同济大学高数(第6版下)第七章 微分方程

()0

y P x y '+= （3）

称其为一阶线性齐次方程，它是变量可分离的方程，其通解可表示为

()P x dx

y ce -?=;

（注意这里的不定积分仅表示被积函数的一个原函数）

若()0≠x Q ，则得

()0'

≠+y x P y

称为一阶线性非齐次方程,其通解可用常数变易法来求： 设（2）的解为

()()P x dx

y c x e -?=

代入（2）求得()c x ，从而可得（2）的通解为

()()()()P x dx P x dx P x dx y ce e Q x e dx --???=+?

.

（这里的不定积分也仅表示一个原函数）

即其通解为对应的齐次方程(3)的通解与其自身的特解之和. 4.Bernoulli 方程 形如

()()n

y P x y Q x y '+=

()0,1n ≠

的方程称为

Bernoulli

方程.两边除以

n

y 后方程可变形为 ()()

1n n y y P x y Q x --'+=.

令

1n z y -=

就可得关于新未知函数z 的一阶线性方程 ()()()()11z n P x z n Q x '+-=-. 来求其通解.

()y p y '= （**）

则

()()22,,y p y p y p p y pp '''''''''==+L

这样原方程就可以降为n -1阶的，再去看n -1阶的方程是否可以求解.如果能求出通解()11,,,,n p p y c c -=L 再解方程（**）就得原方程的通解. 2.n 阶线性微分方程

n 阶线性微分方程的一般形式为

()()()(

)

()()101n

n n a x y a x y a x y b x -+++=L

或

()()()()()11n n n y p x y p x y f x -+++=L （5） 如果()0f x =，

(5)成为 ()()()()110n n n y p x y p x y -+++=L （6） 称为n 阶线性齐次方程；

如果()0f x ≠，

（5）也称为n 阶线性非齐次方程.

（I ）n 阶线性方程解的性质及结构

（i ）n 阶线性齐次方程解的性质及结构

定理1 如果()1y x 和()2y x 是（6）的解，则()()121122,,c c R c y x c y x ?∈+也是（6）的解.

定理2 如果()()()12,,,n y x y x y x L 是方程（6）的n 个线性无关的特解，则

()()()()112212,,,n n n c y x c y x c y x c c c R ++∈L L 是方程（6）的通解. （ii ）n 阶线性非齐次方程解的性质及结构 定理3 如果()1y x 和()2y x 分别是方程

()()(

)

()()

111n

n n y p x y p x y f x -+++=L

和 ()()()()()112n n n y p x y p x y f x -+++=L

的解，则()()12y x y x +是方程()()()()()()1112n n n y p x y p x y f x f x -+++=+L 的解.

()221y x D y Dy D D y

''?=-=-，

一般地，有

()()()11k

k y x D D D k y

?==-??-+L .

把它代入方程（12）就可以得到一个以t 为自变量的常系数线性微分方程，用前面介绍的方法求解后，把t 换成

ln x

就的方程（12）的解.