高三数学函数的单调性及最值知识点总结

高三数学函数的单调性及最值知识点总结

高三数学函数的单调性、最值知识点一

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数fx，若对于任意x1，x2∈D，当x1fx2，则称fx是区间

D上的减函数。

2、如果函数y=fx在区间上是增函数或减函数，就说函数y=fx在区间D上具有严格

的单调性，区间D称为函数fx的单调区间。如果函数y=fx在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数fx的单调增或减区间

3、最值的定义：

最大值：一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意

的x∈I，都有fx≤M;②存在x0∈I，使得fx0=M;那么，称M是fx的最大值.

最小值：一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意

的x∈I，都有fx≥M;②存在x0∈I，使得fx0=M;那么，称M是fx的最小值

判断函数fx在区间D上的单调性的方法：

1定义法：其步骤是：

①任取x1，x2∈D，且x1

②作差fx1-fx2或作商

，并变形;

③判定fx1-fx2的符号，或比较

与1的大小;

④根据定义作出结论。

2复合法：利用基本函数的单调性的复合。

3图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

高三数学函数的单调性、最值知识点二

函数的单词性

函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部

概念.

单调性的单词区间

若函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有严格的单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。

注:在单调性中有如下性质

↑增函数↓减函数

↑增函数+↑增函数= ↑增函数↑增函数-↓减函数=↑增函数↓减函数+↓减函数

=↓减函数↓减函数-↑增函数=↓减函数

用定义证明函数的单词性步骤

1取值

即取x1，x2是该区间崆的任意两个值且x1

2作差变形

即求fx1-fx2，通过因式分解，配方、有理化等方法

3定号

即根据给定的区间和x2-x1的符号确定fx1-fx2的符号

4判断

根据单词性的定义得出结论

判断函数fx在区间D上的单调性的方法

1定义法：其步骤是：

①任取x1，x2∈D，且x1

②作差fx1-fx2或作商，并变形;

③判定fx1-fx2的符号，或比较与1的大小;

④根据定义作出结论。

2复合法：

利用基本函数的单调性的复合。

3图象法：

即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

函数最值

函数最值分为函数最小值与函数最大值。

函数最小值

设函数y=fx的定义域为d，如果存在M∈R满足：

①对于任意实数x∈d，都有fx≥M;

②存在x0∈d。使得f x0=M，那么，我们称实数M 是函数y=fx的最小值。

函数最大值

设函数y=fx的定义域为d，如果存在M∈R满足：

①对于任意实数x∈d，都有fx≤M，

②存在x0∈d。使得f x0=M，那么，我们称实数M 是函数y=fx的最大值。

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