二次根式导学案人教版全章

二次根式导学案 二次根式(1)

一、 学习目标 1、 了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、 掌握二次根式有意义的条件。 3、 掌握二次根式的基本性质： ..a 0(a 0)和(.、a)2 a(a 0)

二、 学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质. 难点：综合运用性质 ,a 0(a 0)和(、.a)2 a(a 0)。 三、 学习过程 (一)复习回顾：

—2 ______________________________________________________ 2

4、由公式C. a) a(a 0)，我们可以得到公式a=C a),利用此公式可以把任意一个非负数写成一 个数的平方的形式。

2 ■ 2 如r. 5 ) =5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如 5=( ... 5 ).

练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:

6

0.35

(2)在实数范围内因式分解

x 2 7

4

(三)合作探究

2

a -11

(1) 已知 x 2 a ，那么a 是x 的 __________ ； x 是a 的 _______ ,记为 ________ , a 一定是 ________ 数。 (2)

_____________________________________________ 4的算术平方根为2,用式子表示为 爲 ；正数a

的算术平方根为 _______________________________________ , 0的算术 平方根为 _______ ;式子 ja 0(a 0)的意义是 ________________________ 。 (二)自主学习 (1) -.16的平方根是 _______________ ; ⑵一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是 t (单位：秒)与开始下落时的高度 h (单位：米)满足关 2 系式h 5t 。如果用含h 的式子表示t ，贝U t = ； (3) 圆的面积为S ,则圆的半径是 ______________ ; (4) 正方形的面积为b 3，则边长为 ______________ 。 思考：..16 , 、 h ， : s , . b 3等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. ^5 \ 定义：一般地我们把形如 扁(a 0 )叫做二次根式， a 叫做 ______________ 。、厂 ______________ 。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ <3 ,晁,V4，

/"5，也(a 0) , Jx 2 1 ' '' '3 ' 例：当x 是怎样的实数时, ..x 2在实数范围内有意义?

2、当a 为正数时.a 指a 的 ，而0的算术平方根是 _，负数 ______________ ，只有非负数 a 才有算术平方根。所以，在二次根式 解：由x 2 0，得

x 2

当x 2时，x 2在实数范围内有意义。

练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义?

①3x 4

2、( 1)若J a 3 J 3 a 有意义，则a 的值为 ____________________

(2)若 在实数范围内有意义，则 x 为()。

A.正数

B.负数

C.非负数

D.非正数

<1 2x

3、(1)在式子 ---------- 中，x 的取值范围是 _______________ .

1 x

L 2

(2)已知 I x 4+j2x y = 0,则 x y _____________________ .

⑶已知 y v'3 x J x 3

2,则 y X = ____________

(四)达标测试 (一)填空题：

1

、

3、根据算术平方根意义计算 ： jr Q (1) (、4)2 (2) (..3)2 根据计算结果，你能得出结论：

(a

)2

(3) C.0.5)2

__________ ，其中a 0,

2、若 V2x 1 y 1

0，那么 x = _______ , y = __________

3、当x= _________ 时，代数式.4x 5有最小值，其最小值是 ___________________

4、在实数范围内因式分解:

(1) x 2 9 x 2 ( )2= (x+ ___ ) (y- ______ ) (2) x 2 3 x 2

( )

2

= (x+

(二)选择题：

1、一个数的算术平方根是 a ，比这个数大3的数为(

)

)(y- ______ )

3、计算：,02 ______ 当 a

0时,Ja 2 _____

A 、a 3

B 、?>, a 3

C 、?:.,

；

a 3 D 、a (三)合作交流

1、归纳总结

将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质:

2、二次根式, a 1中，字母a 的取值范围是( ) A 、 a v l B 、a w 1 C 、a > 1 D 、a > 1 2、已知 x 3 0则x 的值为

A 、 x>-3

B 、x<-3

C 、x=-3

D 、x 的值不能确定 3、下列计算中，

不正确的是 (

)。

—2 A 3= (、. 3)2 > B 、 0.5= (.0.5)2

C 、 2

2

0.6

0.6 D 、(5 一 7)2 35

a a 0

a 2

a 0

0 a a 0

2、化简下列各式：

(1)、讦 ___________ (2)、J ( 0.5)2 ________ (3)、J ( 6)2 ________ (4)、J 2a 2 = _________ ( a 0)

二次根式(2) 、学习目标 1、 掌握二次根式的基本性质： va 2

a 2、 能利用上述性质对二次根式进行化简 二、 学习重点、难点 重点：二次根式的性质 Ja 2 a . 难点：综合运用性质 J a 2

a 进行化简和计算。 三、 学习过程

(一)复习引入： (1 )什么是二次根式，它有哪些性质？ /~2_

(2)二次根式.2 有意义，则x __________________ \ x 5 3、请大家思考、讨论二次根式的性质

2

(、a)

a(a 0)与?. a 2

a 有什么区别与联系。

(四)巩固练习

1、化简下列各式

(1) . 4x 2

(x 0)

(2)

—4

x

2、化简下列各式

(1) .. (a 3) (a 3)

(2) 、2x 32 (x v -2 )

(3) 在实数范围内因式分解: 2

= (x+_ ) (y-

注：利用；a 2 a 可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简

的关键是准确确定“ a ”的取值。 (五)达标测试：

A 组

1、填空：(1 )、J(2x 1)2 - (J2x 3)2(X 2)= ______________ .

(二)自主学习 1、计算: 2

(2)、< ( 4) = _________

(3) a 、b 、c 为三角形的三条边，则■. (a b

c)2

观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当 a 0时八a 2 ____________ 2、计算：.(4)2 —欽 0.2)2 “ ；)2

—:20)2

____

2、已知 2v x v 3，化简：寸(X 2)2

x 3

B 组

观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当

a 0日寸「a 2 _______

3已知0 v x v 1,化简:

4边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为a的正方形方孔?若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新

3

1、学生交流活动总结规律.

2、一般地，对二次根式的乘法规定为

4a ?品=V ab ? (a》0, b》0 反过来：| V Ob =V a .冇(a》0, b》0) 例1、计算

(3) 3「6 x 2 10

A、2x

B、x 2

C、2x

D、x 2 例2、化简

(1) .9 16

巩固练习

(2) .16 81 (3) .81 100 (4) 9x2y2(5) . 54

(1)计算：①.16 x . 8 ②5.5 x 2一15 ③、12a3? ；ay2

(2)化简：.20 ;.24 ;54;.12a2b

6、右二次根式一2x 6有意义，化间|x-4 | - | 7- x |。

二次根式的乘除法

二次根式的乘法

、学习目标

理解?. a ? . b = ■, ab (a》0, b》0), jab = ja ? Jb (a》0, b》0),并利用它们进行计算和

化简

二、学习重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程

(一)复习引入

1 .填空：(1) V4 x V9 = _______ , ~9 =

(2) 佑x >?25 = ______ , J16 25 =__

(3^A0? x V36=_,J100 36 =_

V4 x V9 _ 丁4 9

晁x\/25_V16 25

^100 x 后J100 36

(三)、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1). ( 4) ( 9) .. 4 - 9

(2)J4^12 x J 25 =4 x x J 25 =^ x J25 =4 J12 =8\f3

(四)展示反馈

展示学习成果后，请大家讨论：对于.9 x .. 27的运算中不必把它变成.243后再进行计算,

你有什么好办法？

注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方

数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：

(1)被开方数进行因数或因式分解。 (2 )分解后把能开尽方的开出来。

(五)达标测试：

A组

1、选择题

； . - 2

(1)等式.X 1?、x 1 x 1成立的条件是()

(二)、探索新知 A . x》1 B . x》-1 C . -1 < x w 1 D . x》1 或x w -1

(2)下列各等式成立的是(

).

电—

J — J"-

A. 4 ,5 X 2 . 5 =8 .. 5 B .5 3 X 4.2 =20 5

C. 4 ,3 X 3 .. 2 =75

D .5,3 X 4 2 =20 ?、6

(3)二次根式...(

2)2

6的计算结果是( )

A . 2 . 6

B . -2 ,6

C . 6

D . 12 2、化简： (1) ,360 ； (2) 32x 4

；

二次根式的除法

一、 学习目标

1、 掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、 能熟练进行二次根式的除法运算及化简。 二、 学习重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、 学习过程 (一)复习回顾

1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2、计算： (1) 3-8 x( -4 ... 6 )

(2) 12ab . 6ab 3

3、计算： (1) 18 30；

(2) .3

.. 2

; V 75

B 组

(1)若 a 2 I

b 4b 4 J c

V

c —

，则 \ b 2 ?ja?^c =()

4

A .4

B . 2

C .-2

D . 1

(2) 下列各式的计算中, 不正确的是( )

A .

:4) (6)，

J 4 J 6 = (-2 )X( -4 ) =8

1、选择题 3

、填空：(1) ^9 = , [ I —=；规律:

届—V 16——

尿

^6

(

刀握=一36=一 ；

44 [4 (3) —屁=—16=一 ；

(4)

遁一 @ =

..81 —，- 81 —.

般地，对二次根式的除法规定:

B . ■. 4a 4

1— jl

.4 . a 4 2 、2 (a 2)2 2a 2 C. 32 42 9 16 25 5

D. 132 122 、(13 12)(13 12)

13 12 13 12 25 1

2、计算：(1) 6寸8 X ( -2 76 )；

(2)屈ab J6ab 3 ；

(a 》0, b>0) 3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。 (2

o IT

(1) -3 r

(2)

2a 、

/9

、..16

.16

.36 81

反过来,

F 面我们利用这个规定来计算和化简一些题

目.

2、化简:

(2)

(4)

(4)

、、

64

5x \ 169y 2

注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数,

被开方数之商为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求:

最简二次根式

（1）被开方数不含分母; （2）分母中不含有二次根式。

（三）拓展延伸 阅读下列运算过程： 1 73 运 2 2 晶 2/5 .3 .3 .3 3 ' 5 .5 5 5 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“ 分母有理化”。 利用上述方法化简： 一、 学习目标

1、 理解最简二次根式的概念。

2、 把二次根式化成最简二次根式.

3、 熟练进行二次根式的乘除混合运算。 二、 学习重点、难点 重点：最简二次根式的运用。

难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。 三、 学习过程 （一）复习回顾

1 3,

2 1 .12 A

1、化简(1)

96x = _______

3 2

^27

（四）达标测试: (3)

.3 、5

.27 (5)

2a

1、选择题 )?

A . J 5 7

B 2

C .

7

2

(2) 化简 3 2 "27

的结果是（）

A . 3

B ■送

C ■

恵

3

2、计算: D

/、 2 /、 U2x 3 (1) (2) —

v48 J8x

(3)

用两种方法计算: 64 (2)

f

6

4、3

2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什

么？

（二）自主学习

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的

二次根式有如下两个特点：

1 .被开方数不含分母；

2

?被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

2、化简： (1)

x 2y 4 x 4 y 2

-8x 2y 3

⑷

.8 20

（三）合作交流 1、计算:

2 1 2 1 ..2 .1

3 3 ■ 5

2、比较下列数的大小

（1）

28 与 23

(2) 7 - 6与 6 .7

注：1化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。

2、判断是否为最简二次根式的两条标准：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中所有因数或因式的幕

的指数都小于 2 .

(四)拓展延伸

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

1 1

(2)已知x —，则x丄的值等于_______________________

45 2 x

3、计算：

(1) 13 7 1⑵

.4 \ 4 \ 2 ()

1 1 (.

2 1)

2 1 (.2 1)(.2 1)

1 1(3 2)三

2

3 2

3 、2 (、.3 .2)(.3 .2) 3 2 1、计算: --Tab5 ?( -/a"b) 3 卫(a>0, b>0) b 2 . a

同理可得：—=2 3 ,……

2屈

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

11 1 ____________________________________

(1' ……+-------- ' . 2009 1)的值.

2 1 .

3 2 2009 < 2008 2、若x、y为实数，且Vx

4 v4x2 y=—

x 2 y的

值。

(五)达标测试:

1、选择题

(1)如果J —(y>0)是二次根式，化为最简二次根式是( ).

x

"y (y>0) B . ... xy (y>0) C ?(y>0)

D .以上都不对

a 2

(2)化简二次根式a”，2的结果是

\ a

2、填空：

(1)化简7?~x2y2= ____________ . (x>0)

二次根式的加减学案(1)

学习内容：

同类二次根式二次根式的加减

学习目标：

1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式

2、理解和掌握二次根式加减的方法.

3 、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,

用它来指导根式的计算和化简.

学习重点、难点

1、重点：二次根式化简为最简根式.

2、难点：会判定是否是最简二次根式.

学习过程

一、自主学习

(一)、复习引入

计算.(1) 2x 3x ; (2) 2x2 3x2 5x2； (3) x 2x 3y ； (4) 3a2 2a2 a2

（二）、探索新知 学生活动：计算下列各式. （1） 22 +3、、2 =

(2) 2 8 -38 +5 8 =

(3) ,7+2 . 7 +3 -9^1 =

(4) 3、. 3-2、3 +、、2

=

由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的， 如2.2与、、8表面上看是不相同的， 但它们 可以合并吗？也可以.（与整数中同类项的意义相类似我们把 3J3与 2^3 , 3揖、 2鳥 与4爲 这 样的几个二次根式，称为同类二次根式） 3 、.2+...8=3 ...2+2 ；2 =5 ：, 2 3 ..,3+.27 =3 ...3+3 "3 =6、. 3 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，

？再将同类二次根式进行合并.

例 1.计算 （1）、、8 +、-18 （2）, 16x +.64x 例 2.计算（1） 3 /48 -9 1

+3 '、12 （ 2 ） （ .一 48 +.20 ） + （、12 -、、5 ） 归纳： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式； 第二步，将相同的最简二次根式进行合并. 二、巩固练习 1 r — 1 ■ 1 — — — — ⑴

12 （］- ,；—）

（2）

（? 48 . 20） （12 .5）

⑶

(4) -X 9x

3

(X 2

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展 2 例 3 .已知 4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求(一

x

3 、一 9x +y 2

-x

-)-

3丿

y

(X 2￡ -5x

y

）的值.

四、课堂检测 （一）、选择题

1

.以下二次根式: 2. .①和② B F 列各式：① ①12 :②?、2^ ；③、2 ;④＜27中，与3是同类二次根式的是（

）

.

.②和③ C .①和④ D .③和④

^3+3=^. 3 :②-^7=1 ；③.2 ^6 ^.8=^ 2 :④ 可=2「 ，其中错误 一 43

的有（

A

3.在下列各组根式中， ). .3 个 B .

(A) 3 和# 18

2个 C . 1个 D

是同类二次根式的是 4 .下列各式的计算中, (A) 2 5 2 - 5 5 .若 a V

V2

(A)2 二、填空题 1

.在.8、

,b

成立的是

（ (B)4 5

3 5

?

I

(B) - 2

(C) , a 2b 和.ab 2

(Dp. a 1 和.a 1

:-2 —

(C).. x y

(D) - 45 20 ■-

5

(D) 2 2

、?

75a 、 3

2 .计算二次根式

—V9a 、J 125、_ J 3a 3、3 J 0.2、 3 a

-2

中，与-、3a 是同类二次根式的

3. _____________________________________________________________ 若最简二次根式 3J2x 1与丁 3x 1是同类二次根式，则 x = ____________________________ .

4. __________________________________________________________ 若最简二次根式-?3a b 与 a b 2b 是同类二次根式，则 a = _____________________________ , b = ______ . 5 .计算：

______ t ~

t ~

I ~

j ~

1 ；

3

2

1

3

> a a ---------- :— T 1

1

；— ；—

(1) — * 27a a :— 3a . 108a (2)、32 ‘一 2 ；-

： 75 ■-

0.5

3 a

' ■ 3 4

. 8

； 3