2020中考数学压轴题100题精选
(1) (2) 当 t = 2 时，AP =
，点Q 到AC 的距离是 (3) (4)
在点P 从C 向A 运动的过程中，求^ APQ 的面积S 与 t 的
函数关系式；(不必写出t 的取值范围) 在点E 从B 向C 运
动的过程中，四边形 为直角梯形？若能，求 t 的值.若不
能， 当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值.
2020中考数学压轴题100题精选
【001］如图，已知抛物线 y a(x 1)2 3百(aw0)经过点A( 2, 0),抛物线的顶点 为D ,过O 作射线
OM // AD .过顶点D 平行于x 轴的直线交射线 OM 于点C , B 在x 轴 正半轴上，连结BC .
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若动点P
从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点P 运动的 时间为
t(s) .问当t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
(3)若OC OB ,动点P 和动点Q 分别从点。和点B 同时出发，分别以每秒 1个长度单 位和2个长
度单位的速度沿 OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止 运动.设它们的运动的时间为t ⑸，连接PQ ,当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？ 并求出最小值及此时 PQ 的长.
【002］如图16,在Rt^ABC 中，/ C=90°, AC = 3, AB = 5.点P 从点C 出发沿 CA 以每秒1
个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点 B 匀速运动.伴随着 P 、Q 的运动，DE 保持垂直平
分PQ,且交PQ 于点D,交折线QB-BGCP 于点E.点P 、Q 同时出发，当点 止运动，点P 也随之停止.设点 P 、Q 运动的时间是t 秒(t>0).
Q 到达点B 时停
【003］如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点B (4, 0)、C (8, 0)、D
(8, 8).抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.
(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P 从点A 出发.沿线段 AB 向终点B 运动，同时点 Q 从点C 出发，沿线段 CD 向终点D 运
动.速度均为每秒 1个单位长度，运动时间为 t 秒.过点P 作P 已AB 交AC 于点 E,①过点E 作EF ，AD 于点F,交抛物线于点 G.当t 为何值时，线段 EG 最长？
②连接EQ 在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△ CEQ 是等腰三角形？
请直接写出相应的t 值。
轴于A 、B 两点.矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线l 「L 上，顶点F 、G 都在x 轴上, 且点G 与点B 重合.
(1)求z\ABC 的面积；
(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；
(3)若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1
个单位长度的速度平移，
设移动时间为t(0wt012)秒，矩形DEFG 与△ ABC 重叠部分的面积为 S,求S 关
【004］如图，已知直线l 1 : y
2 8-八 —x 一与直线l 2: y
3
3
2x 16相交于点C,卜l 2分别交x
t 的取值范围.
点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
【005］如图1,在等腰梯形 ABCD 中，AD // BC, E 是AB 的中点，过点E 作EF // BC 交 CD 于点 F. AB 4, BC 6, /B 60 .
(1)求点E 到BC 的距离；
(2)点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF 交BC 于点M ,过M 作MN // AB 交折线ADC 于点N ,连结PN ,设EP x .
①当点N 在线段AD 上时(如图2), APMN 的形状是否发生改变？若不变， 求出4PMN
的周长；若改变，请说明理由；
②当点N 在线段DC 上时(如图3),是否存在点P ,使4PMN 为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由.
【006］如图13,二次函数y x 2 px q(p 0)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交
5
于点C (0,-1), A ABC 的面积为-o
4
(1)求该二次函数的关系式；
(2)过y 轴上的一点M (0, m)作y 轴的垂线，若该垂线与A ABC 的外接圆有公共点， 求m 的取
值范围；
(3)在该二次函数的图象上是否存在点
D,使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出
B
A P
F
N
D
C
A D
E
图4 (备用)
M
【007］如图1,在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点A 的坐 标为(—
3, 4),
点C 在x 轴的正半轴上，直线 AC 交y 轴于点M, AB 边交y 轴于点H.
(1)求直线AC 的解析式；
(2)连接BM,如图2,动点P 从点A 出发，沿折线 ABC 方向以2个单位/秒的速度
向终点C 匀速运动，设^ PMB 的面积为S (Sw 0),点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的 函数关系式(要求写出自变量 t 的取值范围)
(3)在(2)的条件下，当t 为何值时, 与直线AC
所夹锐角的正切值.
【008］如图所示，在直角梯形 ABCD 中，/ ABC=90° , AD
MPB 与/ BCO 互为余角，并求此时直线
OP
BC, AB=BC, E是AB 的中点，CE± BD。
(1)求证：BE=AQ
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；
(3)ADBC是等腰三角形吗？并说明理由。
k 【009】一次函数y ax b的图象分别与x轴、y轴交于点M , N ,与反比例函数y —的x 图象相交于点A, B .过点A分别作AC x轴，AE y轴，垂足分别为C,E ;过点B分
另ij作BF x轴，BD y轴，垂足分别为F, D, AC与BD交于点K ,连接CD .
k
(1)若点A, B在反比仞^函数y —的图象的同一分支上，如图1,试证明：
①S四边形AEDK S四边形CFBK ；
② AN BM .
k
(2)右点A B分力1J在反比例函数y —的图象的不同分支上，如图2,则AN与BM还
相等吗？试证明你的结论.
【010］如图，抛物线y ax2 bx 3与x轴交于A B两点，与y轴交于C点，且经过点
(2, 3a),对称轴是直线x 1,顶点是M .
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N ,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点
P, A, C, N
为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点
P
的坐标；若不存在，请
说明理由；
x 3与y 轴的交点是D,在线段BD 上任取一点E (不与B, D 重合)，
【011】已知正方形 ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EH BD 交BC 于F,连接DF, G 为
DF 中点，连接EG, CG.
(1)求证：EG=CG;
(2)将图①中4 BEF 绕B 点逆时针旋转45o,如图②所示，取DF 中点G,连接EG CG.问 (1)中的
结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
(3)将图①中A BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问(
1)
中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)
【012］如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标 轴分别交于 A B 、C 、D 四点.抛物线y ax 2 bx c 与y 轴交于点D ,与直线y x 交 于点M 、N ,且MA 、NC 分别与圆。相切于点 A 和点C .
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴交 x 轴于点E ,连结DE ,并延长DE 交圆。于F ,求EF 的长.
(3)过点B 作圆。的切线交DC 的延长线于点P ,判断点P 是否在抛物线上，说明理由.
(3)设直线y
经过A, B, E 三点的圆交直线 BC 于点F ，试判断4AEF 的形状，并说明理由;
(4)当E 是直线y x 3上任意一点时,
(3)中的结论是否成立？(请直接写出结论
)
第24题图②
第24题图
③
【013］如图，抛物线经过A(4,0), B(1,0), C(0, 2)三点.
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM x轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A, P, M为顶点的三角形与4OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得4DCA的面积最大，求出点D的坐标.
【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕。点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y x上时停止旋
转，旋转过程中，AB边交直线y x于点M , BC边交x轴于点N (如图).
(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
(2)旋转过程中，当
MN
和AC 平行时，求正方形 OABC
旋转的度数；
(3)设 MBN 的周长为p,在旋转正方形 OABC 的过程中，
p
值是否有变化？请证明你的结论 .
【015】如图，二次函数的图象经过点 D(0, 773),且顶点C 的横坐标为4,该图象在x 轴
9
上截得的线段AB 的长为6.
⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 巳使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点 Q,使△ QAB 与△ ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如
果不存在，请说明理由.
【016］如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点
B(6, 数的解析式；
(3)第(2)问中的一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于C 、D,求过A 、B 、D 三点的二 次函数的解析
式；
A(3,3).
m),求m 的值和这个一次函
(4)在第(3)问的条件下，二次函数的图象上是否存在点
E,使四边形OECD的面积S1与
2
四边形OABD的面积S满足：S1 —S?若存在，求点E的坐标;
3
若不存在，请说明理由.
【017］如图，已知抛物线y x2 bx c经过A(1,0), B(0,2)两点，顶点为D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)将4OAB绕点A顺时针旋转90。后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后
经过点C ,求平移后所得图象的函数关系式；
(3)设(2)中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B i,顶点为D i ,若点N在平移后的
抛物线上，且满足4NBB1的面积是4NDD1面积的2倍，求点N的坐标.
【018］如图，抛物线y ax2 bx 4a经过A( 1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点D(m, m 1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
(3)在(2)的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP 45° ,求点P的坐标.
【019］如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点。恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH 延长BC至M,使CM= | CF- E0 | ,再以CM、CO为边作矩形CMNO
⑴试比较EO、EC的大小，并说明理由
, S四边形CFGH
(2)令m ——0GH-,请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由
S四边形CNMN ；
.......................................................... 1 2
⑶在(2)的条件下，若CO= 1, CE= - , Q为AE上一点且QF=-,抛物线y= mx2+bx+c经
过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下，若抛物线y= mx2+bx+c与线段AB交于点巳试问在直线BC上是否存在点K,使
彳#以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标 *不存在，请说明理由。
【020】如图甲，在^ ABC中，/ ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD,以AD 为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题：
（1）如果AB=AC, / BAC=90°,①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF BD之间的位置关系为 ,数量关系为。
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果ABw AC, / BACw 90°点D在线段BC上运动。
试探究：当^ ABC满足一个什么条件时，CF± BC （点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）
（3）若AC=4j2 , BC=3,在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于
点P,求线段CP长的最大值。
2020年中考数学压轴题100题精选答案
【001】解：(1) Q 抛物线y a(x 1)2 3向a 0)经过点A( 2,0),
0 9a 3,3 a 立
3
D(1,3&)过 D 作 DN OB 于 N ,则 DN 3J 3 ,
AN 3, AD J 32 (3百)2 6 DAO 60。 ............................................................................................................................ 4 分
Q OM // AD
①当AD OP 时，四边形DAOP 是平行四边形
OP 6 t 6(s) ............................................................................. 5 分
②当DP OM 时，四边形DAOP 是直角梯形 过 O 作 OH AD 于 H, AO 2,则 AH 1 (如果没求出
DAO 60°可由Rt^OHAs RtADNA 求AH
OP DH 5 t 5(s) .................................................................................................................................... 6 分
③当PD OA 时，四边形DAOP 是等腰梯形
OP AD 2AH 6 2 4 t 4(s)
综上所述：当t 6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.
?7
分
(3)由(2)及已知， COB 60°, OC OB,AOCB
是等边三角形
则 OB OC AD 6, OP t, BQ 2t, OQ 6 2t(0 t 3)
1 - 1
3 \3 3 63 -
6 3、3 (6 2t)——1=——t 3
2 2
2
2 2
8
, 3 63 — 当t 一时，S BCPQ 的面积取小值为 一近 .................................................................................................................... 10分
2
8
3 3 3 9 3.3
此时 OQ 3, OP = —, OE — QE 3 一 — PE -----------------------------------
二次函数的解析式为： y 3 2 2,3 8.3
—x ---------- x --------
3 3 3 过P 作PE
OQ 于E ,则PE (2) Q D 为抛物线的顶点 S BCPQ
2 4 4 4 4
此时/ APQ =90°.
由^AQP S ^ABC ,得 AQ ” AB AC ' 即L 3-t.解得t —. 5 3 8
5 45 (4) t 一或 t —. 2 14
【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C. 方法一、连接 QC,彳QG±BC 于点G,如图6.
PC t , QC 2 QG 2 CG 2 [3(5 t)]2 [4 -(5 t)]2 . 5 5
, o o
一。 3
c 4 5
由 PC 2
QC 2 ,得 t 2
[-(5 t)]2 [4 -(5
t)]2 ,解得 t 一.
5
5
2
—
—
- AQ BQ - t -
B BCQ,得 CQ BQ , ...
2. 2
②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C,如图7.
2
3
2
4 2 45
(6 t) [-(5 t)]
[4
(5 t)] t
5 5 , 14 ]
【003]解.(1)点A 的坐标为(4, 8)
将A (4,8)、C (8, 0)两点坐标分别代入 y=ax2+bx
PQ J PE 2 QE 2
3 ^3 29^ 述 ...................................................
\ 4 4 2
【002]解：(1) 1, 8 ； 5 (2)作 Q 。AC 于点 F,如图 3, AQ = CP= t,，AP 3t. 由△AQM AABC ； BC .52 32 得更 4 6t. 5
(3)能. ①当DE// QB 时，如图4. 4 ,
QBED 是直角梯形.
1 2(3
11
分
. DE ，PQ, PQXQB, 此时/ AQP=90 °. 四边形 由^ APQ s' ABC ,
彳导空” AC AB 即￡ 3-t,解得t 9. 3 5 8 ②如图5,当PQ// BC 时, DEX BC,四边形QBED 是直角梯形.
方法二、由CQ CP AQ ,得QAC
QCA ,进而可得
8=16a+4b
0=64a+8b
1
解 得 a=-2 ,b=4
1
，抛物线的解析式为： y=- 2 x2+4x
........................... 笳
1 1
.?.PE=2 AP=2 t. PB=8-t.
1
.??点E 的坐标为(4+2t, 8-t).
1
???-8 <0, .?.当t=4时，线段EG 最长为 ②共有三个时刻.
5,
6???. C
点的坐标为5，6 . (3分)
{
.??点G 的纵坐标为:
EG=-
2 (4+2t) 8 t2+8-(8-t) = — 8 t2+t.
2+4(4+2 t) =— 8t2+8.
16 t1= 3 , 40 t2= 13 , 8.5
t3
=
【004】 (1)解：由
0,
得x
4- A
点坐标为
由2x
16
0,得x 8.
B
点坐标为
8,0 . . AB 8
4 12. s 八、
(2分)
SA ABC
1…
2 AB ? y 。
12 6 36.
(4分)
(2)① 在 RtA APE 和 Rt^ABC 中,
PE BC PE 4 tanZPAE=A P =
AB ,gp AP =8
2.
2 x
3 2x 3 16
.解得
??? OE 8 4 4, EF 8.（7 分）
(3)解法一：①当0Wt 3时，如图1,矩形DEFG与△ ABC重叠部分为五边形CHFGR （t 0 时，为四边形CHFG）.过C 作CM AB 于M ,则RtzXRGBs Rt/XCMB.
(2)解：.??点D在l1上且X D X B
8, y D 8二8 _ aa
3D点坐标为'? （5分）
又???点E在l2上且yE y D 8，2x E 1
6
8
. x E 4
?，E点坐标为4% (6分)
BG
BM
（图
1）
RG t RG ， - ，
CM 即3 6 RG
& ABC SA BRG SX AFH
2t.Q RtAAFH s Rtz\ AMC,
1 1
36 t 2t 8 t
2 2
42 16 44
S —t —t —.
即 3 3 3 （10 分）
【005］（1）如图1,过点E作EG BC于点G. 1分
E为AB的中点，
1 BE -AB 2.
2
在RtA EBG 中，/B 60,../BEG 30 .
BG 1BE 1, EG . 22 12.3.
2
即点E到BC的距离为内3分
(2)①当点N在线段AD上运动时，4PMN的形状不发生改变.
?? PM EF, EG EF, PM // EG.
.EF // BC,.. EP GM , PM EG .3.
同理MN AB 4.
如图2,过点P作PH MN于H -.- MN // AB, . ./NMC ZB 60
PH 1PM 3I
2 2
MH PM gcos30 NH
则
MN MH
PN 在RtA PNH 中，NH^ 2
PH2
APMN 的周长=PM PN
②当
点
N在线段DC上运动时, △PMN的形状发生改变，但^MNC恒为等边三角形. 当PM PN时，如图3,作PR MN于R,则MR NR.
3
MR 类似①，2
MN 2MR 3. 7分
AMNC是等边三角形，，MC MN 3.
则/PMN 120,又/MNC 60,
???/PNM /MNC 180.
因此点P 与F 重合，A pMC 为直角三角形.
MC PM gtan30 1.
此时，x EP GM 6 114.
5 , 3
综上所述，当x 2或4或 v 时，4PMN 为等腰三角形.
【006］解：(1) OC=1 所以,q=-1，又由面积知 0.5OCX AB=4 ,^ AB =2 ,
所以解析式为:
设 A (a,0) ,B(b,0)AB=b a=
______________ 5 .(a b)2 4ab =2
P=
2，但 p<0,所以 p= 2。
2
x
(2)令y=0,解方程得
X 1
1 2,x 2
，所以A( 2 ,0),B(2,0)，在直角三
一
角形AOC 中可求得 AC= 2，同样可求得BC =
而,显然AC2+BC2=AB2得△ ABC 是直角三角
m -
形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为 AB=2,所以 4
4(3)存在，AC± BC,①若以AC 为底边，则BD//AC,易求AC 的解析式为y=-2x-1，可设BD 的
解析式为y=-2x+b,把B(2,0)代入得BD 解析式为y=-2x+4,解方程组 y
2
3 d
x - x 1
2
2x 4 得 D
5 (2,9)
②若以BC 为底边，则BC//AD,易求BC 的解析式为y=0.5x-1，可设AD 的解析式为y=0.5x+b,
把A( 2 ,0)代入得AD 解析式为y=0.5x+0.25,解方程组 y
2
3 x - x 1
2
5 3
0.5x 0.25得 D …
当仁孥时，乙MPR 与fRC 。互为余角，直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值为1
6
5 5 3
上，所以存在两点：（2,9）或（2 2）。
【007】
设直线A .⑴过点A 柞AES 轴 垂足为E （如图1）
VAC-3,4） .\AE=4 0E=3 /.OA=\/AE ?+OE 1 =5
'；四边形ABCO 为菱形 ，OC=CB=BA=OA=5 .&5期…
j 直堆AC 的解析式为
（2）由（1）得M 点坐标为（0,^-） 如图J ,当P 点在AB 边上运动时 由题意得0H3「HM 吟 「3=1即由心；（5-力），小 jS=Vt+M （O （t 号）??…
2
4 Z
当P 点在BC 边上运动时.记为P, vrOCM=ZBCM CO=CB CM=CM
A AOMC^ABMC CM
。』二 MHC
勺r
2
.5.&/t-今（尹理5） ,,
0）设OP 与AC 相交于点Q 连接0B 交AC 于点K v^AOC=4ABC /,^A0M=4ABM \-ZMPB+^BCO=90° LBA0 三上 BCO 上 HAU+￡AOH=90* tv ,?.Z MPB= 4 AOH -乙 MPB=￡M BH 当P 点在AB 边上运动舟,如图2 /Z.MPR=ZMBH , PM=RM
..PH=HB=2 PA=AH-PH=1
:AE 〃OC ，乙 PAQ1OCQ “AQN 乙 CQO ，△ AQP- △ CQO
在RiAAEC 中
二AQ 卡 在 Ri A 01 IB 中 AC-V A ^+EC 1 =\/43+H r =4\/T
QC=
wVT OB=VHB !+HO 2 =V2I +4r -2V 朋 2 .\0K=V T AK=KC=2VT /.QK=AK-AQ=4Y^" ■加 ￡Og 翳号 当P 点在BC 边上运动时，如图3二NBHM =乙PBM=9（F .'.tan Z_ MFH=lan Z. M BI I ,BM _HM S_ 3 T _2 BP （IB BP 2 ..P （：=BC-BP=5 25r 6 1 由 M/OA ①J "AQ 3 ,OK=VT 同理可证△ pyc —△ OQA CQ=-J-AC= \/3 A QK^KC-CQ= y/5~ 7.tan￡.OQK=-^^=l .......... * ............. 1 分 t 图3 也a 综上所述,当时，乙MPB 与乙BCO 互为余角，直线OP 与点线AC 所夹锐角的正切值为方 ?……1分 3 E 图I 2 分 * 7H 1分 I 分 ,AQ _ AP *'CQ ~CO "5 H .CQ _ CP …AQ -AO 【008】证明：（1） / ABC=90° , BD± EC, / 1 与/ 3互余，/ 2与/ 3互余， / 1 = 7 2 .................................................................... 1??分.... ??? / ABC=Z DAB=90° , AB=AC . BA4 △ CBE ......................................................... 2?分??… ，AD=BE .................................................................... 3?分 ............ （2） ??? E 是 AB 中点, ? .EB=EA 由（1） AD=BE 得：AE=AD .................................... 5?分?? . AD//BC ，/7=/ACB=45° -/ 6=45° ，/6=/7 由等腰三角形的性质，得： EM=MD, AMIDE 即，AC 是线段ED 的垂直平分线。 ............................... 7分 （3） .................................... 4DBC 是等腰三角（CD=BD ） .......................................................................... 8?分 理由如下： 由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD .CD=BD DBC 是等腰三角形。 ........................................... 10?分 四边形AEOC 为矩形. Q BF Lx 轴， BD ，y 轴, 四边形BDOF 为矩形. QAC^x 轴，BD ^y 轴, 四边形AEDK, DOCK, CFBK 均为矩形.1分 Q OC X I , AC y n 何 k S 巨形AEOC OC gAC X I gy 1 k Q OF X 2, FB y 2, X 2gy 2 k S 巨形 BDOF OFgFB X 2gy 2 k S 巨形 AEOC S^g 形 BDOF Q S6 形 AEDK S 矩形 AEOC S 矩形 DOCK S 矩形 CFBK S 矩形 BDOF 66 形 DOCK 6 巨形AEDK S 矩形CFBK . 2分 ②由（1） 知 S 矩形AEDK S6形CFBK 【009】解：（1）①QAC^x 轴，AE ^y 轴, 2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 题型一选择题压轴题 类型一选择几何压轴题 1?如图，四边形ABCD是平行四边形，ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点，连接MW则MN的最小值为（） 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足：①点A到直线1的距离为2；②直线1与一条对角线平行；③直线1与菱形ABCD的边有交点，则符合题意的直线1的条数为（） 3?如图，在四边形ABCD 中，AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上，则使得APBD的面积为3的点P的个数为（） -√3 （第2（第3 4?如图，点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点，过点B作BN丄AM于点P,交 矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为（ ) A. √T3-2 5?如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。（）上的一个动点，ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线，两线 交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点，连接O C, （）D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为（ ） 6.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 在AD 边上，点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是（ ） 7.如图，OP 的半径为1,且点P 的坐标为（3, 2）,点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点，且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为（ ） √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B （第5 （第6 （第7（第8 江苏省13市2015年中考数学压轴题 1. （2015年江苏连云港3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是【】 A. 第24天的销售量为200件 B. 第10天销售一件产品的利润是15元 C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D. 第30天的日销售利润是750元 2. （2015年江苏南京2分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为【】 A. 13 3 B. 9 2 C. 4 13 3 D. 25 3. （2015年江苏苏州3分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为【】 A．4km B．() 22 +km C．22km D．() 42 -km 4. （2015年江苏泰州3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是【】 A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. （2015年江苏无锡3分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为【 】 A. 35 B. 45 C. 2 3 D. 32 6. （2015年江苏徐州3分）若函数y kx b =-的图像如图所示，则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为【 】 A. <2x B. >2x C. <5x D. >5x 7. （2015年江苏盐城3分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图像大致为【 】 中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68 第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值． 中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 2a的解为正数，且使关于的分式方程y的不等（2017重庆）若数a使关于x1．4?? x?11?xy?2y???1?23的解集为y，则符合条件的所有整数a的和为（）式组 2???????0y?2a? A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解析】①解关于x的分式方程，由它的解为正数，求得a的取值范围． 2a 4??x?11?x去分母，得2－a＝4（x－1） 去括号，移项，得4x＝6－a 6?a 1，得x＝系数化为46?a6?a≠1，解得a且a≠2；6?，且，∴x≠1∵x且00?? 44②通过求解于y的不等式组，判断出a的取值范围． y?2y???1?32 ?????0y?2a?解不等式①，得y；2???a；解不等式②，得y ∵不等式组的解集为y，∴a；2??2??③由a且a≠2和a，可推断出a的取值范围，且a≠2，符合条件的所有整数6?a6??2?2??a为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A．2．（2017内蒙古赤峰）正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，则x＋y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26 【答案】A， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）只供学习与交流． 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 又∵正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25， ∴2x－5＝5，2y－5＝5或2x－5＝1，2y－5＝25 解各x＝5，y＝5或x＝3，y＝15． ∴x＋y＝10或x＋y＝18． 故选A. x?a?0?3．（2017广西百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a?2x?3a?0?的最小值是（） 2 D．．1 B．2 CA． 3 3B. 【答案】3a3a＜x≤a，因为该解集中至少5个整数解，所以a比至少【解析】不等式组的解集为??223a+5，解得a≥2 a≥．大5，即?2111122＝n－m－2，则－的值等于（4．（2017四川眉山）已知m＋n ）44mn1D．－ 1 C．B0 ．－A．1 4C 【答案】11112222，m＋1)n＋(－1)m＝0，从而＝－2即1)1)由题意，【解析】得(m＋m＋＋(n－n ＋＝0，(24421111 ＝－1．＝n2，所以－＝－2nm2－端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙．（2017聊城）5之前的函数关系式如图所示，下列两队与时间500米的赛道上，所划行的路程(min)my()x 说法错误的是（）到达终点．乙队比甲队提前A0.25min 时，此时落后甲队．当乙队划行B110m15m 2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图② 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直 近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图① 一、中考数学压轴题 1．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ． （1）a ＝______cm ，b ＝______cm ； （2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？ （3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2． 2．在平面直角坐标系中，抛物线2 4y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且 :3:4??=ABC BCE S S ． （1）求点A ，点B 的坐标； （2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式； ②求抛物线的解析式． 3．如图1，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标． （3）如图3，点M 的坐标为（ 3 2 ，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标． 2015年河南省中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，满分24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一 个是正确的 1．（3分）下列各数中最大的数是（） A．5B．C．πD．﹣8 2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（） A．B．C．D． 3．（3分）据统计2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（） A．4.0570×109B．0.40570×1010 C．40.570×1011D．4.0570×1012 4．（3分）如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（） A．55°B．60°C．70°D．75° 5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（） A． B． C． D． 6．（3分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分 7．（3分）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（） A．4B．6C．8D．10 8．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（） A．（2014，0）B．（2015，﹣1）C．（2015，1）D．（2016，0） 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 9．（3分）计算：（﹣3）0+3﹣1=． 10．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=． 11．（3分）如图，直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），则k=． 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图② 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直 年中考数学选择题压轴题汇编 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 3 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 1．（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组()213220y y y a +?->???-≤? 的解集为y 2<-，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．10 B ．12 C ． 14 D ．16 【答案】A 【解析】①解关于x 的分式方程，由它的解为正数，求得a 的取值范围． 2411a x x +=-- 去分母，得2－a ＝4（x －1） 去括号，移项，得 4x ＝6－a 系数化为1，得x ＝ 64a - ∵x 0>且x≠1，∴64a -0>，且64 a -≠1，解得a 6<且a≠2； ②通过求解于y 的不等式组，判断出a 的取值范围． ()213220y y y a +?->???-≤? 解不等式①，得y 2<-； 解不等式②，得y ≤a ； ∵不等式组的解集为y 2<-，∴a 2≥-； ③由a 6<且a≠2和a 2≥-，可推断出a 的取值范围26a -≤<，且a≠2，符合条件的所有整数a 为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A ． 2．（2017内蒙古赤峰）正整数x 、y 满足（2x －5）（2y －5）＝25，则x ＋y 等于（ ） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25） 一、中考数学压轴题 1．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝ 1 3 ，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C ． （1）过点C 的直线5 334 y x = -x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动 点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值： （2）如图2， 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连 接AE C E '、， 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?''， 是否存在点E ， 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点． （1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ； （2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ； （3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由． 5．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： 2015年中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题 7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题 13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题 19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题 25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系 31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题 38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题 44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究 50 第十讲中考压轴题十大类型之圆 56 第十一讲中考压轴题综合训练一 62 第十二讲中考压轴题综合训练二 68 第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题． 1. （2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30， D ， E ， F 分别是AC ，AB ， B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线B C -CA 于 点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ； （2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值． 2. （2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒(0t >)，△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________． （2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题(2)中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值． （4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值． 3. （的B 备用图 F E D C B A 一．解答题（共30小题） 1．（顺义区）如图，直线l 1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l 2 ： 相交于点P（﹣1，0）． （1）求直线l 1、l 2 的解析式； （2）直线l 1 与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运 动，到达直线l 2上的点B 1 处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 1 上的 点A 1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 2 上的点B 2 处后，又改为垂 直于x轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，… 照此规律运动，动点C依次经过点B 1，A 1 ，B 2 ，A 2 ，B 3 ，A 3 ，…，B n ，A n ，… ①求点B 1，B 2 ，A 1 ，A 2 的坐标； ②请你通过归纳得出点A n 、B n 的坐标；并求当动点C到达A n 处时，运动的总路径 的长？ 2．（莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=． （1）求直线AC的解析式； （2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线y=﹣x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处． 3．（资阳）已知Z 市某种生活必需品的年需求量y 1（万件）、供应量y 2（万件）与价格x （元/件）在一定范围内分别近似满足下列函数关系式：y 1=﹣4x+190，y 2=5x ﹣170．当y 1=y 2时，称该商品的价格为稳定价格，需求量为稳定需求量；当y 1＜y 2时，称该商品的供求关系为供过于求；当y 1＞y 2时，称该商品的供求关系为供不应求． （1）求该商品的稳定价格和稳定需求量； （2）当价格为45（元/件）时，该商品的供求关系如何？为什么？ 4．（哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（﹣3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 5．（桂林）如图已知直线L ：y=x+3，它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 两点． （1）求点A 、点B 的坐标． （2）设F 为x 轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P 经过点B 且与x 轴相切于点F （不写作法，保留作图痕迹）． （3）设（2）中所作的⊙P 的圆心坐标为P （x ，y ），求y 关于x 的函数关系式． （4）是否存在这样的⊙P，既与x 轴相切又与直线L 相切于点B ？若存在，求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由．2016年中考数学压轴题精选及详解
中考数学压轴题解题方法大全及技巧
(新)中考数学--选择题压轴题(含答案)
江苏各市中考数学压轴题汇编
中考数学压轴题十大类型经典题目75665
中考数学压轴题(选择填空)
中考数学选择题压轴题汇编
2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)
南昌中考数学压轴题大集合
近年来中考数学压轴题大集合
数学中考数学压轴题(讲义及答案)附解析
2015年中考数学真题
中考数学压轴题大集合
中考数学选择题压轴题汇编
中考数学二轮复习中考数学压轴题知识点及练习题附解析(1)
2015年中考数学压轴题十大类型和经典试题
2019年中考数学压轴题精选例题及答案解析