长度L ＝N T s 。 实验3 傅里叶变换及其性质 1. 实验目的 学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换；学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图；学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 2. 实验原理及实例分析 傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为： ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞ --∞==?， 傅里叶反变换定义为：11()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ ∞--∞==?。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方 法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函 数fourier( )和ifourier( )。Fourier 变换的语句格式分为三种。 （1） F=fourier(f)：它是符号函数f 的Fourier 变换，默认返回是关于ω的函数。 （2） F=fourier(f,v)：它返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的ω， 即()()jvt F v f t e dt ∞ --∞=?。 （3） F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的 函数，即()()jvu F v f t e du ∞ --∞=?。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。 （1） f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为ω，默 认返回是关于x 的函数。 （2） f=ifourier(F,u)：它返回函数f 是u 的函数，而不是默认的x 。 （3） f=ifourier(F,u,v)：是对关于v 的函数F 进行反变换，返回关于u 的函数f 。 值得注意的是，函数fourier( )和ifourier( )都是接受由sym 函数所定义的符号 变量或者符号表达式。 第一章 快速傅里叶变换（FFT ） 4.1 填空题 （1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点 的有限长序列)1270 (≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果 采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。 解：64+128-1＝191点; 256 (2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。 解：①直接运算：需复数乘法2 N 次，复数加法） （1-N N 次。 直接运算所用计算时间1T 为 s s N N N T 80864.12512580864020110021==?-+?=μ）（ ② 基2FFT 运算：需复数乘法 N N 2log 2 次，复数加法N N 2log 次。 用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为 s s N N N N T 7168.071680020log 100log 2 222==?+?=μ。 (3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k N j e π2-的 来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。 解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。 解：N N L N mF 2log 2 2== ；N N NL aF 2log == 4.2 选择题 1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。 A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B 2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。 A. 8 B. 16 C. 1 D. 4 解：C 3．在时域抽取FFT 运算中，要对输入信号x(n)的排列顺序进行“扰乱”。在16点FFT 中，原来x(9) 实验六 傅里叶变换及其反变换 6.1实验目的 １．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶变换； ２．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶反变换； 3．学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图。 6.２实验原理及实例分析 1．连续时间信号傅里叶变换----CTFT 傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。傅里叶变换和其逆变换定义如下： ?∞ ∞--= dt e t x j X t j ωω)()( 6.1 ?∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 6.2 连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。按照教材中的说法，任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量（frequency component ），其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。 X(j ω)通常为关于的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为： X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω) 其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱，而∠X(j ω)则称为x(t)的相位谱。 给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。对于连续时间周期信号，也可以用傅里变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换时有冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。 ２．用MATLAB 实现CTFT 的计算 MATLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算。 1） MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )及ifourier( )。常用的是：F=fourier(f) 默认返回值是关于ω的函数。 f=fourier(F,t) 返回值是关于t 的函数 例：利用MATLAB 求单边指数信号f(t) = e -2t u(t)的傅里叶变换，画出f(t)及其幅度谱和相位谱图。 syms t v w x phase im re ; %定义符号变量 f = exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)'); %f(t)=exp(-2*t)*u(t) Fw = fourier(f); %求傅里叶变换 subplot(311); ezplot(f); %绘制f(t)的时域波形 axis([-1 2.5 0 1.1]); subplot(312); ezplot(abs(Fw)); %绘制幅度谱 im = imag(Fw); %计算F(w)的虚部 快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式 原理及公式 非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为 式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。 有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为： 可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N较大时，这个计算量是很大的。利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点 的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT算法的优越性。 将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即 x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为： 上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。图3为8点FFT的分解流程。 FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。 关于FFT精度的说明： 因为这个变换采用了浮点运算，因此需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。为了FFT的舍入误差，应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。以256为基数、长度为N字节的数 【纯技术帖】为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？如何用Matlab实现快速傅立叶 变换？来源：胡姬的日志 写在最前面：本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得，内容非我所原创。在此 向多位原创作者致敬！！！ 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得 非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.360docs.net/doc/fc13553820.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角 波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线， 目录 用Matlab对信号进行傅里叶变换 (2) Matlab的傅里叶变换实例 (5) Matlab方波傅立叶变换画出频谱图 (7) 用Matlab对信号进行傅里叶变换 1.离散序列的傅里叶变换DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 代码： 1 N=8; %原离散信号有8点 2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵 3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 4 5 w=[-800:1:800]*4*pi/800; %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去） 6 X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得 7 subplot(311) 8 stem(n,xn); 9 title('原始信号(指数信号)'); 10 subplot(312); 11 plot(w/pi,abs(X)); 12 title('DTFT变换') 结果： 分析：可见，离散序列的dtft变换是周期的，这也符合Nyquist采样定理的描述，连续时间信号经周期采样之后，所得的离散信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓。 2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform) 与1中DTFT不一样的是，DTFT的求和区间是整个频域，这对 结果图： 分析：DFT只是DTFT的现实版本，因为DTFT要求求和区间无穷，而DFT只在有限点内求和。 3.快速傅里叶变换FFT（Fast Fourier Transform） 虽然DFT相比DTFT缩减了很大的复杂度，但是任然有相当大的计算量，不利于信息的实时有效处理，1965年发现的DFT解决了这一问题。 实现代码： 1 N=64; %原离散信号有8点 2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵 3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 4 Xk=fft(xn,N); 5 subplot(221); 6 stem(n,xn); 7 title('原信号'); 8 subplot(212); 9 stem(n,abs(Xk)); 10 title('FFT变换') 效果图： 分析：由图可见，fft变换的频率中心不在0点，这是fft算法造成的，把fft改为fftshift可以将频率中心移到0点。 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /***************************************************************************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************************************************************/ 前言： ―关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解‖---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科） FFT原理与实现 2010-10-07 21:10:09| 分类：数字信号处理 | 标签：fft dft |举报|字号订阅 在数字信号处理中常常需要用到离散傅立叶变换(DFT)，以获取信号的频域特征。尽管传统的DFT算法能够获取信号频域特征，但是算法计算量大，耗时长，不利于计算机实时对信号进行处理。因此至DFT被发现以来，在很长的一段时间内都不能被应用到实际的工程项目中，直到一种快速的离散傅立叶计算方法——FFT，被发现，离散傅立叶变换才在实际的工程中得到广泛应用。需要强调的是，FFT并不是一种新的频域特征获取方式，而是DFT的一种快速实现算法。本文就FFT的原理以及具体实现过程进行详尽讲解。 DFT计算公式 本文不加推导地直接给出DFT的计算公式： 其中x(n)表示输入的离散数字信号序列，WN为旋转因子，X(k)为输入序列x(n)对应的N个离散频率点的相对幅度。一般情况下，假设x(n)来自于低通采样，采样频率为fs，那么X(k)表示了从-fs/2率开始，频率间隔为fs/N,到fs/2-fs/N截至的N个频率点的相对幅度。因为DFT计算得到的一组离散频率幅度值实际上是在频率轴上从成周期变化的，即X(k+N)=X(k)。因此任意取连续的N个点均可以表示DFT的计算效果，负频率成分比较抽象，难于理解，根据X(k)的周期特性，于是我们又可以认为X(k)表示了从零频率开始，频率间隔为fs/N,到fs-fs/N 截至的N个频率点的相对幅度。 N点DFT的计算量 根据(1)式给出的DFT计算公式，我们可以知道每计算一个频率点X(k)均需要进行N次复数乘法和N-1次复数加法，计算N各点的X(k)共需要N^2次复数乘法和N*(N-1)次复数加法。当x(n)为实数的情况下，计算N点的DFT需要2*N^2次实数乘法，2*N*(N-1)次实数加法。 旋转因子WN的特性 1.WN的对称性 2.WN的周期性 3.WN的可约性 根据以上这些性质，我们可以得到式(5)的一系列有用结果 基-2 FFT算法推导 假设采样序列点数为N=2^L，L为整数，如果不满足这个条件可以人为地添加若干个0以使采样序列点数满足这一要求。首先我们将序列x(n)按照奇偶分为两组如下： 于是根据DFT计算公式(1)有：离散傅里叶变换应用举例
实验四 快速傅里叶变换(FFT)
实验3 傅里叶变换及其性质
快速傅里叶变换(FFT)试题
实验六傅里叶变换及其反变换
快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式
傅里叶变换 讲解最通俗易懂的一片
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快速傅里叶变换FFT原理与实现