2021-2022年高考数学精英备考专题讲座 第三讲数列与不等式 第一节数列及其应用 文

2021年高考数学精英备考专题讲座 第三讲数列与不等式 第一节数列及其

应用 文

数列是高中数学重要内容，是高考命题的热点.纵观近几年的高考试题,对等差和等比数列的概念、通项公式、性质、前项和公式,对增长率、分期付款等数列实际应用题多以客观题和中低档解答题为主，对数列与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合题的考查多属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在之间.

考试要求（1）数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.②了解数列是自变量为正整数的一类函数.（2）等差数列、等比数列① 理解等差数列、等比数列的概念.② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式. ③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 题型一 等差、等比数列的概念与性质

例1．已知等比数列中，各项都是正数，且、、2成等差数列，求 ;

【点拨】依据等差中项的概念先求等比数列的公比，再利用等比数列的性质求值. 【解】依题意可得：，即，则有可得，解得或（舍） 所以

8923

2

9101167

781131a a a q a q q q q a a a q a q q

+++====++++ 【易错点】（1）等差数列与等比数列只有一字之差，部分同学经常出现审题不仔细的现象；（2）等差中项与等比中项的性质混淆，概念模糊不清；（3）对等差数列与等比数列的性质及公式的变式不熟悉，往往要先计算等量，一旦计算量大一点，解题受阻.

变式与引申1：等差数列的前n 项和为，公差 . （1）求的值;

（2）当为最小时，求的值. 题型二：数列的通项与求和

例2．（xx 年全国卷理科第17题）等比数列的各项均为正数，且 （Ⅰ）求数列的通项公式.

（Ⅱ ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列的前项和.

【点拨】（1）等比数列中，已知两条件可以算出两个基本量,再进一步求通项.（2）分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法，这里利用（1）的结论以及的关系求的通项公式，根据裂项相消求数列前 项和 . 【解】

（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由得所以。有条件可知a >0,故。 由得，所以。故数列{a n }的通项式为a n =。 （Ⅱ ）313131log log ...log n b a a a =+++

(12...)(1)2

n n n =-++++=-

故

12112()(1)1

n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311

n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列的前n 项和为

【易错点】（1）没有注意条件a >0，公比计算错；（2）在求的通项公式时，遗漏了负号；不会将化为.

变式与引申2已知是数列{}的前n 项和，并且=1，对任意正整数n ，；设

,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）.

（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）设}log log 1

{,32

212++?=

n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求. 3. 等比数列{}的前n 项和为， 已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.

（1）求r 的值；

（2）当b =2时，记 求数列的前项和. 题型三：数列的实际应用

例3. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项.

(1)求数列和的通项公式；

(2)求视力不小于5.0的学生人数； (3)设

()++∈=+++N n b a c a c a c n n

n 122

11 ,求数列的通项公式.

【点拨】（1）频率分布直方图是解决问题的关健；（2）已知前两项的频数，前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，可求，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项，，的前六项和可求，得，（3）求得、后，根据题设条件，按递推公式求通项公式方法求出. 【解】(1)由题意知

因此数列是一个首项.公比为3的等比数列，所以 ，又=100—(1+3+9)， 所以=87,解得 因此数列是一个首项,公差为—5的等差数列, 所以

(2) 求视力不小于5.0的学生人数为9)6532()5532(65=?-+?-=+b b (3) 由

)(122

11++∈=+++N n b a c a c a c n n

n ① 可知，当时，② ①－②得，当时， , ()2,3551

≥∈?-=-=∴+-n N n a c n n n ,

又因此数列是一个从第2项开始的公比为3的等比数列, 数列的通项公式为 . 【易错点】（1）不理解的意义，解题找不到切入点；（2）计算数列的通项公式时忽略“全校100名学生”这个重要的已知条件，导致前两问的结果都不正确；（3）求出、后，由题设条件不能正确地找出求的方法；（4）计算由①式变为②式时，缺少这个条件.

变式与引申4： 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：

xx 年 xx 年 xx 年 新植亩数 1000 1400 1800 沙地亩数

25200

24000

22400

而一旦植完，则不会被沙化． 问：（1）每年沙化的亩数为多少；

（2）到那一年可绿化完全部荒沙地. 题型四：数列综合题

例4根据如图所示的程序框图，将输出的x 、y 值依次分别记为，． （1）求数列的通项公式； （2）写出，由此猜想出数列； 的一个通项公式，并证明你的结论; （3）求

1122(,2008)

n n n z x y x y x y x N n =+++∈*≤．

【点拨】（1）程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视；（2）由循环体写出数列的递推公式，再由递推公式求出数列的通项公式是解决问题 的关健；（3）掌握错位相减法求数列的前项和及数列求和的一般方法. 【解】（1）由框图，知数列中 ∴

12(1)21(*,2008)

n x n n n N n =+-=-∈≤

（2）y 1=2，y 2=8，y 3=26，y 4=80. 由此，猜想)2008,(,13≤*∈-=n N n y n

n

证明：由框图，知数列{y n }中，， ，

∴数列{y n +1}是以3为首项，3

为公比的等比数列，

)2008,(,13≤∈-=∴*n N n y n n

（

3

）

)13)(12()13(3)13(122211--+???+-?+-?=+???++=n n n n n y x y x y x z

=1×3+3×32

+…+（2n －1）·3n

－[1+3+…+（2n －1）]

记S n =1×3+3×32+…+（2n －1）·3n ，① 则3S n =1×32+3×33

+…+（2n －1）×3n +1

②

①－②，得－2S n =3+2.32+2.33+...+2.3n －（2n －1）.3n +1=2（3+32+ (3)

）－3

－（2n －1）·3n +1

13)12(33

1)

31(32+?-----?

=n n n = ∴ 又1+3+…+（2n －1）=n 2

∴

12(1)33(*,2008)

n n z n n n N n +=-?+-∈≤.

【易错点】（1）根据框图不能正确写出数列的递推公式，解题受阻，（2）对数列求和的方法及每种方法所适合的题型认识不清，盲目求和；（3）对指数运算不够熟悉，导致利用错位相减法计算出的结果不正确.

变式与引申5：已知数列中，在直线y=x 上，其中n=1,2,3….

（1）令求证数列是等比数列; （2）求数列的通项；

⑶ 设的前n 项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由. 本节主要考查：（1）数列的有关概念，递推公式；等差数列和等比数列的定义、判定方法、性质、通项公式和前项和公式，数列求和及数列的应用（2）数列是一类特殊的函数，而函数又是高中数学的重要内容，所以数列常与导数、不等式、三角、解析几何、概率及算法等知识点交融命题，解决数列的通项公式及前项和、证明不等关系等问题（3）简单的递推公式求

通项公式的方法，分组求和、倒序相加、裂项求和、错位相减等数列求和方法（4）着重考查函数与方程思想、数形结合、等价转化、分类讨论等重要的数学思想. 点评：（1）“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算问题中非常重要，树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意解题的目标； （2）数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题型，要切实注意

与之间关系的转化.如：???≥-==-)2(,)1(,1n S S n S a n n n

n ， =等；

（3）等差、等比数列的基本知识是必考内容，这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题，在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上，充分理解公式的变式及适用范围，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；

（4）求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和方法，如公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等；

（5）在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络， 进一步培养阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力；

（6）解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．

习题3－1

1．（xx 安徽文数）.若数列的通项公式是,则

（A ） 15 (B) 12 (C ) (D)

2．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若=，则=_________． 3．数列中，，（是不为零的常数，），且成等比数列． （1）求的值；

（2）求的通项公式；

（3）求数列的前项之和．

5．已知数列满足,2143.1,,211*1-==∈??

?

??-=-+n n n

n n x a x N n x x 设且且

.2)12(322123212n n n na a n a a a T +-++++=-

（1）求的表达式； （2）求；

【答案】

变式与引申1【解析】根据题意，点适合抛物线有以下特点①开口向上，②过原点，③对称轴，（1）由对称性可知，另一交点为，表明.（2）当为最小时，. 变式与引申2

【解析】（1）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n 两式相减：

),2(4411≥-=-+n a a a n n n

*),

(2)2(2,2)(42,

2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+

是以2为公比的等比数列，

,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而

（2） ,)

1(1

2log 2log 1log log 11

222212+=?=?∴+++n n C C n n n n

而

.1

1

1)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n

3.解 （1）因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得, 当时,,

当时,111

1()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,

又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 （2）当b =2时，, 11

111

4422n n n n n n n b a -++++===? 则2

341

2341222

2n n n T ++=

++++

34512

1

2341

2

22222

n n n n n T +++=+++++ 相减,得2

3451212111

112

2222

22n n n n T +++=

+++++-= 31211(1)112212212

n n n -+?-++--

所以113113322222

n n n n n n T ++++=

--=- 变式与引申4

变式与引申5解：（1）由已知得

2213313

,11,4424

a a a =--=--=-

又

2

1121

1

1

22)1(1111111121=

----=---+-++=----=++++++++n n n n n n n n n n n n n

n a a a a a a n

a n a a a a a

b b

是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（I ）知，13131(),4222

n n n b -=-?=-?

1131

1,22

n n n a a --∴--=-?

将以上各式相加得：

1213111

(1)(),2222n n a a n -∴---=-++???+

11111(1)31313221(1)(1) 2.12222212

n n n n a a n n n ---∴=+--?=+---=+--

（3）存在，使数列是等差数列.

12121113(

)(12)2222

n n n S a a a n n =++???+=++???++++???+- 11

(1)(1)22321212

n n n n -+=?+--2213333(1) 3.2222n n n n n n --=-+=-++ 12131(1)

313342(1).1222212

n n n n n T b b b +--=++???+==--=-+- 数列是等差数列的充要条件是、是常数 即

又2133333()2222

n n n n n n S T λλ+-+=-+

++-+231

3(1)(1)222n n n λ-=+-- 当且仅当，即时，数列为等差数列.

习题3－1

1. 【答案】A

【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论； 法二：12349103a a a a a a +=+==+=，故a a a 1210++=3?5=15.故选A.

2. 【答案】；

【解析】=2

)

(212)

(212)(2)(211211211211b b a a b b a a ++=++=． 3. 【解析】（1），，， 因为，，成等比数列，

所以， 解得或． ∵c≠0，∴． （2）当时，由于 ，，， 所以1(1)

[12(1)]2

n n n a a n c c --=++

+-=

． 又，，故2

2(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．当时，上式也成立， 所以2

2(12)n a n n n =-+=，

，． （3）令

n n )21

)(1()21(3)21(2)21(0432-++++= ……①

143)2

1

)(1()21)(2()21(2)21(021+-+-++++=n n n n n T ……② ①-②得： 4.

【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标；（2）尝试求出通项的表达式，然后再求和．

【解】（Ⅰ）设，由得点处切线方程为

由得。 （ Ⅱ），得，

112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++

11

2

(1)

111 (11)

n n

n e e e e e e

e e ---------=++++==--

①—②，得

2

21

232221*********++?

?

? ??--??

? ??-++??? ??-+??? ??-=n n n n T

.2122161612122

1

1211412

3

222222n n n n

n n n T ??? ??--??? ??--=?

?

? ??--+??????????

?

??--=∴+ .2131912132191912222??

? ??+-=??? ??--?

?

?

??--=n n

n

n n n T