实数的运算
实数的运算
〖教学目标〗
（－）知识目标
1．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.
2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算.
3.正确运用公式
);0,0(≥≥?=?b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b
a . 4.了解二次根式和最简二次根式的概念.
（二）能力目标
1．让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.
2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.
（三）情感目标
通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。
时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计算，重要的是培养 这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务.
〖教学重点〗
1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.
2.发现规律：);0,0(≥≥?=
?b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b
a .并能用规律进行计算. 〖教学难点〗
1. 类比的学习方法.
2.发现规律的过程.
〖教学方法〗 尝试法
〖教学过程〗
一、课前布置
自学：阅读课本P112~P113，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）.
二、师生互动
(0a ≥)的式子叫做二次根式
说明：1.被开方数大于0；
0a ≥)具有非负数的特性.
3.性质：一般地)0(≥a a 是a 的算术平方根，于是有)0()(2≥=a a a
练习：
1.若x 23-有意义，则=x ______
2. （06泸州中考）要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是（ ）
A. x ≥1
B. x ≤1
C. x >1
D. x <1
3.（06海淀）已知实数x ，y 满足x y -++=540，求代数式()x y +2006的值。
4.计算：（1）
2)53(
； （2）2)32(；
解：1. 2
3≤
x 2. A 3. 解：依题意x y -=+=???5040 解得x y ==-???
54 当x y ==-54，时， ()()x y +=-=20062006541
4.解：（1）53)53(
2=；
（2）1234)3(2)32(222=?=?=。
（二）一起交流课本P112的“做一做”
［师生共析］在有理数范围内，可以进行加、减、乘、除和乘方运算，运算后所得到的数仍然是有理数。把数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零可以进行开平方和开立方运算，负数可以进行开立方运算。即：正数和零的平方根是实数，任何一个实数的立方根是实数。
关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。
1．理解积的算术平方根的性质，必须注意：
（1）被开方数的每一个因子或因式必须是非负数，没有这个条件，性质不成立.
（2）这个公式的作用是化简二次根式，如果被开方数中有的因式（或因子）能开得尽方，可以利用此公
a （a ≥0），将这些因式（或因子）开出来，因此化简二次根式时，一般先将被开方数进行因式分解或因子分解.
（3）积的算术平方根的性质对于当因子是三个或三个以上时仍然成立.
如：abcd ＝ a ·b ·c ·d （a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0）.
（4）积的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的乘法公式，即a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），运用这个公式可以进行简单的二次根式的乘法运算.
2. 二次根式的性质：
ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)，
b a ＝b
a (a ≥0,b>0). （三）利用性质化简
［师］利用你自学的知识，说一说什么样的二次根式需要化简
［生］被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简.
［生］被开方数中含有分母，需要化简，化简后被开方数中没有了分母. 如：224
24221=== ［师］如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.
（鼓励学生讲解教师提供的例题）
如： ;339
393333131===??= .22722492
24924910495104952=?=?==?=? .319118218
2;214112131213;
66666621622=====?=?=?=?=
巩固练习：
化简：(1)27； (2)45；(3)128；(4)54；(5)
932；(6)16
125. （四）最简二次根式
［师生共析］最简二次根式所满足的条件：
条件一，即为被开方数不含分母；条件二，即为被开方数的每一个因子或因式的指数都小于根指数. 要判断一个根式是否为最简二次根式，两个条件缺一不可.
（五）引导学生小结：
1．化二次根式为最简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.
（2）如果被开方数是整数或整式，先将它分解因子或因式，然后把能开得尽方的因子或因式开出来，从而将式子化简.
2. 二次根式的化简应注意以下问题：
（1）被开方数含有带分数，通常化成假分数.
（2）被开方数是和、差的形式，应把它分解因式，化成积的形式.
（3）根号内的分子或分母移到根号外时，应保留其对应的位置（即原来是分母的移到根号外后还是分母）．
（4）在整个化简过程中应注意符号问题，特别是注意被开方数是非负数这个隐含条件.
练习：1 下列各式中哪些是最简二次根式?哪些不是?并说明理由. (1) 3.0；(2) x 27;(3) 2
2y x +;(4)b a 28; (5)2a ;(6)x -(x≤0)；(7) 42a a + 本题考查最简二次根式的定义，解题思路是根据二次根式的定义逐个判断.
1.解 只有(3)、(5)、(6)是最简二次根式.
理由： (1) 3.0中的0.3不是整数，所以3.0不是最简二次根式； (2) x 27中的27x ＝32·3x ，因数含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式. (3) b a 28的8a 2b ＝(2a )2·2b ，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式； (4) 4
2a a +中的a 2+a 4＝a 2(1+a 2)，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式； 总结 本题的易错点是误认为2
2y x +,2a 不是最简二次根式，误认为3.0是最简二次根式.
三、补充练习
作业：P114习题
八、板书设计
课题实数的运算
二次根式利用性质化简例2
二次根式性质
例1 最简二次根式
课堂练习
实数计算题
1（填“＞”、“＜”或“=”号）. 2．（本题满分7分）计算： 20)2()3(4|1|--+-+--π． 3．计算：（每小题3分，共12分） （1） ()25.05)41 (8----+ （2） )2 1()51(10)1(2004 -÷-?-- （3）12×（13＋14―1 6 ） （4） 632162---+- 4．（本题满分8分）计算： （1）102- （2）()3 122?? -- ??? 5．根据图所示的拼图的启示填空． (1)________=； (2)________+=； (3)________=． 6．计算：(1)(2013广东湛江)2 6(1)--； (2)(2013浙江衢州3 22(75)÷-?-+． 7．已知一个圆和一个正方形的面积都是2πcm 2，问：它们中哪一个周长比较长，你从中得到了什么启示？ 8．如图所示，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是－4，22 35 x x +-，且点A 、B 到 原点的距离相等，求x 的值．
9．定义新运算“@”：@x y = 2@6）@8的值． 10．已知一个正方体的表面积为2400cm 2，求这个正方体的体积． 11．计算． （12-； （2）1(13 - 12．计算下列各题． （1） （2）1)(3-． 13．(1)+ (2)计算：|1|1|++； (3)2 12??-- ??? 14．先阅读，再回答下列问题． = 12<<1． 23<的整数部分是2． =34<的整数部分是3． …… n 为正整数）的整数部分为________，试说明理由． 15．计算：(1)精确到0.01)； (2) 2.342 +-π(精确到十分位)． 16．计算：(1)-； (2)|1||++． 17．设x 、y 为有理数，且x 、y 满足等式2217x y +=-x ＋y 的值．
(完整版)实数的运算习题精选及答案(一)
实数的运算习题精选（一）知识与技能 1．选择： (1)下列各式是最简二次根式的是 ( ) AＣ． (2))0 b> 根式的有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．计算： (1)2 ; (2)2 ; (3) 2 ; - (4) 2 .? - ? 3．化简下列各式：
4．化简下列各式： (5) 数学思考 最简二次根式要求被开方数是整数，且这个整数不含能开得尽方的因数．最简二次根式，如何化简?有下列两种化简方法： ___________. === __________.=== 解决问题 物理学中的焦耳定律：2 Q I Rt =(Q 是热量，单位：J ；I 是电流，单位：A ；R 是电阻，单位：Ω；t 是时间，单位：s)．已知Q=1 001J ，R=5Ω ，t=51 s ，求I ．(结果精确到0．1A)。 开阔视野
实数范围内的因式分解 有些在有理数范围内不能分解的多项式，在实数范围内能继续分解． 如：(27.x x x -=+ 在实数范围内分解下列因式： (1)23;x - (2)4 4;y - (3)23;x -+ (4)()() 221240;x x -+- (5)22 1.x x -- 答案 知识与技能 1.（1）C （2）B 2.（1）0.02（2）4.41（3）－35(4) 12 3.(1)20 (2)（5）（6）2203 4.（1（2（3（3（5）5- 数学思考 （1 5 （2574== 解决问题 ()22,1001551, 2.0.Q I Rt I I A ==??≈即 开阔视野 （1）(x x +
（2）()(22y y y ++ （3）(2x （4）()(27x x x ++ （5）(11x x --
(完整word版)初三数学实数的混合运算
初三数学实数的混合运算2 一．填空题（共6小题） 1．计算：=． 2．计算：﹣|﹣2|=． 3．计算：|﹣3|++（﹣1）0=． 4．计算|﹣|+的值是． 5．计算：+（﹣1）0=． 6．（﹣1）0+（）﹣1=． 二．解答题（共24小题） 7．计算：cos60°﹣2﹣1+﹣（π﹣3）0． 8．计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|． 9．计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°． 10．计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．11．计算：（+﹣1）（﹣+1） 12．计算：（﹣1）4﹣2tan60°++． 13．（1）计算：2﹣1﹣tan60°+（π﹣2015）0+|﹣|； （2）解方程：x2﹣1=2（x+1）． 14．计算：（2015﹣π）0+（﹣）﹣1+|﹣1|﹣3tan30°+6．15．计算：（π﹣3.14）0+﹣（）﹣2+2sin30°． 16．计算：﹣12﹣2+50+|﹣3|． 17．计算：+|﹣2|﹣（）﹣2+（tan60°﹣1）0．18．（1）计算：|1﹣|+（﹣）﹣2﹣+；
（2）解方程：=1﹣． 19．计算：2cos30°﹣|﹣1|+（）﹣1． 20．计算：（1﹣π）0×﹣（）﹣1+|﹣2|． 21．（1）计算：﹣（﹣π）0﹣2sin60° （2）化简：（1+）?． 22．计算：|﹣3|﹣（5﹣π）0+． 23．计算：（4﹣π）0+（﹣）﹣1﹣2cos60°+|﹣3| 24．计算：（﹣2）2+|﹣1|﹣． 25．计算（﹣5sin20°）0﹣（﹣）﹣2+|﹣24|+． 26．计算：|﹣2|+3tan30°+（）﹣1﹣（3﹣π）0﹣．27．计算：|﹣2|++2﹣1﹣cos60°． 28．（1）计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1；（2）解分式方程：+=1． 29．求值：+（）2+（﹣1）2015． 30．（1）计算：（π﹣）0+（）﹣1﹣﹣tan30°； （2）解方程：+=1； （3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
实数的运算
实数的运算 一、目标： 理解实数的运算法则、性质和顺序并能根据相关知识进行实数运算；会利用平方根意义化简根式. 二、 重点、难点： 掌握实数的运算法则及用实数的运算法则进行简单的计算. 三、预学 1．复习 实数的运算法则和运算性质及顺序. 2．讨论 232,323,232?++以上算式有什么特征？计算的结果是什么？ 学习单 1.不用计算器，计算： ;646362)1(-+ ;522225)2(÷?÷ ;)5 25(5) 3(- ;125)13()5)(4(322+-
2.不用计算器，计算： (1))63)(63(-+; (2)2 )223(+; (3);)32()2(2 3?+ (4) ;)10()4 1 (22+-- (5)205)1 31(1?+--; (6) 02)12()23(-+-; (7) 22)15()15(--+ （8）2 222)5()3()3()6(-----+;
实数的运算巩固练习 班级 姓名 评价 1、不用计算器，计算：（5.5分?16=88分） （1）22272523--+ （2）32 5 341345323++- （3）1523356?- （4）3102310÷÷? （5）( )1515265÷-? （6）()( ) 2 2 5210?+ （7）( ) 2 12+ （8） ( )( ) 2 2 1313-- + （9）36001.010*******++-- （10）33233410101010---+-
（11）5353 ???? ? ?? （12）( ) () 322122 ++- （13）40×10 （14）5125÷ （15）()( ) 2 2 315315+- （16） ()( ) 2 5252-+- 2、如图，在一个边长为()232+的正方形内部，挖去一个长为( )15+，宽为 ( ) 15-的长方形，求剩 余部分的面积。（10分） 3、请你思考下列计算过程，因为,121112=所以11121=；因为,123211112 =所以11112321=， 由此猜想：____________76543211234567898=（2分）
专题—实数及其运算
课 题 实数及其运算 教学内容 中考要求： 1.理解有理数的意义，能用书抽上的点表示有理数，会比较有理数的大小，会用科学计数法表示数；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简单的混合运算，能运用运算律简化运算。 2.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系；会用平方运算求某些非负数的算术平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。 3.能用有理数个估计一个无理数的大致范围，了解近似数与有效数字的概念，能用计算器进行近似计算并按要求对结果取近似值，能运用实数的运算解决一些简单的实际问题。 第1讲 走进实数世界 一、【三年中考】 1．(2010·宁波)－3的相反数是( ) A ．3 B.13 C ．－3 D ．－13 解析：因－3的相反数可表示为－(－3)＝3，故选A. 答案：A 2．(2010·台州)－4的绝对值是( ) A ．4 B ．－4 C.14 D ．－14 解析：由一个负数的绝对值是它的相反数，得|－4|＝4，故选A. 答案：A 3．(2010·湖州)3的倒数是( ) A ．－3 B ．－13 C.13 D ．3 解析：由倒数的定义可得3的倒数是13 ，故选C. 答案：C 4．(2009·温州)在0,1，－2，－3.5这四个数中，是负整数的是( ) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－3.5 解析：由实数的分类可知，－2是负整数，故选C. 答案：C
5．(2008·金华)如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为() A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 解析：因互为相反意义的量中，一个用“＋”表示，则另一个用“－”表示，所以运出5吨可表示为－5吨，故选A. 答案：A 6．2010·湖州)2010年5月，湖州市第11届房交会总成交金额约2.781亿元．近似数2.781亿元的有效数字的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为2.781中有4个有效数字，故选D. 答案：D 7．(2010·绍兴)自上海世博会开幕以来，中国馆以其独特的造型吸引了世人的目光．据预测，在会展期间，参观中国馆的人次数估计可达到14 900 000，此数用科学记数法表示是() A．1.49×106 B．0.149×108 C．14.9×107 D．1.49×107 解析：由科学记数法的形式a×10n，(1≤|a|<10，n为整数)可得14 900 000＝1.49×107. 故选D. 答案：D 8．(2010·宁波)据《中国经济周刊》报道，上海世博会第四轮环保活动投资总额高达820亿元，其中820亿用科学记数法表示为() A．0.82×10 11B．8.2×1010C．8.2×109D．82×108 解析：因820亿＝820×108＝8.2×1010，故选B. 答案：B 9．(2009·嘉兴)用四舍五入法，精确到0.1，对5.649取近似值的结果是________． 解析：由题目要求可得5.649≈5.6. 答案：5.6 10．(2010·嘉兴)据统计，2009年嘉兴市人均GDP约为4.49×104，比上年增长7.7%.其中，近似数4.49×104有_____个有效数字． 解析：因为4.49×104中有效数字分别是4,4,9.共3个． 答案：3 二、【考点知识梳理】 （一）实数的有关概念 1．数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴．实数和数轴上的点是一一对应的． 2．相反数
中考：实数混合运算练习
中考：实数混合运算 9-2cos60°+(81) -1+(π-3.14)0 2--20180+(2 1 ) -1 (-3)×(-6)+12-+(5-2π)0 3--(4-π)0+2sin60°+(4 1 ) -1 (2 1) -1-2sin45°+2-+(2018π)0 22--2cos45°+(-1) -2+8 2tan45°-32-+(21 ) -2 - (4-π)0 -2×327-+31- - (2 1) -2 9-2cos60°+( 4 1) -1 -5- 41-+27-tan60°+(-1)2019
23-- ( -21) -2 +2cos30° - (1-2)0 (-2 1 ) -1-12+4cos30°-23- 9+(-1)2019-2sin30° (2-1)0+( 2 1) -2 -9+327-
参考答案 9-2cos60°+(81) -1+(π-3.14)0 2--20180+(2 1 ) -1 = 3-2?2 1 +8+1 = 2-1+2 = 11 = 3 (-3)×(-6)+12-+(5-2π)0 3--(4-π)0+2sin60°+(4 1) -1 = 12-)+1 = 42 3 213+?+- = 42 = 233+ (2 1) -1-2sin45°+2-+(2018π)0 22--2cos45°+(-1) -2+8 = 122222++? - = 2212 2222++?-- = 3 = 3 2tan45°-32-+(21 ) -2 - (4-π)0 -2×327-+31- - (2 1) -2 = 14)23(12-+--? = 4)13()3(2--+-?- = 2+2 = 1+3 9-2cos60°+( 4 1) -1 -5- 41-+27-tan60°+(-1)2019 = 542 123-+?- = ()13334 1 -+-+ = 1 = 4 3 32-
实数的运算大全
实数的运算大全 1． 计算:8×24； 2． 计算: 5 2 ； 3． 计算: 3 ×(21－12＋1) 4． 计算: 2－2 1 ； 5．化简：3164 37 -； 6．计算: 212＋348 ； 7．化简：348-； 8． 计算：)515(5- 9．计算：252826-+ 10 ．计算：2022 (()3 -+- 11．计算：|－2|－(3－1)0 +1 21-??? ?? 12 13 14．化简：5312-? 15．化简： 2 2 36+? 16．计算：(25+1)2 17．计算：)12)(12(-+ 18．计算：(1)20 9 5? 19．计算： 8 6 12? 20．计算：(1+3)(2－3) 21．计算：(132-)2 22．计算：(2+5)2 23．计算：21850-? 24．计算：)82(2+ 25．计算： 37 21? 26．计算： 10 40 5104+ 27．计算： 2 )3 13(- 28．计算：250580?-? 29．计算： (1+5)(5－2) 30．计算：（1）(1－2+3)(1－2－3) 31．计算：)623)(623(-++- 32．计算：320－45－5 1 33．x ＝2－ 3时，求（7+4 3） x 2+(2+3)x +3的值.
34．计算：32 22 1 (4)3(--?+） 35．计算：2 2232 1+- 36 ．计算：0211(1)12 4 π-+---+ 37．计算：∣－2∣－23 +38．先化简，再求值：5x 2－ (3y 2+5x 2)+(4x 2+7xy ),其中x ＝－1,y ＝1 39． 求a 的值。 40．计算：221213- 41．计算：（18).22 1+； 42．若a=3 －10，求代数式a 2－6a －2的值； 43．计算： 348－1477 1 37+ ； 44．数轴上，点A 表示1，点B 表示 3AB 间的距离； 45．计算： 2)2(182-- ? 46．计算：2 )525(- 47．已知xy=2，x －y=125-， 求（x ＋1）(y －1)的值； 48．计算：）—（）（23322332?+ ； 49 ．计算：1 3.14?? ???－1＋（－π）2 50．计算：)32)(32(-+ 51 ．计算：210(2)(1--- 52．计算：2)4(|3|ππ-+- 53．4)12(2=-x x ： 求 54．计算：3322323--+ 55．已知32b ,32a -=+=，求下列各式的值：（1）ab （2）a 2+b 2 56．计算：328- 57．计算： 21850-? 58．计算：)56)(56(-+ 59．计算： 3164 37- 60．计算：13 327-+ 61．计算： 25.05 116.021- 62．计算：22)2332()2332(--+ 63．计算:32 －32 1 +2; 64．计算： )4838 1 4122(22-+ 65 66 67．求x 的值： 9)2(2=-x 68．求x 的值：52=+x 69．计算：527× 2 33 2 2 70．计算： x 932+64x —2x x 1
实数及其运算
专题一实数及其运算 （时间：90分钟满分：100分）一、选择题（每小题2分，共56分） 1．（2011年福州）6的相反数是( ) A．－6 B．1 6 C．±6 D．6 2．（2011年柱林）2011的倒数是( ) A．1 2011B．2011 C．－2011 D．－1 2011 3．（2011年浙江）－6的绝对值是( ) A．－6 B．6 C．1 6 D．－ 1 6 4．（2011年金华）下列各组数中，互为相反数的是( ) A．2和－2 B．－2和C．－2和－1 2 D． 1 2 和2 5．（2011年安徽省）－2，0，2，－3这四个数中最大的是( ) A．2 B．0 C．－2 D．－3 6．（2011年成都考）4的平方根是( ) A．±16 B．16 C．±2 D．2 7．（2011年十堰）下列实数中是无理数的是( ) A．2B．4C．1 3 D．3.14 8．（2011年襄阳）下列说法正确的是( ) A． 2 π ?? ? ?? 是无理数B． 3 3 是有理数C．4是无理数D．38 -是有理数 9．（2011年德州）下列计算正确的是( ) A．(－8)－8＝0 B．(－1 2 )×(－2)＝1 C．()01 --＝1 D．2-＝－2 10．（2011年呼和浩特）如果a的相反数是2，那么a等于( ) A．－2 B．2 C．1 2 D．－ 1 2 11．（2011年孝感）下列计算正确的是( ) A．822 -=B．235 +=C．2×3＝6 D．824 ÷= 12．（2011年广州）四个数－5，－0.1，1 2 ，3中为无理数的是( ) A．－5 B．－0.1 C．1 2 D．3 13．（2011年南昌）下列各数中是无理数的是( ) A．400B．4C．0.4D．0.04 14．（2011年呼和浩特）用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是( )
(完整版)实数的运算综合测试卷(附详细答案)
实数的运算综合测试卷 姓名___________ 一．选择题（共8小题） 1．若a=，b=，则a2﹣b3的值是（） A．﹣1 B．0 C．1 D．10 2．下列说法中，正确的个数有（） ①两个无理数的和是无理数 ②两个无理数的积是有理数 ③无理数与有理数的和是无理数 ④有理数除以无理数的商是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法：（1）两个无理数的和为有理数；（2）两个无理数的积为有理数；（3）有理数和无理数的和一定是无理数；（4）有理数和无理数的积为无理数，正确的是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．化简|﹣2|+﹣1的结果为（） A．2+1 B．1 C．2﹣1 D．﹣1 5．化简﹣|﹣1|的值是（） A．2 B．1 C．2 D．﹣1 6．计算：|1﹣|+|3﹣|﹣|3.14﹣π|=（） A．0.86﹣2+πB．5.14﹣πC．2﹣7.14+πD．﹣1.14+π 7．若a，b为实数，a＜b＜0，则化简式子|a﹣b|﹣等于（） A．a B．﹣a C．b D．﹣b 8．使等式|2m+3|+|4m﹣5|+2=0成立的实数m（） A．不存在B．只有一个C．只有两个D．有无数个 二．填空题（共6小题） 9．有一个边长为的正方形，其面积为．
10．化简： （1）（）2=；=； （2）（）3﹣=． 11．若k为整数，且（+k）（﹣1）为有理数，则k=，此时（+k）（﹣1）=． 12．对于任意不相等的两个有理数a，b，定义运算※如下：a※b=，如3※2==．那么8※17=． 13．64的立方根与的平方根之和是． 14．若，则a﹣20082=． 三．解答题（共5小题） 15．已知≈1.414，≈1.732，求﹣2的近似值． 16．已知x2=4，且y3=64，求x3+的值． 17．已知（x+9）2=169，（y﹣1）3=﹣0.125，求﹣﹣的值．18．计算：﹣﹣|3﹣5|﹣2（+）
实数及其运算的培优与提高
实数及其运算复习题 一、非负性复习 1、 ()0352 =+++y x ，则3x-5y= 2、03543=-++y x ，则2x-6y= 3、0437557=-+-+-y x x ，则6y+15x= 二、实数化简与计算复习 1、（1） 24 612?； （2）)32)(32(-+； （3）2)5 25(- ； （4）)81()64(-?- （5）5 335 （6） 15 -453+ 作业 1、若a a 22-=，则 a 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、正数或零 D 、负数或零 2、0.3的倒数是_ _ _，1132?? - ??? 的相反数是___ ，16的平方根是 3、已知实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，且b a 。 化简：a b b a a --+- 4、已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是1，求2m cd m b a +-+的值。
5、化简4)2(-的结果是（ ） A.－4 B.4 C.±4 D.无意义 6.下列各式中，无意义的是（ ） A.23- B.33)3(- C.2)3(- D.310- 7.如果1-x +x -9有意义，那么代数式|x －1|+2)9(-x 的值为（ ） A.±8 B.8 C.与x 的值无关 D.无法确定 8、414、226、15三个数的大小关系是（ ） A.414<15<226 B. 226<15<414 C.414<226<15 D. 226<414<15 9、下列各式中，正确的是（ ） A.25=±5 B.2)5(-=5 C.4116 =42 1 D.6÷ 3 2 2= 2 2 9 10、下列计算中，正确的是（ ） A.23+32=55 B.（3+7）·10=10·10=10 C.（3+23）（3－23）=－3 D.（b a +2）(b a +2)=2a +b 11.如果3+x =2,那么(x +3)2=______. 12.3641- 的相反数是______，－2 3 的倒数是______.25的算术平方根是______. 13.若22-a 与|b +2|是互为相反数，则(a －b )2=______. 14、（1）（5+6）（5－6） （2）12－21－23 1 （3）2224145- （4） ）1 0)2 3()10(831121 --+-+-+π
实数混合运算
一、填空题 1、3 1-的相反数是 、倒数是 ，37-的相反数是 ，－3的倒数是 。 2、()20.7-的平方根是 ，－125的立方根是 ，81的算术平方根是 ，3的平方根是 ，－64的立方根是_______，（-3）2 的算术平方根是 ， 9 4的平方根是__________。 3、绝对值最小的实数是____________。 4、实数－3 1,5, 2．236,－3216,2－π,0．2020020002…, 0．23,1－2,sin300,cos600中无理数有______个。 5、—3+2= ，（—3）×2= ，28?= ，28-= ， 2)2(1-+-= ， = ， 0123??- ??? = 。 6、=-2)4( ，=-33)6( ， 2)196(= ，32-= ，38-= 。 7、若2b +5的立方根，则a = ，b = 。 8、一个数的立方根等于这个数本身, 这个数是_____________。 9、某数的平方根是2a －3和3a －22, 则这个数是____________。 10、如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是___________。 11、将长度为3cm 的线段向上平移20cm ，所得线段的长度是___________。 12、在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o 后不变的字是___________， 在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不能与原图形重合的是_________。 二、计算题 1、 2+32—52 2、 6(61-6) 3、 4、 5、()01232822-+---- 6、11|1|()2---+2(-3) 7、|23- | + |23-|- |12- | 8、()0 1232 822-+---- 三、解答题
实数的性质及运算
第2课时 实数的性质及运算 1．了解实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义；(重点) 2．了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算．(难点) 一、情境导入 如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD 和一正方形卧室CEFG ，其中正方形厨房ABCD 的面积为10平方米，正方形卧室CEFG 的面积为15平方米，小明想知道这两个正方形的边长之和BG 的长是多少米，你能帮他计算出来吗？ 二、合作探究 探究点一：实数的性质 分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)3－64； (2)225； (3)11. 解析：根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果．注意(1)(2)中的两个数要先化简为整数． 解：(1)∵3－64＝－4，∴3－64的相反数是4，倒数是－14 ，绝对值是4； (2)∵225＝15，∴225的相反数是－15，倒数是115 ，绝对值是15； (3)11的相反数是－11，倒数是111 ，绝对值是11. 方法总结：在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和在有理数范围内的完全相同． 探究点二：实数的运算 【类型一】 利用运算法则进行计算 计算下列各式的值： (1)23－55－(3－55)； (2)|3－2|＋|1－2|＋|2－3|. 解析：按照实数的混合运算顺序进行计算． 解：(1)23－55－(3－55) ＝23－55－3＋5 5 ＝(23－3)＋(55－55) ＝3；
(2)因为3－2＞0，1－2＜0，2－3＞0， 所以|3－2|＋|1－2|＋|2－3| ＝(3－2)－(1－2)＋(2－3) ＝3－2－1＋2＋2－ 3 ＝(3－3)＋(2－2)＋(2－1) ＝1. 方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律． 【类型二】 利用实数的性质结合数轴进行化简 实数在数轴上的对应点如图所示，化简：a 2－|b －a |－（b ＋ c ）2. 解析：由于a 2＝|a |， （b ＋c ）2＝|b ＋c |，所以解题时应先确定a ，b －a ，b ＋c 的符号，再根据绝对 值的意义化简． 解：由图可知a <0，b －a >0，b ＋c <0. 所以，原式＝|a |－|b －a |－|b ＋c |＝－a －(b －a )＋(b ＋c )＝－a －b ＋a ＋b ＋c ＝c . 方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a |＝?????a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. 三、板书设计 实数????? 实数的性质实数的运算 由实际问题引入实数的运算，激发学生的学习兴趣．同时复习有理数的运算法则和运算律，并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用．教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度．在涉及用计算器求近似值时，一定要注意题目中的精确度
实数的运算大全
x 2+(2+ 3 )x^.3 的值. 实数的运算大全 计算:,8 X ,24 ; 15.化简: 16.计算: (2 ,5+1)2 计算: 2 ,5 ； 17 .计算: 18.计算: (.2 1)( ..2 1) ⑴「2 9 计算：.3 X ( ,21 — ,12 + 1) 19 .计算： 128 6 20. 计算：(1+ ,3)(2 — , 3) 计算:2 —； 化简：36； 1 ； 化简： ■. 48 、3 ; 计算: .5(、5 ,5) 计算： 6 ?. 2 82 5一2 计算: 2 2 ()2 ( ■ 3)0 2 2 ) 计算: I — 2| —( .3 一 ' 化简: 5 X 10 —厂 化简： 26 X 8 化冋. 3 化简: .12 .3 5 计算： 2 .12 + 3 .48 ; 0 1) + （2 ）2 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 计算：（2、.3 1）2 计算: 计算: 计算: 计算: 计算: 计算: 计算: 计算: 计算: 计算: 计算: 33 . x = ,50 8 21 、2(.. 2 8) ..21 、 、7 \3 410 5 40 "3 吉)2 (1+、5)( .5 — 2) (1) (1 — 一 2 + “ 3 )(1 C 、3 2 .6)(、3 3 20 — . 45 — 2 — 3时，求 —,2 — ,3) 2 6) (7+4 3 ) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 11 12 13 14
34?计算：（.、3）24 （ 1 ） 23 2 35?计算：1 32 — 2 2 36?计算：:问（1）0 1 1 22 4 37 .计算：1 — 2 I — 2-：3 +、”12 38 .先化简，再求值：5x 2 - （3y 2+5x 2）+ （4 x 2+7xy ）,其中 x =— 1, y = 1 _ 2 . 39. 已知3 门与3_6互为相反数，求a 的值。 40. 计算：..132 122 41 .计算： 2）.18 ； 2 42. .若 a=3 - --.10，求代数式 a 2 — 6a — 2的 值； 43 . .计算： 3 48 — -.. 37 1 J47 ； 7 44. .数轴上， 点 A 表示2 1，点B 表示 3 5 , 求AB 间的距离; 45.计算：、、2 、、18 ... ( 2)2 46.计算：(、5 ；)2 47.已知 xy= 2，x — y= 5.2 1， 求（x + 1） （y — 1）的值； 48.计算：（2?、3 3.2） （2?、3 — 3、. 2）； 1 0 "8+：2 49?计算. +（3.14 n ） 厂 2 V2 50.计算：（2 ,3）（2 .3） 51 .计算:（2）2 （「2） 1 -8 （1 、一 3）° 52. 计算：|3 | J4 ）2 53. 求 x:（2x 1）2 4 54 .计算：3、2 -.,3 2、. 2 3 3 55. 已知a 2 ..3,b ,2 ,3 ,求下列各 式的值：（1） ab （2） a 2+b 2 56. 计算：?、8 , 32 57. 计算： ,50 , 8 21 58 .计算：（6 5）（ ,6 . 5） 59.计算：3 37 1 片64 60 .计算：27 3 1 61. 计算：1 . 0.16 1 0.25 2 5 62. 计算：（2、3 3.2）2 （2.3 3、2）2 63 .计算：-32 — 3 1 + 2 ； \2 64.计算：一^⑵七 4, 1 3一48） 2 \ 8 65 .计算:窃占g 血 67.求 x 的值：（x 2）2 .9 68 .求 x 的值：x V5 69. 计算：5 27 X - 22 2^3 70. 计算：2 ..9x+6, x — 2x 、1 3 V 4 \ x
实数的混合运算
1、计算（1） 52 52 +- 2、1336821+-（-）+ 3、（-13 ）-1+3 0.008-289 4、353533+? 3-3 5、11129273+- 6、20062007 02(23)(23)(2)31 ?+----- 7、2 (3223)- 8、3+（4）2·1 3 -0.3·0.4 9、3721822+- 10、 023 38(22010)(32)3 ----+-
（1） 9 13.03 122 - + ??? ? ? ? （2） () () 2 2 3 131+-- （3）1 2(6)(242)23 -?+ （4）8321824++- （5） （73＋27）2 （6）32（212－4 8 1 ＋348） （7）（ab ab ab b a ?-+)33 （8）（5＋3＋2）（5－3＋2） （9）32n n m m ·（-3 31n m m ）÷32n m （m>0， n>0） （10）-3222 332m n a -÷（232m n a +）×2 a m n - （a>0）
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях. 以下无正文
分类汇编：实数运算
2013中考全国100份试卷分类汇编 实数运算 1、（2013?衡阳）计算 的结果为（ ） A ． B ． C ． 3 D ． 5 考点： 二次根式的乘除法；零指数幂． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用二次根式的乘法法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，即可得到 结果． 解答： 解：原式=2+1=3． 故选C 点评： 此题考查了二次根式的乘除法，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2、（2013?常德）计算+的结果为（ ） A ． ﹣1 B ． 1 C ． 4﹣3 D ． 7 考点： 实数的运算． 专题： 计算题． 分析： 先算乘法，再算加法即可． 解答： 解：原式=+ =4﹣3 =1． 故选B ． 点评： 本题考查的是实数的运算，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级， 即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行． 3、（2013年河北）下列运算中，正确的是 Ａ．9＝±3 Ｂ．3－8＝2 Ｃ．(－2)0＝0 D ．2－1 ＝12 答案：D 解析：9是9的算术平方根，9＝3，故A 错；3 －8＝－2，B 错，(－2)0＝1，C 也错，选D 。 4、（2013台湾、6）若有一正整数N 为65、104、260三个公倍数，则N 可能为下列何者？（ ） A ．1300 B ．1560 C ．1690 D ．1800 考点：有理数的混合运算． 专题：计算题． 分析：找出三个数字的最小公倍数，判断即可． 解答：解：根据题意得：65、104、260三个公倍数为1560．
故选B 点评：此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． 5、（2013?攀枝花）计算：2﹣1﹣（π﹣3）0﹣=﹣1． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 专题：计算题 分析：本题涉及0指数幂、负指数幂、立方根等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答： 解：原式=﹣1﹣=﹣1． 故答案为﹣1． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握0指数幂、负指数幂、立方根考点的运算． 6、（2013?衡阳）计算=2． 考点：有理数的乘法． 分析：根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 解答： 解：（﹣4）×（﹣）=4×=2． 故答案为：2． 点评：本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．7、（2013?十堰）计算：+（﹣1）﹣1+（﹣2）0=2． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 分析：分别进行二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂的运算，然后合并即可得出答案．解答：解：原式=2﹣1+1 =2． 故答案为：2． 点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂的知识，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则． 8、（2013?黔西南州）已知，则a b=1． 考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值． 分析：根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解． 解答：解：根据题意得，a﹣1=0，a+b+1=0， 解得a=1，b=﹣2， 所以，a b=1﹣2=1．
实数的运算教学反思
实数的运算教学反思 反思一：实数的运算>教学反思 昨天也备好了这节课的内容，今天上课前我又把教案看一下，结果问题发现了：教学任务一：先使用计算器算得最终结果，再按预定精确度取近似值。如：这样一次性利用计算器算得最终结果。 教学任务二：如能化简算式，则先化简，再用计算器计算，这样能使计算方便。对于（2） 学生当然也想利用计算器一次性得出，这样都好，不用计算，结果也成功。这样学生觉得挺方便的，你说先化简简单方便，谁信？这里我觉得教案设计不恰当，不了解学情，没能做到备学生。所以做了更改，补充一题：（3） 我想现在你总没办法一次性按出结果吧！ 这时就可以顺水推舟、水到渠成完成任务二。 到课堂里，果真学生就一次性得出（2）题结果，我就继续拿出第三题，这下你该没招了吧，有学生在叫：中括号没有怎么办？我就借机引导：那能否把它处理一下，化简变得简单点，再利用计算器。可是还有些同学不可罢休，继续在思考尝试，终于得出结果来，用小括号代替中括号，不影响运算顺序。这下我咋办？还是硬拉着学生先化简-----，可是还些同学在嘀咕，这样太麻烦了，还不如直接用计算器简单；有些同学干脆不听你的。我气得只拍桌子，那效果就不用说了------。 下课后，我心里很不是滋味，边走边埋怨学生，在回办公室的路上碰到上同一级段的数学老师，正好她也上这节课，也很气很糟糕，这样我就来到她的办公室进行讨论交流起来，
她也同感，上了后很气，学生只管自己的，根本不吃老师的一套，教材安排的用意何在呢？若是让学生理解有理数的运算法则和运算在实数范围内同样适用，以及掌握运算顺序等，那通过哪些教学环节或教学活动来达到目的呢？显然教材没有（因为使用计算器，学生根本体验不到计算的顺序，只能通过教师的讲授，效果大打折扣）。教材应该安排一些乘方、开方（开得尽方）和加减、乘除之类的混合运算，让学生在计算中体验和掌握实数运算的顺序以及有关法则与运算律。这是其一。其二，如能化简算式，则先化简，再用计算器计算，这样能使计算方便。请问：什么叫方便？对学生来说，把式子一次性输入计算器马上得出答案，应该是方便，干嘛还要化简呢？再说，这化简对学生来说难度可大了，特别是分配律，符号可令学生头痛啊！自然学生极力排斥，没法落实教学目的，这又是教材编制失败之处。而化简计算能力正是需要培养训练的，为下面整式的化简作好准备。如设计恰当可一箭双雕，既可巩固运算的顺序，也可让学生产生冲突，能化简的非化简不可，进而培养学生养成先化简后计算的习惯。那咋设计更好呢？随着科技的发展，计算器功能越来越多，而教材上例2式子的计算计算器就方便的完成，已失去原有的功能。必需另行设计。 从以上的反思可看出，不管是笔者还是编教材者，只是单方面思考，没有从学生的角度思考分析，更欠缺的是只想不做，让学生做的，教师先要做，是否可行，作为例题编者事先 要尝试去做（用计算器，当时市场的），不能纯粹从理论去想，按自己惯有的、定向思维去理解。坚持以学生为本。 反思二：实数的运算教学反思 上周四上了第三章的最后一节《实数的运算》，本节课本着学样的先学后教的教学改革理念，我也试用了先学而教的教学方法。只不过我还是使用了我自己的一点改革。即20+15+10模式。20学生学，是带有任务的去学。15是老师的指点，10是学生的当堂练习巩固。 《实数的运算》这一节课我设计的教学任务有以下四个：
实数计算的常见类型及方法
实数计算的常见类型及 方法 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
实数计算的常见类型及方法 【精练】计算 3-2÷3+（-）0-3-1+（-3）2-32 解：原式=3-+1-+9-9=3 在算3-2÷3时易算成1÷3=，另外（-3）2与-32是有区别的． 【知识规律串讲】 一、实数的运算 (1)加法 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。 (2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即 (4)除法 (5)乘方 (6)开方如果x2＝a且x≥0，那么＝x；如果x3=a，那么 在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面． 3．实数的运算律 (1)加法交换律 a+b＝b+a (2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 ab＝ba． (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac 其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便． 一、加法运算中的方法与技巧 例1 计算：
（1）5－［２＋（－４.８）－（－４）］ （２）｜（－）－（－）＋（－）｜ 分析：（１）题的关键是确定运算顺序，有括号的还应先计算括号内的；（2）题的关键是求出绝对值符号中式子的值，进而求出整个式子的值．进行有理数的混合计算时,小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用 解（1）5－［２＋（－４.８）－（－４）］ =5－［２－４.８+４］ =5－［7－］ =5－=3 (2) ｜（－）－（－）＋（－）｜ =｜－+－｜ =｜－－+｜ =|－|= 【小结】巧用加法的交换律与结合律，以达到简化的目的，同时注意交换加数位置时，一定要连同前面的符号一起移动. 实数加法运算中通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加—“相反数结合法”；符号相同的数先相加—“同号结合法”；分母相同的数先相加—“同分母结合法”；几个数相加得到整数先相加—“凑整法”；整数与整数，小数与小数相加—“同形结合法”. 二、乘、除运算中的方法与技巧 例2：计算：
实数(实数的概念运算及大小比较)
实数(实数的概念、运算、及大小比较) 一.教学内容： 第一单元实数(实数的概念、运算、及大小比较) 二.教学目标： 1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念. (1)了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 (2)会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 (3)画数轴，了解实数与数轴上的点对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 2. 通过复习，使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数的有关应用等。 (1)了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幕的有关概念、掌握有理数运 算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。 (2)了解有理数的运算律和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算 法则，灵活运用运算律简化运算，能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。 (3)了解近似数和准确数的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数，用四舍五 入法求有理数的近似值(在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值) ，会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。 (4)了解计算器使用的基本过程。 三.教学重点和难点： 1. 有理数、无理数、实数、非负数概念； 2. 相反数、倒数、数的绝对值概念； 3. 在已知中，以非负数a2、|a、(a>0)之和为零作为条件，解决有关问题。 4. 使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数 的有关应用等。 四.课堂教学： (一)知识要点：知识点1 :实数分类 有理数实数'正整数整 数零 负整数 正分数 戾分数 无理数方法(1) 正无理数负无理数